108 高普考普通考試 水利工程 水文學概要 考古題詳解

核心觀念

徐昇氏法依各雨量站代表的集水區面積比例，計算流域平均雨量。第 $i$ 站的徐昇氏權重為

其中 $A_i$ 是該站徐昇多邊形面積，$A=450\ \mathrm{km^2}$ 是集水區總面積。平均年雨量為

解題方法

依圖中各多邊形所包含的雨量站，將表一面積對應至各站：

將表二雨量代入加權平均式：

圖中 $a$、$b$、$c$、$d$、$g$ 的求法

核心觀念

1. 水文風險（Hydrologic Risk）與二項式分佈（Binomial Distribution）： 水工結構物在設計年限 $n$ 年內，各年份是否發生超過設計標準之暴雨事件彼此獨立，且每年發生的機率皆相同，故事件發生次數 $X$ 服從二項式分佈 $X \sim B(n, p)$：

• 年超越機率（Exceedance Probability）：$p = \dfrac{1}{T}$，其中 $T$ 為設計重現期（Return Period）。
• 年未超越機率（Non-exceedance Probability）：$q = 1 - p = 1 - \dfrac{1}{T}$。
• 在結構物壽命 $n$ 年內，恰好發生 $k$ 次超過設計量之機率為： $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$

2. 結構物提早損壞之風險定義：

• 原設計在 $n$ 年內發生 $2$ 次（含）以上超過設計量即提早損壞，損壞風險即為累積超越機率 $R = P(X \ge 2)$。
• 利用互補事件（餘事法）簡化計算： $R = P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$

3. 設計標準之提高與結構強化：

• 提高設計標準：藉由提升設計重現期 $T$（降低年超越機率 $p$），使 $P(X \ge 2)$ 降低。
• 結構物本體強化：維持原設計重現期 $T = 5\text{ 年}$（$p = 0.2$）不變，提高結構耐受能力，使其能容忍更多次超量事件而不損壞（即提高提早損壞之門檻次數）。

解題方法

第一小題：求原設計下該結構物提早損壞之風險 $R_1$

1. 已知條件：

• 壽命期限 $n = 10\text{ 年}$
• 設計重現期 $T = 5\text{ 年}$
• 年超越機率 $p = \dfrac{1}{5} = 0.2$
• 年未超越機率 $q = 1 - 0.2 = 0.8$

2. 計算各次數機率：

• $10\text{ 年}$ 內完全未超過設計量（$k = 0$）： $P(X = 0) = \binom{10}{0} (0.2)^0 (0.8)^{10} = (0.8)^{10} \approx 0.107374 \ (10.74\%)$
• $10\text{ 年}$ 內恰好超過設計量 $1$ 次（$k = 1$）： $P(X = 1) = \binom{10}{1} (0.2)^1 (0.8)^9 = 10 \times 0.2 \times (0.8)^9 = 2 \times (0.8)^9 \approx 0.268435 \ (26.84\%)$

3. 計算提早損壞風險 $R_1$： $R_1 = P(X \ge 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ $R_1 = 1 - [0.107374 + 0.268435] = 1 - 0.375809 = 0.624191 \approx 62.42\%$

第二小題：求須將設計標準提高多少才能減少 30% 之風險？

題目所稱「減少 30% 之風險」，在水文風險學理與工程統計上，係指相對風險降低 30%；亦有部分命題者考量絕對風險值降低 30 個百分點，以下分別列出定案推導：

情況一：相對風險減少 30%（標準統計定義）

1. 目標風險值 $R_2$： $R_2 = R_1 \times (1 - 0.30) = 0.624191 \times 0.70 = 0.436934 \ (43.69\%)$

2. 建立方程式求新超越機率 $p'$： 令新年超越機率為 $p'$，年未超越機率為 $q' = 1 - p'$： $P(X \ge 2) = 1 - (q')^{10} - 10p'(q')^9 \le 0.436934$ $\implies (q')^9 [q' + 10(1-q')] = (q')^9 (10 - 9q') \ge 0.563066$

3. 數值求解與內插：

• 當 $p' = 0.15$（$q' = 0.85$）： $(0.85)^9 [10 - 9(0.85)] = 0.231617 \times 2.35 = 0.544300 \implies R = 1 - 0.544300 = 0.455700\ (45.57\%)$
• 當 $p' = 0.14$（$q' = 0.86$）： $(0.86)^9 [10 - 9(0.86)] = 0.257300 \times 2.26 = 0.581498 \implies R = 1 - 0.581498 = 0.418502\ (41.85\%)$
• 線性內插求 $p'$： $p' \approx 0.15 - \frac{0.563066 - 0.544300}{0.581498 - 0.544300} \times (0.15 - 0.14) \approx 0.15 - 0.005045 = 0.144955$
• 對應之新重現期 $T'$： $T' = \frac{1}{p'} = \frac{1}{0.144955} \approx 6.90\text{ 年}$

4. 設計標準提升幅度：

• 重現期須由 $5\text{ 年}$ 提升至約 $6.90\text{ 年}$（提升約 $1.90\text{ 年}$，即設計重現期提高約 $38.0\%$）。
• 若工程規劃採整數年為標準，則設計重現期須提高至 $7\text{ 年}$（提高 $2\text{ 年}$）。

核心觀念

地下水流向由地下水位的水力水頭梯度判定：地下水由水頭高處流向水頭低處。此題以地下水位高程代表水力水頭，先用「地表高程減地下水位距地表深度」求出各井水頭，再由三井位置與水頭變化求梯度。地下水流向與水頭梯度方向相反。

