110 高普考普通考試 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

110 年・高普考・普通考試・機械工程
試題代碼 機械力學概要

第 一 題25 分

如圖所示，一支均勻瘦長的簡支梁（simply supported beam）ABAB 於端點 AA、BB 承受彎矩荷載。梁的長度為 LL，楊氏係數為 EE，斷面慣性矩為 II。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）請繪製梁 ABAB 的剪力分布圖及彎矩分布圖。（13 分）

（二）請推導該梁的撓度曲線（deflection curve）表示式 v(x)v(x)。（12 分）

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核心觀念

本題考查簡支梁兩端受集中彎矩時的支承反力、剪力與彎矩，以及由彎矩曲率關係推導撓度。取逆時針為正，依圖示方向，AA 端彎矩為順時針 2M02M_0，BB 端彎矩為逆時針 M0M_0。

使用的關係式為：

∑Fy=0,∑M=0,dMdx=V,EId2vdx2=M\sum F_y=0,\qquad \sum M=0,\qquad \frac{dM}{dx}=V,\qquad EI\frac{d^2v}{dx^2}=M

其中剪力正號取左側截面向上，彎矩正號取正彎矩（下凹、撓曲後呈笑臉形）。

解題方法

（一）支承反力、剪力圖與彎矩圖

設兩端垂直反力為 AyA_y、ByB_y，向上為正。整梁平衡：

Ay+By=0A_y+B_y=0

以 AA 點取矩，逆時針為正：

ByL−2M0+M0=0B_yL-2M_0+M_0=0

因此

By=M0L,Ay=−M0LB_y=\frac{M_0}{L},\qquad A_y=-\frac{M_0}{L}

也就是 AA 點反力向下，BB 點反力向上。任取 0<x<L0<x<L 的截面，左段只有 AyA_y 造成剪力，因此

V(x)=Ay=−M0LV(x)=A_y=-\frac{M_0}{L}

左段取矩可得彎矩：

M(x)=2M0−M0LxM(x)=2M_0-\frac{M_0}{L}x

所以剪力圖為全梁固定在負值 −M0/L-M_0/L 的水平線；彎矩圖則由 AA 端的 2M02M_0 線性下降至 BB 端的 M0M_0。

剪力 V
 0 ───────────────────────────── x
 ──────────────────────── V = −M₀/L
 A B

彎矩 M
 2M₀ ●
 ╲
 ╲
 M₀ ●
 A B
 M(x) = 2M₀ − (M₀/L)x

（二）撓度曲線

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第 二 題25 分

如圖所示，一支彈性薄壁錐形圓管 ABAB 的末端 AA 固定於剛性牆面，施加集中扭矩 T0T_0 於另一端 BB。錐形圓管全長 LL、薄壁厚 hh，AA 與 BB 端的平均半徑分別為 2r02r_0 及 r0r_0，其間各截面的半徑呈線性分布。

已知剪應變 γ\gamma 與扭轉角 φ\varphi 的關係式為

γ=ρdφdx\gamma=\rho\frac{d\varphi}{dx}

其中 ρ\rho 及 xx 為截面的半徑及軸心坐標。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）請推導出錐形圓管各截面 xx 的剪應力分布表示式 τ(x)\tau(x)。（10 分）

（二）請推導出錐形圓管各截面 xx 的扭轉角分布表示式 φ(x)\varphi(x)。（15 分）

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核心觀念

本題考查薄壁圓管的扭轉剪應力與扭轉角。沿管軸的內扭矩為常數 T0T_0；但半徑隨 xx 改變，因此極慣性矩、剪應力及單位長度扭轉角也會隨 xx 改變。

題目未給剪變模數，以下以 GG 表示材料的剪變模數。薄壁圓管各截面的平均半徑由 AA 端的 2r02r_0 線性減至 BB 端的 r0r_0，故

r(x)=2r0−r0Lx=r0(2−xL),0≤x≤L.r(x)=2r_0-\frac{r_0}{L}x =r_0\left(2-\frac{x}{L}\right),\qquad 0\le x\le L.

