112 高普考普通考試 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

112 年・高普考・普通考試・機械工程
試題代碼 機械力學概要

第 一 題20 分

如圖一所示，一繩索纏繞於 10 kg10\ \mathrm{kg} 的圓盤外緣上。若施加一力於繩索上：

F=(14θ3)NF=\left(\frac{1}{4}\theta^3\right)\mathrm{N}

其中，θ\theta 代表圓盤的旋轉角，以弧度表示。試求當圓盤轉 22 圈時，其角速度為何？圓盤具初始角速度 ω0=1 rad/s\omega_0=1\ \mathrm{rad/s}，π=3.14159\pi=3.14159。

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核心觀念

本題考查變力所作功與轉動能定理：

W=ΔKrotW=\Delta K_{\mathrm{rot}}

圓盤受繩索切線力作用，力矩為

τ=rF\tau=rF

其中圖示圓盤半徑為 300 mm=0.3 m300\ \mathrm{mm}=0.3\ \mathrm{m}。圓盤視為均勻實心圓盤，其轉動慣量為

I=12mr2I=\frac{1}{2}mr^2

轉動 22 圈所對應的旋轉角為

θf=2(2π)=4π\theta_f=2(2\pi)=4\pi

解題方法

繩索力為

F(θ)=14θ3 NF(\theta)=\frac{1}{4}\theta^3\ \mathrm{N}

微小轉角 dθd\theta 時，力所作的微小功為

dW=τ dθ=rF(θ) dθdW=\tau\,d\theta=rF(\theta)\,d\theta

因此由初始角度 00 到最終角度 4π4\pi，外力所作功為

W=∫04πr(14θ3)dθW=\int_0^{4\pi}r\left(\frac{1}{4}\theta^3\right)d\theta

代入 r=0.3 mr=0.3\ \mathrm{m}：

W=0.34∫04πθ3 dθ=0.316(4π)4=4.8π4\begin{aligned} W &=\frac{0.3}{4}\int_0^{4\pi}\theta^3\,d\theta\\ &=\frac{0.3}{16}(4\pi)^4\\ &=4.8\pi^4 \end{aligned}

取 π=3.14159\pi=3.14159：

W≈4.8(3.14159)4≈467.56 JW\approx 4.8(3.14159)^4 \approx 467.56\ \mathrm{J}

圓盤的轉動慣量為

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第 二 題35 分

如圖二所示，有一圓桿半徑為 0.1 m0.1\ \mathrm{m}，兩端受到扭矩 T=100 kN⋅mT=100\ \mathrm{kN\cdot m} 作用，並有軸力 P=1000 kNP=1000\ \mathrm{kN} 作用在軸的兩側，π=3.14159\pi=3.14159。請回答以下問題：

（一）請計算出因為扭矩，該桿件所受的最大剪切應力為多少？

（二）在圓桿的最外側之材料所受到的最大主應力（Principal stress）為多少？

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核心觀念

本題考查實心圓桿同時承受：

  1. 扭矩造成的剪切應力
  2. 軸力造成的均勻軸向正應力
  3. 平面應力狀態下的最大主應力

圓桿半徑為 r=0.1 mr=0.1\ \mathrm{m}，扭矩與軸力為：

T=100 kN⋅m=1.0×105 N⋅mT=100\ \mathrm{kN\cdot m}=1.0\times10^5\ \mathrm{N\cdot m} P=1000 kN=1.0×106 NP=1000\ \mathrm{kN}=1.0\times10^6\ \mathrm{N}

（一）扭矩造成的最大剪切應力

實心圓截面的極慣性矩為：

J=πr42J=\frac{\pi r^4}{2}

代入 r=0.1 mr=0.1\ \mathrm{m}：

J=3.14159(0.1)42=1.570795×10−4 m4J=\frac{3.14159(0.1)^4}{2} =1.570795\times10^{-4}\ \mathrm{m^4}

扭轉剪切應力公式為：

τmax⁡=TrJ\tau_{\max}=\frac{Tr}{J}

因此：

τmax⁡=(1.0×105)(0.1)1.570795×10−4\tau_{\max} =\frac{(1.0\times10^5)(0.1)} {1.570795\times10^{-4}} τmax⁡=6.366×107 Pa≈63.66 MPa\boxed{\tau_{\max}=6.366\times10^7\ \mathrm{Pa} \approx63.66\ \mathrm{MPa}}

最大剪切應力發生在圓桿最外圍，因為該處距離軸心最遠。

（二）最外側材料的最大主應力

1. 軸力造成的正應力

圓截面面積為：

A=πr2A=\pi r^2 A=3.14159(0.1)2=0.0314159 m2A=3.14159(0.1)^2 =0.0314159\ \mathrm{m^2}

