109 高普考普通考試 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

每個球都處於靜力平衡，因此各自的水平與鉛直方向合力皆為零。兩球間的靜電斥力沿 $AB$，大小為 $F=20\ \mathrm{mN}$。依圖，$AB$ 與水平線夾角為 $30^\circ$；繩索 $BC$ 與鉛直線夾角也為 $30^\circ$，繩索 $AC$ 與鉛直線的夾角為 $\theta$。

解題方法

先對球 $B$ 列平衡式，求出其重量；再對球 $A$ 列平衡式，求 $\theta$。

對球 $B$ 而言，斥力沿 $AB$ 向右上方，張力沿 $BC$ 向左上方，重力向下。以右、上為正方向：

鉛直方向平衡為

代入 $T_{BC}=\sqrt{3}F$：

對球 $A$ 而言，斥力沿 $AB$ 向左下方，張力沿 $AC$ 向右上方。水平與鉛直方向平衡分別為

核心觀念

將圖示截面分成水平翼板與垂直腹板兩個矩形，分別計算面積與形心，再以面積加權求組合截面的形心。計算對 $x$ 軸的慣性矩時，使用平行軸定理：

圖示 $x$ 軸位於腹板底部；以該軸為基準，翼板寬度為 $300\text{ mm}$、厚度為 $20\text{ mm}$，腹板厚度為 $20\text{ mm}$、高度為 $450\text{ mm}$。圖中的 $200\text{ mm}$ 是腹板上的連接細節，不改變此截面的矩形面積。

解題方法

取腹板中心線為 $y$ 軸，圖示底部 $x$ 軸為高度基準。截面左右對稱，因此：

將兩個矩形的形心位置與面積列出：

翼板形心高度為 $450+10=460\text{ mm}$。因此整體形心的 $y$ 座標為：

核心觀念

在相同路面與制動條件下，卡車的減速度相同。由等加速度運動公式

卡車停止時末速 $v=0$，因此停止距離為

可知減速度固定時，停止距離與初速度平方成正比。

解題方法

設卡車以 $10\ \mathrm{km/h}$ 行駛時的停止距離為 $s_1=3\ \mathrm{m}$；以 $80\ \mathrm{km/h}$ 行駛時的停止距離為 $s_2$。

核心觀念

本題考平面應力狀態下的廣義虎克定律，以及由主應力求最大剪應力。支架表面取為平面應力，故 $\sigma_z=0$。對均質、等向性材料，平面應力下有：

若 $xy$ 面內剪應力為零，三個主應力為 $\sigma_x$、$\sigma_y$ 與 $\sigma_z=0$；三維絕對最大剪應力為最大主應力與最小主應力之差的一半。

解題方法

題目未提供剪應變 $\gamma_{xy}$，因此無法由已知資料判定面內剪應力 $\tau_{xy}$。以下依本題的雙軸正應力設定，採 $\tau_{xy}=0$ 計算。

先聯立平面應力下的虎克定律，得：

代入 $E=250\ \mathrm{GPa}$、$\nu=0.30$、$\varepsilon_x=300\times10^{-6}$、$\varepsilon_y=550\times10^{-6}$：

核心觀念

本題考查功與能原理：牽引力所作的功，扣除重力沿斜坡方向所作的負功，等於火車動能的增加。

圖示斜坡的垂直升高與水平距離比為 $1:10$，因此 $\tan\theta=1/10$，而斜坡方向的重力分量需使用 $mg\sin\theta$。

解題方法

火車質量為 $m=160\times10^3\ \mathrm{kg}$，沿斜坡行駛距離 $s=1000\ \mathrm{m}$。由圖中的幾何關係：

牽引力為火車重量的 $1/8$：

火車由靜止開始，套用功與能原理：

代入 $F=mg/8$，並約去質量 $m$：