108 高普考普通考試 水利工程 水資源工程概要 考古題詳解

核心觀念

水庫容量依功能主要分為：呆容量（死庫容, Dead Storage）、有效容量（活動庫容, Active Storage）及防洪容量（Flood Control Storage）。國家考試「水庫容量決定」之考點，核心聚焦於供水標的之「有效容量（Active Storage Capacity）」推算。

其理論基礎為水文循環之水量平衡方程式（Water Balance Equation）： $\Delta S = I - D - L$ 其中：

• $\Delta S$ 為水庫蓄水量之變化量（$S_t - S_{t-1}$）
• $I$ 為水庫入流量（Inflow）
• $D$ 為目標放水量／需水量（Draft / Demand）
• $L$ 為水面蒸發、庫區滲漏等水損量（Losses）

決定有效容量之目的，在於調節天然逕流之豐枯不均，使水庫在枯水期仍能穩定滿足下游標的需水量。常用的決定方法有：累積流量曲線法（Rippl 質量曲線法）、序向波峰演算法（SPA），以及水庫運籌模擬法（逐期水量平衡法）。

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解題方法

方法一：累積流量曲線法（Rippl 質量曲線法，Mass Curve Method）

1. 分析方法：

• 本法由 W. Rippl 於 1883 年提出，為經典之圖解分析法。
• 將歷史水文紀錄之入流量按時間順序累加，繪製累積入流質量曲線： $M(t) = \sum_{i=1}^t I_i$ 以時間 $t$ 為橫軸、累積入流量 $M(t)$ 為縱軸。
• 需水量若為定值（需水率 $D$），則累積需水線為斜率等於 $D$ 之直線；若需水量隨季節變動，則為斜率變動之折線。
• 自質量曲線之每一波峰（高點）向後繪製斜率為 $D$ 之切線（累積供水線）。
• 測量切線與其後質量曲線之最大垂直距離，此垂直距離即為該次枯水期之最大虧水深（Deficit）。
• 全歷程中所有波峰所測得之最大垂直距離的極大值，即為水庫滿足該供水標的所需之最小有效庫容量。

2. 優點：

• 概念直觀：以圖形直接呈現枯水期虧水量，幾何意義與物理觀念清晰。
• 易於溝通：計算步驟直覺，適合向工程決策者與非技術人員簡報說明。

3. 缺點：

• 未考慮水損與回蓄：難以將與水庫水位動態關聯之蒸發及滲漏損失納入計算；若欲計入，需大幅試誤修正。
• 繪圖誤差：手工作圖受圖紙尺度、繪圖精度限制，容易產生人為判讀誤差。
• 確定論限制：完全取決於過去單一歷史枯水歷程，無法推估未來不同降雨情境之破壞風險。

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方法二：序向波峰演算法（Sequent Peak Algorithm，簡稱 SPA）

1. 分析方法：

• 由 Thomas 與 Fiering 提出，為 Rippl 質量曲線法的數值遞迴化演算法。
• 針對離散時段 $t$（如月或旬），計算各時段之蓄水虧缺量（Storage Deficit）$S_t$： $S_t = \max(0,\, S_{t-1} + D_t - I_t)$ 式中初始值令 $S_0 = 0$。
• 為消除水庫起始狀態（初始蓄水量）對計算結果之邊界效應，通常將長度為 $N$ 個時段的歷史水文序列重複串接兩次（即運行 $2N$ 個時段）。
• 檢索兩循環中出現之 $S_t$ 最大值，即為所需之有效庫容量 $C_a$： $C_a = \max_{t \in [1, 2N]} (S_t)$

2. 優點：

• 便於程式化：純代數運算，極易利用電腦程式（如 Python、MATLAB）或試算表快速求解。
• 無繪圖誤差：完全避免圖解法因線條粗細、切點判讀造成之數值偏差。
• 變動需水量適應力佳：時段需水量 $D_t$ 可為隨季節動態變動之序列，計算結構完全不變。

