110 高普考普通考試 機械工程 機械原理概要 考古題詳解

110 年・高普考・普通考試・機械工程
試題代碼 機械原理概要

第 一 題

西班牙滑車是由一個定滑輪及一個動滑輪組成。若使用兩組西班牙滑車，就成為所謂帆滑車，請回答下列問題：

(一) 若只使用一組西班牙滑車，如下方左圖所示，請畫出施力分析圖，說明機械利益為多少（不考慮纜繩間的夾角，當作都平行）？（1010 分）

(二) 當使用下方右側圖的帆滑車，若施力端最大可提供 F=150 kgfF=150\ \mathrm{kgf}，那最多可舉起重物多少公斤？若希望舉起重物 4 m4\ \mathrm{m}，施力端至少要拉多少公尺？（1515 分）

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核心觀念

理想滑輪不計摩擦、纜繩重量與滑輪重量，同一條纜繩各段張力相同，記為 TT。機械利益為重物重量與施力之比：

MA=WF\mathrm{MA}=\frac{W}{F}

也可由虛功關係計算：重物上升距離為 hh 時，施力端移動距離為 ss，則

Fs=WhF s=W h

因此，理想滑車的機械利益等於承受重物的纜繩段數。

解題方法

（一）一組西班牙滑車

圖中動滑輪及繫在動滑輪組上的纜繩端，隨重物一起移動。對重物與動滑輪組作受力分析，三段纜繩各提供一個向上的張力：

↑T↑T↑T動滑輪組與重物↓W\begin{array}{c} \uparrow T \quad \uparrow T \quad \uparrow T\\ \boxed{\text{動滑輪組與重物}}\\ \downarrow W \end{array}

平衡時：

W=3TW=3T

施力端張力 F=TF=T，所以

MA=WF=3TT=3\mathrm{MA}=\frac{W}{F}=\frac{3T}{T}=3

（二）帆滑車

依右圖的纜繩配置，承受重物的纜繩段共有五段，因此帆滑車的理想機械利益為 55：

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第 二 題

下圖為一行星齒輪系示意圖，右側為輸入軸，左側為輸出軸。所有齒輪都是壓力角 20∘20^\circ 的正齒輪。齒輪 22、44、55 的齒數分別為 T2=75T_2=75、T4=40T_4=40、T5=50T_5=50。齒輪 22 為固定不動，其模數為 2 mm2\ \mathrm{mm}；齒輪 55 的模數為 4 mm4\ \mathrm{mm}。輸入軸轉速為 200200 轉／分鐘，請回答下列問題：

(一) 齒輪 33 的齒數是多少？其基圓直徑與節圓直徑各為多少？齒輪 44 與齒輪 55 的中心距離為多少？（1515 分）

(二) 輸出軸轉速為多少？轉動方向與輸入軸轉向相同嗎？（1010 分）

圖示標示：

  • 齒輪 44、齒輪 33、齒輪 55、齒輪 22。
  • 齒輪 22 為固定齒輪（Fixed）。
  • 右側為輸入軸（Input），左側為輸出軸（Output）。
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核心觀念

本題考查複式行星齒輪系的齒數與轉速計算。齒輪互相嚙合時模數必須相同；同一行星齒輪組中，齒輪 33、44 共軸且固接，因此轉速相同。行星齒輪的中心位置固定於行星架，故兩組嚙合的中心距相等。轉速則以行星架為相對運動基準，套用威利斯公式。

依圖，齒輪 22 固定，輸入軸帶動行星架，齒輪 55 連接輸出軸；齒輪 22 與 33、齒輪 44 與 55 為外嚙合。

解題方法

（一）求齒輪 33 齒數、基圓直徑、節圓直徑與齒輪 44、55 中心距

齒輪 22 與 33 嚙合，因此齒輪 33 的模數為 m3=2 mmm_3=2\ \mathrm{mm}。齒輪 44 與 55 嚙合，因此 m4=m5=4 mmm_4=m_5=4\ \mathrm{mm}。