解題方法與推導

（一）剪應力分布 τ(x)\tau(x)

薄壁圓管的極慣性矩可用平均半徑 r(x)r(x) 近似：

J(x)=∫Aρ2 dA≈2πr(x)3h.J(x)=\int_A \rho^2\,dA \approx 2\pi r(x)^3h.

由扭轉剪應力關係 τ=T0ρ/J\tau= T_0\rho/J，在管壁處取 ρ≈r(x)\rho\approx r(x)，得到

τ(x)=T0r(x)J(x)=T02πh r(x)2.\tau(x) =\frac{T_0r(x)}{J(x)} =\frac{T_0}{2\pi h\,r(x)^2}.

代入半徑分布：

τ(x)=T02πhr02(2−xL)2\boxed{\tau(x)= \frac{T_0}{2\pi h r_0^2\left(2-\frac{x}{L}\right)^2}}

此處表示剪應力大小；方向依施加扭矩 T0T_0 的方向判定。

（二）扭轉角分布 φ(x)\varphi(x)

由題給關係 γ=ρ dφ/dx\gamma=\rho\,d\varphi/dx 與材料彈性關係 τ=Gγ\tau=G\gamma，可得

τ=Gρdφdx.\tau=G\rho\frac{d\varphi}{dx}.

取管壁處 ρ≈r(x)\rho\approx r(x)，並代入 τ(x)=T0/[2πhr(x)2]\tau(x)=T_0/[2\pi h r(x)^2]：

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第 三 題25 分

如圖所示，一根均質的瘦長桿件靜置於平滑的水平面，承受一水平施加的集中力 PP 作用。桿件全長 2L2L，施力點距離最近的末端 L/3L/3。已知桿件旋轉中心的絕對速度為零，試求旋轉中心 RR 至質量中心 GG 的距離。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（25 分）

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核心觀念

本題考查平面剛體的平移與轉動，以及瞬時旋轉中心的速度關係。剛體上某點的速度可由質心平移速度與繞質心轉動速度合成；若瞬時旋轉中心 RR 的絕對速度為零，則

vG=ω RG.v_G=\omega\,RG.

解題方法

設桿質量為 mm。施力點距質心 GG 的距離為

d=L−L3=2L3.d=L-\frac{L}{3}=\frac{2L}{3}.

均質細桿全長為 2L2L，對質心的轉動慣量為

IG=112m(2L)2=mL23.I_G=\frac{1}{12}m(2L)^2=\frac{mL^2}{3}.

桿原先靜止，施力作用一小段時間 Δt\Delta t。由線衝量與角衝量關係，

mvG=PΔt,m v_G=P\Delta t,
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第 四 題25 分

如圖所示，一根懸掛於天花板固定點 CC 的單擺長度為 LL，擺錘質量為 mm。擺錘的初始位置 AA 與固定端同高。單擺下方 BB 點有一個掛勾，BCBC 的直線距離為 aa。重力加速度以符號 gg 表示。

單擺的繩子碰到掛勾後，會改變路徑。若單擺的動能要能支持其以掛勾為圓心，作圓周運動，試問所需最短的距離 aa。（25 分）

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核心觀念

本題考查機械能守恆與垂直圓周運動的臨界條件。單擺由與固定點同高的位置釋放，到達最低點時的位能損失轉為動能；繩子碰到掛勾後，擺錘改以掛勾為圓心運動。

垂直圓周運動若要剛好完成整圈，繩子在最高點的張力臨界值為零。此時最高點的向心力由重力提供，因此最高點速度平方為 grgr，其中 rr 是繞掛勾運動的半徑。

解題方法

由圖可知，掛勾 BB 位於固定點 CC 正下方，且 BC=aBC=a。繩子碰到掛勾後，擺錘繞 BB 運動的半徑為

r=L−ar=L-a

擺錘從水平位置 AA 釋放，到達原單擺的最低點時下降高度為 LL。由機械能守恆：

mgL=12mv02mgL=\frac{1}{2}mv_0^2

所以碰到掛勾時的速度滿足

v02=2gLv_0^2=2gL

要剛好能繞掛勾完成一整圈，在圓周最高點令繩張力為零：

mg=mvtop2r⇒vtop2=grmg=\frac{mv_{\text{top}}^2}{r} \quad\Rightarrow\quad v_{\text{top}}^2=gr
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