3. 缺點：

• 蒸發滲漏耦合困難：基本公式假設水損為零或固定外加常數，未與水庫儲水量-水面面積曲線（Elevation-Area-Storage Curves）進行非線性聯立求解。
• 歷史單一性：仍屬確定論方法，容量大小僅對應特定歷史乾旱事件，無法提供統計上的保證率（Reliability）。

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方法三：水庫運籌模擬法（逐期水量平衡法，Reservoir Operation Study Method）

核心觀念

本題屬於水利工程「明渠水力學」中極為經典的渠道斷面設計問題，結合了「容許流速限制法」與「最佳水力斷面法（Best Hydraulic Section, BHS）」，評量重點如下：

1. 基本水力公式：

• 連續方程式：$Q = A \cdot V$
• 曼寧公式（Manning's formula）：$V = \frac{1}{n} R^{2/3} s^{1/2}$，流量型式為 $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} s^{1/2}$

2. 梯形渠道斷面幾何要素（底寬 $b$、水深 $d$、側坡垂直比水平為 $1:z$，即 $z = 1.5$）：

• 通水斷面積：$A = (b + z d) d$
• 濕周：$P = b + 2 d \sqrt{1 + z^2}$
• 水力半徑：$R = \frac{A}{P}$

3. 最佳水力斷面（BHS）幾何特性： 在指定糙率 $n$、底坡 $s$、側坡 $z$ 及流量 $Q$ 下，使通水斷面積 $A$ 最小（或在固定面積下濕周 $P$ 最小、水力半徑 $R$ 最大）之斷面。梯形最佳水力斷面之充要幾何條件為： $R = \frac{d}{2}$ $b = 2 d \left(\sqrt{1 + z^2} - z\right)$
4. 容許流速控制： 未襯砌土渠受土質抗沖刷能力限制，流速不得超過上限 $V_{\max}$，避免渠底及側坡遭水流淘刷破壞。

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解題方法

(一) 受最大容許流速限制之斷面設計（$V = 0.60\ \mathrm{m/s}$）

1. 求所需通水斷面積 $A$： 依連續方程式： $A = \frac{Q}{V} = \frac{4.5}{0.60} = 7.50\ \mathrm{m^2}$

2. 利用曼寧公式求所需水力半徑 $R$： $V = \frac{1}{n} R^{2/3} s^{1/2}$ 代入 $V = 0.60\ \mathrm{m/s}$、$n = 0.025$、$s = \frac{1}{2500}$： $0.60 = \frac{1}{0.025} R^{2/3} \sqrt{\frac{1}{2500}} = 40 \times \frac{1}{50} \times R^{2/3} = 0.8 R^{2/3}$ $R^{2/3} = \frac{0.60}{0.80} = 0.75$ $R = (0.75)^{3/2} \approx 0.6495\ \mathrm{m}$

3. 求濕周 $P$： $P = \frac{A}{R} = \frac{7.50}{0.6495} \approx 11.547\ \mathrm{m}$

4. 聯立求解底寬 $b$ 與水深 $d$： 側坡 $z = 1.5$： $\sqrt{1 + z^2} = \sqrt{1 + 1.5^2} = \sqrt{3.25} \approx 1.8028$ 濕周方程式： $P = b + 2 d \sqrt{1 + z^2} = b + 2 \times 1.8028 d = b + 3.6056 d = 11.547$ $b = 11.547 - 3.6056 d$ 代入面積方程式： $A = (b + 1.5 d) d = (11.547 - 3.6056 d + 1.5 d) d = 7.50$ $(11.547 - 2.1056 d) d = 7.50$ $2.1056 d^2 - 11.547 d + 7.50 = 0$ 由一元二次方程式公式解： $d = \frac{11.547 \pm \sqrt{(-11.547)^2 - 4(2.1056)(7.50)}}{2 \times 2.1056} = \frac{11.547 \pm \sqrt{133.333 - 63.168}}{4.2112} = \frac{11.547 \pm 8.376}{4.2112}$ 得二解：