兩組齒輪的中心距相等：

m2(T2+T3)2=m4(T4+T5)2\frac{m_2(T_2+T_3)}{2} = \frac{m_4(T_4+T_5)}{2}

代入已知數值：

2(75+T3)2=4(40+50)2\frac{2(75+T_3)}{2} = \frac{4(40+50)}{2} 75+T3=180⇒T3=10575+T_3=180 \quad\Rightarrow\quad \boxed{T_3=105}

齒輪 33 的節圓直徑為：

d3=m3T3=2×105=210 mmd_3=m_3T_3=2\times105=\boxed{210\ \mathrm{mm}}

壓力角 ϕ=20∘\phi=20^\circ，基圓直徑為：

db3=d3cos⁡ϕ=210cos⁡20∘≈197.47 mmd_{b3}=d_3\cos\phi =210\cos20^\circ \approx\boxed{197.47\ \mathrm{mm}}

齒輪 44 與齒輪 55 的中心距為：

a45=m4(T4+T5)2=4(40+50)2=180 mma_{45}=\frac{m_4(T_4+T_5)}{2} =\frac{4(40+50)}{2} =\boxed{180\ \mathrm{mm}}

（二）求輸出軸轉速與方向

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第 三 題

下圖為一組四連桿機構的示意圖，連桿 11 為固定桿，連桿 22 為輸入桿。附表列出甲、乙兩組四連桿的 44 根連桿長度，r1r_1、r2r_2、r3r_3、r4r_4 分別代表桿 11、桿 22、桿 33 及桿 44 的長度，單位為公分，請回答下列問題：

(一) 這兩組四連桿是否都可以組成四連桿機構？對可以組成的四連桿機構組，是否至少有一根連桿可以旋轉 360∘360^\circ？若有，是哪幾根連桿？（1313 分）

(二) 對可以組成的四連桿機構組，請找出連桿 44 可以旋轉到的兩個極限位置，並分別畫出連桿 44 在極限位置的四連桿機構構型，且計算出連桿 44 在這兩個極限位置間可轉動的角度。（1212 分）

四連桿機構圖示標示：

  • 固定桿 11，輸入桿 22，連桿 33，連桿 44。
  • 節點 BB、DD、O2O_2、O4O_4。
  • 各連桿長度標示為 r1r_1、r2r_2、r3r_3、r4r_4。

附表：

組別r1r_1r2r_2r3r_3r4r_4
甲2020454515159090
乙2525101025252020

單位：公分。

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核心觀念

四連桿能否組成，先檢查最長桿是否小於其餘三桿長度總和；若不成立，四桿無法首尾相接。能組成後，再用 Grashof 定律判斷是否有曲柄：

s+l≤p+qs+l \leq p+q

其中 ss、ll 分別是最短桿與最長桿，p,qp,q 是另外兩桿。符合 Grashof 條件時，最短桿若與固定桿相鄰，最短桿可作曲柄；另一側的活動桿作搖桿。

解題方法與計算

甲組最長桿為 r4=90r_4=90 公分，其餘三桿總長為

r1+r2+r3=20+45+15=80r_1+r_2+r_3=20+45+15=80

因為 90>8090>80，四桿無法首尾相接，甲組不能組成四連桿機構。

乙組最長桿為 2525 公分，其餘三桿總長為 10+25+20=5510+25+20=55 公分，滿足組成條件。其最短桿為 r2=10r_2=10 公分，且

s+l=10+25=35<25+20=45s+l=10+25=35<25+20=45

乙組符合 Grashof 條件。固定桿 r1r_1 與最短桿 r2r_2 相鄰，所以 r2r_2 可作曲柄，旋轉 360∘360^\circ；連桿 44 為搖桿，不能旋轉 360∘360^\circ。

