114 高普考普通考試 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

114 年・高普考・普通考試・機械工程
試題代碼 機械力學概要

第 一 題25 分

忽略纜索的質量，若兩艘拖拉船（AA 和 BB）將貨船 CC 拖往正 xx 軸的方向，FAF_A 和 FBF_B 的合力 FRF_R 方向必須指向正 xx 軸的方向，而且作用力 FBF_B 必須為最小值。FA=6 kNF_A=6\ \mathrm{kN}。

繪出自由體圖，求出 FRF_R 和 FBF_B 的大小以及角度 θ\theta。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題利用平面共點力的向量合成。因貨船 CC 被拖往正 xx 軸方向，合力 FRF_R 必須沒有 yy 方向分量，因此

∑Fy=0\sum F_y=0

且要求拖船 BB 的作用力 FBF_B 為最小值。

圖中 FA=6 kNF_A=6\ \mathrm{kN}，方向與正 xx 軸夾角 30∘30^\circ；FBF_B 位於 xx 軸下方，與正 xx 軸夾角為 θ\theta。

自由體圖

貨船 CC 的自由體圖包含兩個拖力：

  • FA=6 kNF_A=6\ \mathrm{kN}：向右上方，與正 xx 軸夾角 30∘30^\circ。
  • FBF_B：向右下方，與正 xx 軸夾角 θ\theta。
  • 合力 FRF_R：沿正 xx 軸方向。

分量如下：

FAx=6cos⁡30∘,FAy=6sin⁡30∘F_{Ax}=6\cos30^\circ,\qquad F_{Ay}=6\sin30^\circ FBx=FBcos⁡θ,FBy=−FBsin⁡θF_{Bx}=F_B\cos\theta,\qquad F_{By}=-F_B\sin\theta

解題方法與計算

1. 由垂直方向平衡求 FBF_B

因合力沿正 xx 軸，故垂直方向合力為零：

∑Fy=0\sum F_y=0 6sin⁡30∘−FBsin⁡θ=06\sin30^\circ-F_B\sin\theta=0

因此

FB=6sin⁡30∘sin⁡θ=3sin⁡θ kNF_B=\frac{6\sin30^\circ}{\sin\theta} =\frac{3}{\sin\theta}\ \mathrm{kN}

2. 求 FBF_B 的最小值

由於 0∘<θ≤90∘0^\circ<\theta\leq90^\circ，而

sin⁡θ≤1\sin\theta\leq1
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題25 分

忽略摩擦及滑輪與繩索的質量，繪出物塊 BB 的自由體圖，求出質量 4.5 kg4.5\ \mathrm{kg} 的物塊 BB 下降時的加速度，以及繩索的張力。物塊 AA 的質量為 2.5 kg2.5\ \mathrm{kg}，重力加速度為 9.81 m/s29.81\ \mathrm{m/s^2}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查：

  • 牛頓第二運動定律：∑F=ma\sum F=ma
  • 理想繩索與滑輪：繩索張力相同，兩物體加速度大小相同
  • 物塊 BB 下降時，物塊 AA 向右運動

忽略摩擦、滑輪與繩索質量，因此繩索張力皆為 TT。

物塊 BB 的自由體圖

物塊 BB 受力如下：

  • 向下重力：WB=mBgW_B=m_Bg
  • 向上繩索張力：TT

文字表示為：

↑T[B]↓WB=mBg\boxed{\uparrow T\quad [B]\quad \downarrow W_B=m_Bg}

因物塊 BB 下降，取向下為正方向。

解題方法與計算

物塊 BB 的運動方程式為

mBg−T=mBam_Bg-T=m_Ba

物塊 AA 在無摩擦水平面上運動，水平方向受繩索張力 TT：

T=mAaT=m_Aa

已知

mA=2.5 kg,mB=4.5 kg,g=9.81 m/s2m_A=2.5\ \mathrm{kg},\qquad m_B=4.5\ \mathrm{kg},\qquad g=9.81\ \mathrm{m/s^2}

將 T=mAaT=m_Aa 代入物塊 BB 的方程式：

mBg−mAa=mBam_Bg-m_Aa=m_Ba mBg=(mA+mB)am_Bg=(m_A+m_B)a

因此

a=mBgmA+mB=4.5(9.81)2.5+4.5a=\frac{m_Bg}{m_A+m_B} =\frac{4.5(9.81)}{2.5+4.5}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題25 分

忽略軸環和桿件之間的摩擦及彈簧的質量，質量 3.5 kg3.5\ \mathrm{kg} 的軸環在 AA 處的速度為向下 5 m/s5\ \mathrm{m/s}。若彈簧未變形的長度為 1 m1\ \mathrm{m}，彈簧常數 k=35 N/mk=35\ \mathrm{N/m}，求在 CC 處（y=2 my=2\ \mathrm{m}）時軸環的速度。重力加速度為 9.81 m/s29.81\ \mathrm{m/s^2}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查「功與能原理」及「機械能守恆」。軸環受力包含：

  • 重力：軸環下降 2 m2\ \mathrm{m}，重力位能減少。
  • 彈簧力：軸環下降後，彈簧伸長量增加，彈簧位能上升。
  • 軸環與桿件間無摩擦，彈簧質量忽略，因此機械能守恆。