• $d_1 = \frac{11.547 - 8.376}{4.2112} \approx 0.753\ \mathrm{m}$
• $d_2 = \frac{11.547 + 8.376}{4.2112} \approx 4.731\ \mathrm{m}$

檢驗底寬 $b$ 之物理合理性：

• 若 $d = 4.731\ \mathrm{m}$，則 $b = 11.547 - 3.6056 \times 4.731 \approx -5.51\ \mathrm{m} < 0$（負值不合物理意義，捨去）。
• 若 $d = 0.753\ \mathrm{m}$，則 $b = 11.547 - 3.6056 \times 0.753 \approx 8.832\ \mathrm{m}$。

故設計尺寸為：底寬 $b \approx 8.83\ \mathrm{m}$，水深 $d \approx 0.75\ \mathrm{m}$。

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(二) 最佳水力斷面觀點（無流速限制）之斷面設計

1. 帶入最佳水力斷面幾何條件： 對於固定側坡 $z = 1.5$： $b = 2 d \left(\sqrt{1 + z^2} - z\right) = 2 d (1.8028 - 1.5) = 0.6056 d$ $R = \frac{d}{2}$

2. 通水斷面積以水深 $d$ 表示： $A = (b + z d) d = (0.6056 d + 1.5 d) d = 2.1056 d^2$

3. 代入曼寧流量公式求水深 $d$： $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} s^{1/2}$ $4.5 = \frac{1}{0.025} \times (2.1056 d^2) \times \left(\frac{d}{2}\right)^{2/3} \times \sqrt{\frac{1}{2500}}$

核心觀念

本題主要測驗水利工程中「水文統計與頻率分析」及「水工構造物水文風險」兩大核心觀念：

1. 重現期距（Return Period, $T$）與超越機率（Exceedance Probability, $p$）：

• 某事件之年超越機率為 $p = P(Q \ge Q_T) = \frac{1}{T}$。
• 累積機率（不超越機率）為 $F(Q_T) = P(Q \le Q_T) = 1 - p = 1 - \frac{1}{T}$。

2. 常態分布之標準化公式： 若年最大流量 $Q$ 服從常態分布 $Q \sim N(\mu, \sigma^2)$，則標準化變量為： $Z = \frac{Q - \mu}{\sigma}$ 設計流量公式為： $Q_T = \mu + Z_T \cdot \sigma$

3. 水工構造物之水文風險（Hydrological Risk, $R$）：

• 定義：在水工構造物的使用年限（$n$ 年）內，設計流量 $Q_T$ 至少被超越一次（發生一次或一次以上洪水）的機率。
• 每年洪水發生與否視為獨立事件（伯努利試驗），依二項分布原理，$n$ 年內皆未被超越的機率為 $(1 - p)^n$，故水文風險公式為： $R = 1 - (1 - p)^n = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^n$

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解題方法

第一部分：求 100 年重現期距之設計流量（$Q_{100}$）

1. 計算累積機率 $F(Q_{100})$： 重現期距 $T = 100\ \text{年}$，其年超越機率 $p$ 為： $p = \frac{1}{T} = \frac{1}{100} = 0.01$ 對應之年不超越機率（累積機率）為： $F(Q_{100}) = 1 - p = 1 - 0.01 = 0.99$

2. 查表求標準常態偏差值 $Z$： 查題目所附之標準常態分布累積機率表： 當 $F(Z) = 0.99$ 時，對應之標準常態變量為 $Z_{100} = 2.326$。

3. 計算設計流量 $Q_{100}$： 已知平均值 $\mu = 1200\ \mathrm{m^3/sec}$，標準偏差 $\sigma = 540\ \mathrm{m^3/sec}$： $Q_{100} = \mu + Z_{100} \cdot \sigma$ $Q_{100} = 1200 + 2.326 \times 540 = 1200 + 1256.04 = 2456.04\ \mathrm{m^3/sec}$