連桿 44 到達兩個極限位置時，輸入桿 r2r_2 與連桿 r3r_3 共線。令 x=O2Dx=O_2D，兩種共線情形分別為

x=r2+r3=10+25=35x=r_2+r_3=10+25=35 x=∣r3−r2∣=∣25−10∣=15x=|r_3-r_2|=|25-10|=15

設 α\alpha 為 O4O_4 處，固定桿 O4O2O_4O_2 與連桿 O4DO_4D 的夾角。由餘弦定理：

cos⁡α=r12+r42−x22r1r4\cos\alpha=\frac{r_1^2+r_4^2-x^2}{2r_1r_4}

第一個極限位置取 x=35x=35：

cos⁡α1=252+202−3522(25)(20)=−0.2\cos\alpha_1=\frac{25^2+20^2-35^2}{2(25)(20)}=-0.2

故 α1≈101.54∘\alpha_1\approx101.54^\circ。若連桿 44 的角度 θ4\theta_4 從水平向右方向逆時針量起，則 θ4=180∘−α\theta_4=180^\circ-\alpha，因此

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第 四 題

下圖為帶式制動器示意圖。鼓輪半徑為 40 cm40\ \mathrm{cm}，與摩擦帶的接觸角為 θ=210∘\theta=210^\circ，摩擦係數為 0.250.25，a=50 cma=50\ \mathrm{cm}，L=120 cmL=120\ \mathrm{cm}。對制動桿末端施予 PP 公斤力進行制動，請回答下列問題：

(一) 鼓輪逆時針旋轉時，摩擦帶左邊張力還是右邊張力較大？兩邊張力比值 F1/F2F_1/F_2 為何？（1010 分）

(二) 當施力 PP 值固定，對逆時針旋轉鼓輪產生的制動扭矩較大，還是對順時針旋轉鼓輪產生的制動扭矩較大？還是都一樣？請寫出估算方式。（88 分）

(三) 鼓輪逆時針旋轉時，若要產生制動扭矩 200 kgf⋅cm200\ \mathrm{kgf\cdot cm}，PP 應該要多少公斤力？（77 分）

帶式制動器圖示標示：

  • 摩擦帶及摩擦材料。
  • 鼓輪。
  • 制動桿。
  • 支點。
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核心觀念

本題考帶式制動器的兩個關係：

  1. 帶與鼓輪間的張力比 F緊邊F鬆邊=eμθ\frac{F_{\text{緊邊}}}{F_{\text{鬆邊}}}=e^{\mu\theta} 其中包角 θ\theta 必須以弳度代入。

  2. 制動鼓輪的扭矩 T=(F緊邊−F鬆邊)rT=(F_{\text{緊邊}}-F_{\text{鬆邊}})r

圖中左端 F1F_1 固定在支點，右端 F2F_2 接在制動桿距支點 aa 處；施力 PP 距支點 LL。

（一）判斷張力大小與比值

鼓輪逆時針旋轉時，鼓輪表面的摩擦力會帶動摩擦帶沿接觸面由左側往右側運動，因此右側 F2F_2 為緊邊、左側 F1F_1 為鬆邊，故 F2>F1F_2>F_1。

包角換算為弳度：

θ=210∘×π180∘=7π6\theta=210^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{7\pi}{6}

代入帶傳動張力比公式：

F2F1=e0.25(7π/6)≈2.50\frac{F_2}{F_1}=e^{0.25(7\pi/6)}\approx2.50

因此：

F1F2≈0.40\boxed{\frac{F_1}{F_2}\approx0.40}

（二）固定 PP 時，哪個方向的制動扭矩較大？

對制動桿取支點力矩。右端帶張力的力臂為 aa，施力 PP 的力臂為 LL，因此：

F2a=PL,F2=PLaF_2a=PL,\qquad F_2=\frac{PL}{a}

固定 PP 時，F2F_2 固定。逆時針旋轉時 F2F_2 為緊邊，順時針旋轉時則 F1F_1 為緊邊。

令張力比 K=eμθ≈2.50K=e^{\mu\theta}\approx2.50，則：

  • 逆時針旋轉： F1=F2/KF_1=F_2/K

T逆時針=rF2(1−1K)T_{\text{逆時針}}=rF_2\left(1-\frac{1}{K}\right)

  • 順時針旋轉： F1=KF2F_1=KF_2

T順時針=rF2(K−1)T_{\text{順時針}}=rF_2(K-1)

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