113 高普考普通考試 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查相對速度與速度分解：

其中：

• 河水速度：向右 $0.3\ \text{km/h}$
• 泳客相對河水的游泳速度：$1\ \text{km/h}$
• 河寬：$2\ \text{km}$

設沿河向右為 $x$ 方向，垂直河岸為 $y$ 方向。

（一）直接朝正對面的 $A'$ 點游泳

泳客相對河水的速度垂直河岸，因此其渡河分量為：

渡河所需時間：

在這段時間內，河水使泳客向右漂移：

因此泳客到達對岸時，位於 $A'$ 點下游 $0.6\ \text{km}$ 處。

（二）抵達對岸時剛好到達 $A'$ 點

泳客必須向上游游泳，使其相對河水速度具有向左的分量，以抵銷河水向右的速度。

設泳客相對河水的速度與垂直河岸方向夾角為 $\theta$，則：

所以：

因此泳客應以 $1\ \text{km/h}$ 的速度，朝上游偏離正對面方向約：

游泳。

此時垂直河岸方向的有效速度為：

渡河時間為：

沿河方向的合速度為：

故泳客的運動路徑為垂直河岸的直線，能在 $A'$ 點上岸。

（三）泳客越游越慢時的調整

核心觀念

本題考查圓軸扭轉的基本關係：

1. 整根軸的扭矩必須符合靜力平衡。
2. 任一截面的內力扭矩，等於該截面一側外加扭矩的代數和。
3. 圓軸扭轉角公式為

其中：

• $T$：內部扭矩
• $G=80\ \text{GPa}$
• $J$：實心圓軸的極慣性矩
• $\theta$：扭轉角

實心圓軸：

依圖示，$O$ 點的 $16\ \text{N}\cdot\text{m}$ 與 $R$ 點的 $4\ \text{N}\cdot\text{m}$ 方向相反。

(一) 固定端反作用扭矩 $\Gamma_P$

取圖示 $O$ 點扭矩方向為正，則 $R$ 點扭矩為負。

整根軸的扭矩平衡：

因此固定端反作用扭矩為

負號表示其方向與 $O$ 點的 $16\ \text{N}\cdot\text{m}$ 相反，故其大小為

(二) 沿長軸方向的扭矩分布

軸的尺寸為：

• $P$ 至 $O$：長度 $200\ \text{cm}=2\ \text{m}$，直徑 $100\ \text{mm}$
• $O$ 至 $R$：長度 $100\ \text{cm}=1\ \text{m}$，直徑 $50\ \text{mm}$

區段 $P-O$

在 $P$ 與 $O$ 之間任取截面，截面右側外力矩為：

所以：

區段 $O-R$

在 $O$ 與 $R$ 之間任取截面，截面右側只有 $R$ 點的扭矩：

因此：

扭矩分布圖為階梯狀：

• $P$ 至 $O$：扭矩維持 $+12\ \text{N}\cdot\text{m}$
• 通過 $O$ 點後，受 $16\ \text{N}\cdot\text{m}$ 外力矩作用，扭矩由 $12$ 跳升至 $-4\ \text{N}\cdot\text{m}$，依截面取矩的符號定義表示為 $-4\ \text{N}\cdot\text{m}$
• $O$ 至 $R$：扭矩維持 $-4\ \text{N}\cdot\text{m}$
• 在 $R$ 端受 $4\ \text{N}\cdot\text{m}$ 後回到零

核心觀念

本題考查：

• 繩長不變的幾何約束。
• 速度與加速度的微分關係： $v=\frac{ds}{dt},\qquad a=\frac{dv}{dt}$
• 可動滑輪由兩段繩子支承，因此 $Q$ 的位移、速度及加速度均為 $P$ 的一半，方向相反。

方塊質量在本題中不影響計算，因為 $P$ 的運動速度已直接給定。

解題方法

取：

• $P$ 向左位移為正，記為 $x_P$；
• $Q$ 向上位移為正，記為 $y_Q$。

繩長由「$P$ 與定滑輪間的水平繩段」及「可動滑輪兩側的兩段垂直繩段」組成。

當 $P$ 向左移動 $x_P$ 時，水平繩段增加 $x_P$；當 $Q$ 向上移動 $y_Q$ 時，兩段垂直繩段各縮短 $y_Q$，故繩長約束為

對時間微分一次：

因此

再微分一次：

因此

其中 $P$ 與 $Q$ 的運動方向分別為向左與向上。

（一）$t=3\ \text{s}$ 時，$P$ 的加速度

已知 $P$ 的速度為

故

代入 $t=3\ \text{s}$：

核心觀念

本題考查螺栓與外套管組合受預緊力時的：

1. 軸向力平衡：螺栓拉力與外套管壓力大小相等。
2. 胡克定律：軸向變形量為 $\delta=\frac{FL}{AE}$
3. 螺帽旋轉一圈所造成的相對位移為螺栓螺距 $p$。

螺栓受拉伸，外套管受壓縮。

解題方法

設螺栓與外套管間的預緊力大小為 $F$。

螺栓的伸長量為

外套管的壓縮量為

螺帽旋緊一圈後，螺帽沿軸向前進一個螺距 $p$。此位移等於螺栓伸長量與外套管壓縮量的總和，因此相容條件為

代入變形公式：

整理得預緊力

亦可寫成

螺栓所受應力

螺栓受拉力，因此

代入 $F$：