軸向正應力為：

σ=PA=1.0×1060.0314159\sigma=\frac{P}{A} =\frac{1.0\times10^6}{0.0314159} σ≈31.83 MPa\sigma\approx31.83\ \mathrm{MPa}
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第 三 題20 分

如圖三所示，有兩個質量為 10 kg10\ \mathrm{kg} 的圓盤 AA 與 BB 被一彈簧 ABAB 所相連。彈簧的未拉伸長度為 1 m1\ \mathrm{m}，彈簧係數 k=1000 N/mk=1000\ \mathrm{N/m}。

現在將彈簧拉伸到長度 1.6 m1.6\ \mathrm{m}，並將圓盤 AA 與 BB 嵌入在鉛直面上的圓形（半徑為 1 m1\ \mathrm{m}）光滑滑槽中，保持彈簧 ABAB 為水平狀態，用手維持靜止狀態。若現在將手鬆開，請問當彈簧回復到非拉伸狀態時，試問圓盤的速度為多少？請用能量守恆定律求解。

cos⁡(30∘)=0.8660\cos(30^\circ)=0.8660，sin⁡(30∘)=0.5\sin(30^\circ)=0.5。

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核心觀念

本題考查「機械能守恆定律」。圓盤沿光滑圓形滑槽運動，滑槽支持力不作功，因此系統的重力位能、彈簧力位能與動能總和保持不變。

彈簧的彈性位能為

Us=12kx2U_s=\frac{1}{2}kx^2

其中 xx 為彈簧的伸長量。

解題方法

由圖形對稱性，兩圓盤相對圓心 OO 左右對稱，因此運動過程中兩圓盤速度大小相同，設為 vv。

1. 初始位置

圓形滑槽半徑為 1 m1\ \mathrm{m}，初始彈簧長度為 1.6 m1.6\ \mathrm{m}。

由於彈簧為水平，半徑與半弦形成直角三角形，半弦長為

1.62=0.8 m\frac{1.6}{2}=0.8\ \mathrm{m}

所以初始位置的圓盤高度為

yi=12−0.82=0.36=0.6 my_i=\sqrt{1^2-0.8^2} =\sqrt{0.36} =0.6\ \mathrm{m}

彈簧初始伸長量為

xi=1.6−1.0=0.6 mx_i=1.6-1.0=0.6\ \mathrm{m}

因此初始彈簧位能為

Us,i=12(1000)(0.6)2=180 JU_{s,i} =\frac{1}{2}(1000)(0.6)^2 =180\ \mathrm{J}

2. 彈簧恢復到非拉伸狀態的位置

當彈簧恢復為原長 1 m1\ \mathrm{m} 時，半弦長為

12=0.5 m\frac{1}{2}=0.5\ \mathrm{m}

由題目所給

sin⁡30∘=0.5,cos⁡30∘=0.8660\sin 30^\circ=0.5,\qquad \cos30^\circ=0.8660

可得此時圓盤高度為

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第 四 題25 分

如圖四所示，有一樑在 AA 處為滾支承（Roller support），在 CC 處為鉸支承（Hinge support）。請問樑的最左側應該離 AA 處多遠，使得在 BB 處的截面上彎矩為零？

圖中，樑全長為 LL，最左側至支承 AA 的距離為 aa，支承 CC 位於樑的最右端；集中力 PP 作用於最左端向下，集中力 2P2P 作用於 BB 點向下，且 BB 點至 CC 點的距離為 L/3L/3。

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核心觀念

本題考查樑的靜力平衡與截面彎矩。支承反力先由整體樑的力矩平衡求得，再對 BB 截面取左側自由體，令該截面的彎矩為零。

取樑最左端為 x=0x=0：

  • AA 點位置：x=ax=a
  • BB 點位置：因 BC=L/3BC=L/3，故 xB=2L/3x_B=2L/3
  • CC 點位置：x=Lx=L
  • 左端向下集中力：PP
  • BB 點向下集中力：2P2P

解題方法

設支承反力為 RAR_A、RCR_C，方向均向上。

先對 CC 點取力矩：

RA(L−a)−PL−2P(L3)=0R_A(L-a)-P L-2P\left(\frac{L}{3}\right)=0

因此

RA(L−a)=5PL3R_A(L-a)=\frac{5PL}{3} RA=5PL3(L−a)R_A=\frac{5PL}{3(L-a)}

接著取 BB 截面左側為自由體。由於 BB 點集中力 2P2P 位於截面上，求取 BB 截面左側彎矩時不列入左側力矩。令 BB 截面彎矩為零：

MB=RA(2L3−a)−P(2L3)=0M_B=R_A\left(\frac{2L}{3}-a\right)-P\left(\frac{2L}{3}\right)=0

代入 RAR_A：

5PL3(L−a)(2L3−a)−2PL3=0\frac{5PL}{3(L-a)} \left(\frac{2L}{3}-a\right) -\frac{2PL}{3}=0

約去 PLPL：

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