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核心觀念

本題測驗「灌溉工程系統」（Irrigation System）之整體架構與組成單元。一個完整的灌溉系統是將水資源由天然水源「開發取用、輸運、調節、配水量測、施灌至農田，並將過剩水量安全排除」的綜合工程體系。作答核心在於依循水流動線與功能模組，系統化列舉各項設施之標準工程專有名詞，而非雜亂無章地堆疊零散構件。

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解題方法

本題為申論題，若僅條列口語化名詞（如「水溝、水門、抽水機」）難以取得高分。最適切的切入點為**「水流生命週期與功能分類法」**：

1. 水源與取水設施（水源頭端）
2. 輸配水渠道系統（輸送主動脈）
3. 渠道附屬水工構造物（節點調控、落差消能、交叉跨越、安全防護與水量量測）
4. 田間灌溉設施（田間末端施灌）
5. 灌溉排水設施（過剩水排放）

透過層次分明的分類並附上對應之工程機能簡述，能展現嚴謹的水利工程專業素養。

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解題技巧

1. 記憶口訣——「取、輸、調、越、量、護、排」：

• 取：取水堰、進水口、抽水站。
• 輸：導水路、幹支分線、渠道被覆。
• 調：制水閘、分水工。
• 越：渡槽、倒虹吸工、暗渠。
• 量：量水堰、巴歇爾量水槽。
• 護：沉砂池、退水工、溢洪道。
• 排：排水路、排水閘門。

2. 專有名詞精準度：避免使用日常俗稱，務必使用水利工程界規範術語（如寫「倒虹吸工」而非「地下過水管」；寫「跌水工／陡槽工」而非「斜坡滑水道」）。
3. 區分灌溉與排水：灌溉系統本質上包含「給水系統」與「排水系統」，答題時補上排水與退水構造物，能使系統完整性無懈可擊。

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【答案】

灌溉系統中常見之工程設施依其水流動線與功能分類列舉如下：

一、水源與取水工程設施（Headworks and Intake Facilities）

1. 攔河堰／溢流堰（Diversion Weir / Overflow Weir）：抬高河川水位，以利重力引水。
2. 進水口／取水門（Intake Structure / Intake Gate）：控制自河川、水庫或埤塘引入導水路之進水量。
3. 沉砂池（Desilting Basin / Settling Basin）：設於進水口下游，降低水流流速以沉降泥砂，防止渠道淤積與水工機件磨損。
4. 灌溉抽水站（Pumping Station）：當水源水位低於灌區農田而無法進行重力灌溉時，利用水泵提升水位施灌。
5. 蓄水埤塘／蓄水池（Farm Pond / Storage Reservoir）：儲存非灌溉期之基流或降雨，調節供水時間差。

二、輸配水渠道設施（Conveyance and Distribution Canals）

1. 導水路（Head Race / Main Conduit）：自水源進水口引水至灌區幹渠起點之主水路。
2. 幹渠、支渠、分渠（Main Canal, Laterals, and Sub-laterals）：將水流由大系統層層分流遞送之明渠或管路。
3. 給水路（Farm Ditch / Field Ditch）：包括「小給水路」，負責將分渠之水分配至各灌溉坵塊之末端渠道。
4. 渠道被覆工（Canal Lining）：採用混凝土、砌石或地工膜等材料鋪設渠槽，具防滲漏（減少輸水損失）、抗沖刷及維持水力通水斷面之功能。

核心觀念

本題考查明渠均勻流（Uniform Flow）之曼寧公式、圓形管渠非滿管水力幾何特徵，以及水力學與水資源工程中對**「最佳水力斷面」（Best Hydraulic Section）**的學理定義與工程應用。

1. 曼寧公式（Manning's Formula）： 重力流管渠之通水流量公式為： $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S^{1/2}$ 式中，$n$ 為曼寧糙率係數，$A$ 為通水斷面積，$P$ 為濕周，$R = \frac{A}{P}$ 為水力半徑，$S$ 為渠道縱坡。在 $n$ 與 $S$ 固定條件下，流量正比於斷面之水力通水能力：$Q \propto A R^{2/3} = \frac{A^{5/3}}{P^{2/3}}$。

