111 年高普考普通考試機械工程考古題與詳解

Question 1

如圖所示之繩索接點 $B$，一側連接有一整段彈簧常數為 $k=800\,\mathrm{N/m}$ 之彈性繩索 $AB$，此 $AB$ 段之自由長度為 $200\,\mathrm{mm}$。試求在此平衡狀態下繩索 $BC$、$BD$ 分別之拉力。 圖中尺寸：$AB$ 段目前長度為 $500\,\mathrm{mm}$，$B$ 至右側垂直支承線之水平距離為 $400\,\mathrm{mm}$，$C$ 點高於 $B$ 點 $400\,\mathrm{mm}$，$D$ 點低於 $B$ 點 $300\,\mathrm{mm}$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查彈性繩索的胡克定律，以及接點 $B$ 的平面力平衡。 彈性繩索的拉力為 $$ F{AB}=k\Delta L $$ 其中 $\Delta L$ 是目前長度減去自由長度。接點 $B$ 平衡時，水平方向與垂直方向的合力都必須為零。 解題方法 先由 $AB$ 的目前長度與自由長度求出拉力，再依圖中尺寸求出 $BC$、$BD$ 的方向單位向量，最後列出 $B$ 點的平衡方程式。 $AB$ 目前長度為 $500\,\mathrm{mm}$，自由長度為 $200\,\mathrm{mm}$，所以伸長量為 $$ \Delta L=500-200=300\,\mathrm{mm}=0.3\,\mathrm{m} $$ 因此，$AB$ 對接點 $B$ 的拉力大小為 $$ F{AB}=k\Delta L =800(0.3) =240\,\mathrm{N} $$ 此力沿 $BA$ 方向向左。 由圖可知，從 $B$ 到 $C$ 的水平與垂直位移皆為 $400\,\mathrm{mm}$，故 $BC$ 的方向單位向量為 $$ \mathbf{u}{BC} =\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $$ 從 $B$ 到 $D$ 的位移為水平向右 $400\,\mathrm{mm}$、垂直向下 $300\,\mathrm{mm}$，其長度為 $500\,\mathrm{mm}$，故 $$ \mathbf{u}{BD} =\left(\frac{400}{500},-\frac{300}{500}\right) =(0.8,-0.6) $$

Question 2

如圖所示，有一車輛在如圖所示之蜿蜒平面道路行駛，車輛車速是以固定之減速度從 $A$ 處之 $25\,\mathrm{m/s}$ 減速到 $C$ 處之 $15\,\mathrm{m/s}$ ，試求當車輛行駛到 $B$ 處時之合加速度大小為多少？

圖中道路尺寸： $A$ 至 $B$ 之弧長為 $250\,\mathrm{m}$ ， $B$ 至 $C$ 之弧長為 $50\,\mathrm{m}$ ，且 $B$ 點之曲率半徑為 $\rho_B=300\,\mathrm{m}$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 車輛沿曲線道路行駛時，合加速度由切線方向與法線方向的分量組成： - 切線加速度 $at$：反映車速的變化。本題的「固定減速度」表示 $at$ 為常數。 - 法線加速度 $an$：反映行進方向的變化，大小為 $an=\dfrac{v^2}{\rho}$。 兩個分量互相垂直，因此合加速度大小為 $$ a=\sqrt{at^2+an^2} $$ 解題方法 先利用 $A$ 至 $C$ 的總弧長與兩端車速，求固定切線加速度。兩段弧長合計為 $$ s{AC}=250+50=300\ \mathrm{m} $$ 沿路徑方向使用等加速度運動公式： $$ vC^2=vA^2+2at s{AC} $$ 代入 $vA=25\ \mathrm{m/s}$、$vC=15\ \mathrm{m/s}$： $$ at=\frac{15^2-25^2}{2(300)} =-\frac{2}{3}\ \mathrm{m/s^2} $$ 負號表示車輛正在減速。 接著由 $A$ 至 $B$ 的弧長求 $B$ 點車速：

Question 3

如圖所示，有一 $15\,\mathrm{kg}$ 之包裹通過 $A$ 點處之速度為 $1.5\,\mathrm{m/s}$ ，進入一平滑無摩擦之滑道而沿著滑道滑降至 $B$ 點處撞擊另一 $40\,\mathrm{kg}$ 之包裹，若兩包裹撞擊過程之恢復係數（coefficient of restitution）為 $0.6$ ，試求此一 $40\,\mathrm{kg}$ 之包裹遭撞擊後瞬間之速度。