解題方法

各井地下水位高程為：

取東為 $x$ 正向、北為 $y$ 正向，令 A 井座標為 $(0,0)$。依題意，B 在 A 正南方，C 在 B 正西方，因此：

• A：$(0,0)$，水頭 $177\ \mathrm{m}$
• B：$(0,-1000)$，水頭 $180\ \mathrm{m}$
• C：$(-1000,-1000)$，水頭 $176\ \mathrm{m}$

設三井間的水頭面為平面 $h=ax+by+c$。由 A 井可得 $c=177$；由 B 井可得：

再由 C 井可得：

核心觀念

本題為國家考試水利工程類科極具代表性的基礎綜合題，涵蓋水文學三大核心主軸：

1. 水文歷線與洪水演進（Hydrograph & Flood Routing）：河川槽蓄作用（Channel Storage）、滯延效應（Translation & Attenuation）對洪水波變形的影響。
2. 水文損失（Hydrologic Abstractions / Losses）：降雨在到達集水區出口形成直接逕流前的各項減損機制（截留、窪蓄、入滲、蒸發散）。
3. 水資源工程與水庫容量配置（Reservoir Storage Allocation）：水庫縱剖面各關鍵水位（Water Levels）及對應之蓄水空間（Storage Zones）定義與功能劃分。

解題方法

• 第（一）小題：從洪水波在河道向下游傳遞時的物理機制切入。繪製同一場暴雨引發之洪水在「上游測站」與「下游測站」的流量歷線（Hydrograph），比較兩者在洪峰流量（$Q_p$）、達到洪峰時間（$t_p$）、基底歷時（$t_b$）之差異，並從「河道槽蓄」、「漫灘滯洪」及「水流阻抗」三方面論述成因。
• 第（二）小題：依降雨轉化為逕流的時間先後與物理機制，條列並定義四大主要水文損失因子（截留、窪蓄、入滲、蒸發散），並指出各因子在短期暴雨洪水中的相對重要性。
• 第（三）小題：繪製水庫大壩與水域剖面示意圖，自上而下清楚標示各基準水位（壩頂、最高洪水位、常時滿水位、呆水位、庫底）及對應之庫容分區（出水高、防洪容量、有效容量、呆容量），並逐一簡述其水理意義。

詳細解析

（一）河川上游與下游在洪水期間之流量歷線差異及成因

1. 上下游流量歷線比較簡圖

 流量 Q
 ^
 | /\ (上游歷線：尖銳、峰高、時短)
 | / \
 | / \
 | / ^ \ _--_ (下游歷線：平緩、峰低、延遲)
 | / / \ \ _- -_
 | / / \ \ _- -_
 | / / \ \ _- -_
 | / / \__-- -_
 | / / --_
 +-----------------------------------------> 時間 t
 |<-tp1->|
 |<----- tp2 ----->|
 |<-- tb1 -->|
 |<------------- tb2 ------------->|

註：$t_{p1}$ 為上游洪峰到達時間，$t_{p2}$ 為下游洪峰到達時間；$t_{b1}$ 為上游基底歷時，$t_{b2}$ 為下游基底歷時。

2. 歷線形態差異比較

3. 造成差異之原因分析

1. 河道槽蓄效應（Channel Storage Effect）： 洪水波向下游傳遞時，河道斷面容納蓄積了部分水量（槽蓄量）。當進流量大於出流量時，多餘水量暫存於河道中，產生「削峰（Peak Attenuation）」與「滯延（Time Lag）」作用，使下游洪峰降低、發生時間向後推遲。
2. 漫灘溢流與糙度阻抗（Floodplain Storage & Flow Resistance）： 下游河道通常坡降較平緩，洪水易溢出主河槽進入高灘地或氾濫平原，大幅增加滯洪面積；且高灘地植被增加流動阻力，降低水流平均流速，拉長洪水歷程。
3. 集水區形狀與流路延展（Travel Time & Dispersion）： 上游坡度陡峻、集水面積小、流路短，降雨集中後匯流極快；下游各支流匯入的洪峰到達時間不同，水流經長距離傳播後因水力擴散（Hydraulic Dispersion）作用，使整體出流歷線被拉長平攤。

（二）降雨至逕流形成過程中的損失因子

在水文循環中，總降雨量（Gross Rainfall, $P$）轉化為直接逕流（Direct Runoff, $R$）過程中被攔截或轉移的水量稱為「水文損失（Hydrologic Losses / Abstractions）」，主要因子包括以下四項：

1. 截留損失（Interception Loss）：

• 機制：降雨初期，雨滴降落至植物葉面、枝幹或人造地表建物，未直接落入地面而被捕捉攔截的水量。
• 特性：植物冠層之截留容量飽和後，多餘雨水轉為穿落（Throughfall）與樹幹流（Stemflow）。截留的水分大部分直接蒸發回大氣，為降雨初期的主要損失之一。

2. 窪蓄損失（Depression Storage Loss）：

• 機制：雨水落至地面後，填補地表微地形之坑洞、窪地、溝渠所滯留之水量。
• 特性：通常在入滲率小於降雨強度、地表開始積水時顯著發生。窪蓄之水最終透過蒸發散入大氣，或在降雨停止後緩慢入滲地下，無法形成即時的地表逕流。

3. 入滲損失（Infiltration Loss）：

• 機制：水分子由地表克服重力與毛管力，滲入土壤孔隙內部的水文過程。
• 特性：為所有損失因子中數量最大、最關鍵的一項。入滲水分首先補充土壤水分虧缺（Soil Moisture Deficit），達田間容水量後再向下深層滲漏補注地下水。入滲能力隨降雨歷時呈指數遞減，直至趨於穩定的最終入滲率（$f_c$）。

4. 蒸發與蒸散損失（Evaporation & Evapotranspiration, ET）：