2. 滿管水力條件（$Q_1$）： 當水深恰等於管徑（$y = D$）時，斷面為全圓閉合：

• 通水面積：$A_1 = \frac{\pi D^2}{4}$
• 濕周：$P_1 = \pi D$
• 水力半徑：$R_1 = \frac{A_1}{P_1} = \frac{D}{4}$

3. 最佳水力斷面之雙重視角：

• 學理標準定義（開渠半圓形斷面）：在固定面積 $A$、坡度 $S$、糙率 $n$ 下，使濕周 $P$ 最小（水力半徑 $R$ 最大）而獲得最大流量之斷面。在所有明渠形狀中，半圓形（水深 $y = D/2 = 0.5D$）為最理想之最佳水力斷面。
• 工程設計實務（管渠最大輸送容量斷面）：在管徑 $D$ 已固定之工程實務中，以追求最高水力輸送效率（最大流量）設計水深時，因水深接近管頂時濕周增加速率遠大於面積增加速率，最大流量並非發生在滿管（$y = D$），而是發生在非滿管之最大容量水深（$y \approx 0.938D$）。

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解題方法

步驟一：計算滿管流量 $Q_1$

水深 $y_1 = D$ 時，依曼寧公式： $Q_1 = \frac{1}{n} A_1 R_1^{2/3} S^{1/2} = \frac{1}{n} \left(\frac{\pi D^2}{4}\right) \left(\frac{D}{4}\right)^{2/3} S^{1/2}$

步驟二：推導圓形渠道非滿管水力幾何方程式

設圓形管徑為 $D$、半徑 $r = D/2$，水面與圓心之夾角（水心角）為 $\theta$（弧度制 $\text{rad}$）：

• 水深：$y = \frac{D}{2}\left(1 - \cos\frac{\theta}{2}\right)$
• 通水面積：$A(\theta) = \frac{D^2}{8}(\theta - \sin\theta)$
• 濕周：$P(\theta) = \frac{D}{2}\theta$
• 水力半徑：$R(\theta) = \frac{A(\theta)}{P(\theta)} = \frac{D}{4}\left(1 - \frac{\sin\theta}{\theta}\right)$
• 流量：$Q(\theta) = \frac{S^{1/2}}{n} \frac{A(\theta)^{5/3}}{P(\theta)^{2/3}}$

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步驟三：依兩種主流觀點推導設計流量 $Q_2$ 及比值 $Q_2/Q_1$

觀點一：依明渠水力學嚴格學理定義（半圓形最佳水力斷面，$y = 0.5D$）

水力學理論證明，在所有對稱開渠斷面中，以「半圓形」之水力效率最高，具最小濕周與最大水力半徑。此時水面通過圓心，水深為管半徑，即 $y_2 = \frac{D}{2} = 0.5D$（水心角 $\theta = \pi = 180^\circ$）：

1. 斷面水力參數：

• 通水面積：$A_2 = \frac{\pi D^2}{8} = \frac{1}{2} A_1$
• 濕周：$P_2 = \frac{\pi D}{2} = \frac{1}{2} P_1$
• 水力半徑：$R_2 = \frac{A_2}{P_2} = \frac{D}{4} = R_1$

2. 計算流量比值： $Q_2 = \frac{1}{n} A_2 R_2^{2/3} S^{1/2} = \frac{1}{n} \left(\frac{1}{2} A_1\right) R_1^{2/3} S^{1/2} = \frac{1}{2} Q_1$ $\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{1}{2} = 0.5$

觀點二：依管渠水力工程設計導向（最大輸送容量／最大流量斷面，$y \approx 0.938D$）

若以既定管徑 $D$ 發揮「最佳水力輸送性能（最大流量 $Q_{max}$）」為設計導向，則需求出令 $Q(\theta)$ 達極大值之條件：

1. 求導尋求極值：