109 高普考普通考試 水利工程 流體力學概要 考古題詳解

109 年・高普考・普通考試・水利工程
試題代碼 流體力學概要

第 一 題25 分

高樓的某窗戶，在颱風時承受 144 km/h144\ \mathrm{km/h} 的風速作用，其風場流線示意如圖一所示。窗戶面積為 0.9 m×1.8 m0.9\ \mathrm{m}\times1.8\ \mathrm{m}，試計算窗戶所承受的風作用力。設空氣密度為 1.27 kg/m31.27\ \mathrm{kg/m^3}。

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核心觀念

本題考流體撞擊窗戶後形成停滯點的壓力增量。依伯努力方程，遠處自由流的速度水頭轉換為窗面附近的停滯壓力；若室內壓力為大氣壓，窗戶承受的壓差為風速對應的動壓：

Δp=12ρV2\Delta p=\frac{1}{2}\rho V^2

窗戶所受風力為壓差乘以受力面積：

F=ΔpAF=\Delta p A

解題方法

先將風速換算為 SI 單位：

V=144 km/h=144×10003600=40 m/sV=144\ \mathrm{km/h} =144\times\frac{1000}{3600} =40\ \mathrm{m/s}

窗戶面積為：

A=0.9×1.8=1.62 m2A=0.9\times1.8=1.62\ \mathrm{m^2}
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第 二 題25 分

如圖二，穩定水流（steady water flow）流經漸縮圓管，假設沿著管中心流線的速度呈線性變化，AA 及 BB 處的速度分別為 VA=6 m/sV_A=6\ \mathrm{m/s} 及 VB=18 m/sV_B=18\ \mathrm{m/s}。試求 AA、CC 及 BB 三處的加速度。

圖中 AA 至 CC 的距離為 0.05 m0.05\ \mathrm{m}，AA 至 BB 的距離為 0.1 m0.1\ \mathrm{m}，流動方向為 xx 軸正方向。

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核心觀念

穩定流中，定點速度不隨時間改變，因此局部加速度為零；但流體微粒沿流線前進時，速度大小仍可改變，所以仍有對流加速度。沿流線的一維加速度為

as=VdVdsa_s=V\frac{dV}{ds}

本題的中心流線沿 xx 軸正方向，且速度沿線性變化，因此 dV/dsdV/ds 為常數。

解題方法

由 AA、BB 兩處的速度及距離，求沿流線的速度梯度：

dVds=VB−VAsB−sA=18−60.1=120 s−1\frac{dV}{ds}=\frac{V_B-V_A}{s_B-s_A} =\frac{18-6}{0.1} =120\ \mathrm{s^{-1}}

CC 位於 AA 與 BB 的中點，距離 AA 為 0.05 m0.05\ \mathrm{m}。由速度線性變化：

VC=VA+0.050.1(VB−VA)=6+12(12)=12 m/sV_C=V_A+\frac{0.05}{0.1}(V_B-V_A) =6+\frac{1}{2}(12) =12\ \mathrm{m/s}

各處加速度為：

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第 三 題25 分

如圖三，水流自水庫經水管及渦輪發電機後流入河川。水管的管徑為 0.75 m0.75\ \mathrm{m}，管中的水流量為 2.5 m3/s2.5\ \mathrm{m^3/s}，水庫的水面與河川水面的高差為 30 m30\ \mathrm{m}，管中水流的總能量損失係數 KLK_L 為 22。假若渦輪發電機的功率輸出效率為 88%88\%，試計算渦輪發電機的輸出功率。

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核心觀念

本題考查含水頭損失與水輪機取出水頭的能量方程。由水庫水面到河川水面，兩端皆為大氣壓，且水面流速可忽略，因此水面高差會分配為管路損失水頭與水輪機取出的水頭：

Δz=HL+HT\Delta z=H_L+H_T

管路損失水頭為 HL=KLV22gH_L=K_L\dfrac{V^2}{2g}；水輪機的水力輸入功率為 ρgQHT\rho gQH_T，發電機輸出功率則為水力輸入功率乘以效率。

解題方法

先由流量與管徑求管內平均流速：

A=πD24=π(0.75)24=0.4418 m2A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.75)^2}{4} =0.4418\ \mathrm{m^2} V=QA=2.50.4418=5.659 m/sV=\frac{Q}{A} =\frac{2.5}{0.4418} =5.659\ \mathrm{m/s}

計算管路損失水頭：

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第 四 題25 分

某一離岸風力發電機的圓柱基座需承受海流及波浪的聯合作用，今以 1:161:16 的模型比例尺在實驗室進行水工模型試驗。若原型海流的速度為 4 m/s4\ \mathrm{m/s}，波浪週期為 8 s8\ \mathrm{s}，而波高為 4 m4\ \mathrm{m}。假設原型與模型的水比重相同。

（一）試決定模型試驗所需設定的海流速度、波浪週期及波高。（15 分）

（二）若於模型試驗中量測到某瞬間作用於圓柱的力為 10 N10\ \mathrm{N}，則其對應原型的瞬間作用力為若干？（10 分）

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核心觀念

本題考查水工模型的相似律。模型與原型的幾何比例為 1:161:16，且兩者使用相同比重的水。海流與波浪作用以重力效應為主，因此採用 弗勞德相似律，使模型與原型的弗勞德數相同：

Fr=VgLFr=\frac{V}{\sqrt{gL}}

其中 VV 為特徵速度、gg 為重力加速度、LL 為特徵長度。令長度比例（模型／原型）為 λL=1/16\lambda_L=1/16，則速度比例為 λV=λL\lambda_V=\sqrt{\lambda_L}，時間比例為 λT=λL\lambda_T=\sqrt{\lambda_L}。力的比例則由 F∼ρV2L2F\sim \rho V^2L^2 得出；因水比重相同，密度比為 11。

解題方法

由弗勞德相似律：

VmgLm=VpgLp⇒VmVp=LmLp=116=14\frac{V_m}{\sqrt{gL_m}} = \frac{V_p}{\sqrt{gL_p}} \quad\Rightarrow\quad \frac{V_m}{V_p} = \sqrt{\frac{L_m}{L_p}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}

因此模型海流速度為：

Vm=4(14)=1 m/sV_m=4\left(\frac{1}{4}\right)=1\ \mathrm{m/s}

波浪週期是時間尺度，依弗勞德相似律：

TmTp=LmLp=14⇒Tm=8(14)=2 s\frac{T_m}{T_p} = \sqrt{\frac{L_m}{L_p}} = \frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad T_m=8\left(\frac{1}{4}\right)=2\ \mathrm{s}
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