圖中 $A$ 點與 $B$ 點之高度差為 $3\,\mathrm{m}$ ， $B$ 點距地面高度為 $1.5\,\mathrm{m}$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題分成兩個階段： 1. 包裹沿平滑、無摩擦滑道滑降，以機械能守恆求出到達 $B$ 點前的速度。 2. 兩包裹在水平面上碰撞，以動量守恆及恢復係數定義求 $40\,\mathrm{kg}$ 包裹碰撞後的速度。 恢復係數為碰撞後分離相對速度與碰撞前接近相對速度的比值。 解題方法 令 $15\,\mathrm{kg}$ 包裹為物體 1，$40\,\mathrm{kg}$ 包裹為物體 2。由圖可知，$15\,\mathrm{kg}$ 包裹通過 $A$ 點時向左運動，滑至 $B$ 點的高度下降 $3\,\mathrm{m}$。 滑道無摩擦，從 $A$ 點至 $B$ 點套用機械能守恆： $$ \frac{1}{2}m1vA^2+m1g(3) =\frac{1}{2}m1u1^2 $$ 質量約去，代入 $vA=1.5\,\mathrm{m/s}$、$g=9.81\,\mathrm{m/s^2}$： $$ u1=\sqrt{1.5^2+2(9.81)(3)} =7.79\,\mathrm{m/s} $$

Question 4

如圖所示之外伸梁，其橫截面為倒 T 型（右側圖）、材質為鋼材（$E=207\,\mathrm{GPa}$），相關參數之數值為：$b=65\,\mathrm{mm}$、$t=13\,\mathrm{mm}$、$h=75\,\mathrm{mm}$。試求梁內之最大彎曲拉伸應力、最大彎曲壓縮應力。 圖中梁之尺寸與載重如下：左側支承至集中力 $P$ 作用點之距離為 $L1=1.25\,\mathrm{m}$；兩支承間距離為 $L2=2.5\,\mathrm{m}$；右側支承至梁末端之距離為 $L3=1.5\,\mathrm{m}$；集中力為 $P=4.5\,\mathrm{kN}$；作用於右側外伸段之均布載重為 $q=2\,\mathrm{kN/m}$。 倒 T 型截面尺寸為：翼板寬度 $b=65\,\mathrm{mm}$，腹板與翼板厚度皆為 $t=13\,\mathrm{mm}$，截面總高度為 $h=75\,\mathrm{mm}$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考外伸梁的支承反力、彎矩圖與彎曲正應力。彎曲正應力依據 $$ \sigma=\frac{My}{I} $$ 其中 $M$ 為截面彎矩、$I$ 為截面對中性軸的面積慣性矩，$y$ 為考察點至中性軸的距離。倒 T 截面的中性軸不在截面中央，因此須分別計算中性軸至頂面、底面的距離。 解題方法 取左支承為 $A$、右支承為 $B$，以左支承為 $x=0$。均布載重作用於右側長 $1.5\,\mathrm{m}$ 的外伸段，其合力為 $qL3=3\,\mathrm{kN}$，作用在 $x=3.25\,\mathrm{m}$ 處。 由平衡方程式： $$ \sum MA=0:\quad RB(2.5)-4.5(1.25)-3(3.25)=0 $$ $$ RB=6.15\,\mathrm{kN},\qquad \sum Fy=0:\quad RA+RB-4.5-3=0 $$ $$ RA=1.35\,\mathrm{kN} $$ 依剪力變化可得主要截面彎矩： - 集中力作用點 $x=1.25\,\mathrm{m}$： $$ M=RA(1.25)=1.6875\,\mathrm{kN\,m} $$ - 右支承 $B$ 處： $$ M=RA(2.5)-4.5(2.5-1.25) =-2.25\,\mathrm{kN\,m} $$ 外伸段端點彎矩為零，因此正彎矩最大值為 $1.6875\,\mathrm{kN\,m}$，負彎矩最大絕對值為 $2.25\,\mathrm{kN\,m}$。 接著求截面形心。以底面為基準，翼板面積為 $65(13)=845\,\mathrm{mm^2}$，腹板面積為 $13(75-13)=806\,\mathrm{mm^2}$： $$ \bar y= \frac{845(6.5)+806(44)}{845+806} =24.807\,\mathrm{mm} $$ 因此中性軸至底面的距離為 $cb=24.807\,\mathrm{mm}$，至頂面的距離為

111 高普考普通考試機械工程機械力學概要考古題詳解

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