彈簧位能為

Us=12kx2U_s=\frac{1}{2}kx^2

其中 xx 為彈簧相對於原長的伸長量。

幾何關係與彈簧伸長量

由圖可知，固定端 BB 與 AA 的水平距離為 2 m2\ \mathrm{m}。

在 AA 處，彈簧為水平狀態，因此其長度為

LA=2 mL_A=2\ \mathrm{m}

彈簧原長為 1 m1\ \mathrm{m}，故

xA=LA−1=2−1=1 mx_A=L_A-1=2-1=1\ \mathrm{m}

軸環由 AA 下降至 CC，垂直距離為 y=2 my=2\ \mathrm{m}。因此在 CC 處，彈簧長度為

LC=22+22=22 mL_C=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{m}

故彈簧伸長量為

xC=LC−1=22−1 mx_C=L_C-1=2\sqrt{2}-1\ \mathrm{m}

能量方程式

取 AA 到 CC 應用能量守恆：

TA+UsA+VA=TC+UsC+VCT_A+U_{sA}+V_A=T_C+U_{sC}+V_C

軸環下降 2 m2\ \mathrm{m}，所以重力位能減少 mgymgy，整理得

TC=TA+mgy+UsA−UsCT_C=T_A+mgy+U_{sA}-U_{sC}

初始動能為

TA=12mvA2=12(3.5)(52)=43.75 JT_A=\frac{1}{2}mv_A^2 =\frac{1}{2}(3.5)(5^2) =43.75\ \mathrm{J}

重力所增加的動能為

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題25 分

如圖表示一個等截面的橫樑（prismatic beam）及其受力狀態，忽略樑的質量，AA 處用銷接（pin）結構支柱，BB 為滾柱（roller）支柱。請繪製所示樑和載重的剪力圖（shear diagram）和彎矩圖（bending moment diagram），並求剪力的最大絕對值和彎矩的最大絕對值。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中標示：CC、EE 處各受 3 kN3\ \mathrm{kN} 向下集中力；DD 處受 450 N⋅m450\ \mathrm{N\cdot m} 順時針力偶；AA 至 CC 為 300 mm300\ \mathrm{mm}，CC 至 DD 為 200 mm200\ \mathrm{mm}，DD 至 EE 為 200 mm200\ \mathrm{mm}，EE 至 BB 為 300 mm300\ \mathrm{mm}。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查簡支樑的：

  • 支承反力計算
  • 剪力圖（shear diagram）
  • 彎矩圖（bending moment diagram）
  • 集中力造成剪力跳躍
  • 集中力偶造成彎矩跳躍

取逆時針力矩為正，剪力採「左截面向上為正」，彎矩正值代表下凹彎矩（sagging moment）。

梁長為

AB=0.3+0.2+0.2+0.3=1.0 mAB=0.3+0.2+0.2+0.3=1.0\ \text{m}

各位置距離如下：

AC=0.3 m,AD=0.5 m,AE=0.7 mAC=0.3\ \text{m},\quad AD=0.5\ \text{m},\quad AE=0.7\ \text{m}

解題方法：先求支承反力

A 為銷接支承，具有水平反力 AxA_x 與垂直反力 AyA_y；B 為滾柱支承，具有垂直反力 ByB_y。

因所有外力皆為垂直力：

Ax=0A_x=0

垂直力平衡

∑Fy=0\sum F_y=0 Ay+By−3−3=0A_y+B_y-3-3=0

因此

Ay+By=6 kNA_y+B_y=6\ \text{kN}

取 A 點力矩平衡

圖中 D 點施加 450 N⋅m450\ \text{N}\cdot\text{m} 順時針力偶，即

450 N⋅m=0.45 kN⋅m450\ \text{N}\cdot\text{m}=0.45\ \text{kN}\cdot\text{m}

順時針取負號：

∑MA=0\sum M_A=0 By(1.0)−3(0.3)−3(0.7)−0.45=0B_y(1.0)-3(0.3)-3(0.7)-0.45=0 By=3.45 kNB_y=3.45\ \text{kN}

故

Ay=6−3.45=2.55 kNA_y=6-3.45=2.55\ \text{kN}

剪力圖

集中力會使剪力產生跳躍，集中力偶不會改變剪力。

由左至右：

區段 ACAC

剛通過 A 點後：

V=+2.55 kNV=+2.55\ \text{kN}

通過 C 點

C 點有向下 3 kN3\ \text{kN} 集中力：

V=2.55−3=−0.45 kNV=2.55-3=-0.45\ \text{kN}

因此區段 CECE：

V=−0.45 kNV=-0.45\ \text{kN}

通過 D 點

D 點為集中力偶，剪力不變，因此區段 DEDE：

V=−0.45 kNV=-0.45\ \text{kN}

通過 E 點

E 點有向下 3 kN3\ \text{kN} 集中力：

V=−0.45−3=−3.45 kNV=-0.45-3=-3.45\ \text{kN}

因此區段 EBEB：

V=−3.45 kNV=-3.45\ \text{kN}

通過 B 點

B 點反力向上 3.45 kN3.45\ \text{kN}：

V=−3.45+3.45=0V=-3.45+3.45=0

剪力圖數值整理如下：

位置或區段剪力 VV
AA 至 CC+2.55 kN+2.55\ \text{kN}
CC 至 EE−0.45 kN-0.45\ \text{kN}
EE 至 BB−3.45 kN-3.45\ \text{kN}

因此剪力最大絕對值為

∣V∣max⁡=3.45 kN\boxed{|V|_{\max}=3.45\ \text{kN}}

彎矩圖

彎矩斜率等於剪力：

dMdx=V\frac{dM}{dx}=V
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

機械工程《機械力學概要》其他年度

115113112111110109108