112 高普考普通考試 機械工程 機械設計概要 考古題詳解

112 年・高普考・普通考試・機械工程
試題代碼 機械設計概要

第 一 題25 分

有一直徑 d=25 mmd=25\ \mathrm{mm} 之實心圓桿，承受一穩定彎矩 M=120 N⋅mM=120\ \mathrm{N\cdot m}，已知該圓桿材料之降伏強度 S=170 MPaS=170\ \mathrm{MPa}，試計算：

(一) 此圓桿在受彎矩下之「安全因子」為多少？（10 分）

(二) 若此圓桿除承受彎矩外，同時也受到一穩定扭矩 T=80 N⋅mT=80\ \mathrm{N\cdot m}，則圓桿所受之「最大主應力」為多少？此時安全因子為何？（15 分）

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核心觀念

實心圓桿受彎時，外表面的彎曲正應力最大；同時受彎矩與扭矩時，外表面同時承受彎曲正應力與扭轉剪應力，可用平面應力轉換求最大主應力。

安全因子定義為材料降伏強度除以最大應力。此題依題目要求，以最大主應力與降伏強度比較；單純彎曲時，最大應力即彎曲正應力。

實心圓截面的截面係數與極慣性矩為

Z=Ic=πd332,J=πd432,c=d2Z=\frac{I}{c}=\frac{\pi d^3}{32},\qquad J=\frac{\pi d^4}{32},\qquad c=\frac d2

解題方法

（一）僅受彎矩時的安全因子

彎曲正應力為

σb=MZ=32Mπd3\sigma_b=\frac{M}{Z}=\frac{32M}{\pi d^3}

將彎矩換算為 120 N⋅m=120,000 N⋅mm120\ \mathrm{N\cdot m}=120{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}，代入 d=25 mmd=25\ \mathrm{mm}：

σb=32(120,000)π(25)3≈78.15 MPa\sigma_b =\frac{32(120{,}000)}{\pi(25)^3} \approx 78.15\ \mathrm{MPa}

安全因子為

n=Sσb=17078.15≈2.17n=\frac{S}{\sigma_b} =\frac{170}{78.15} \approx 2.17

（二）同時受彎矩與扭矩時

彎曲正應力仍為

σx=σb≈78.15 MPa\sigma_x=\sigma_b\approx78.15\ \mathrm{MPa}

扭轉剪應力為

τ=TcJ=16Tπd3\tau=\frac{Tc}{J}=\frac{16T}{\pi d^3}

將扭矩換算為 80 N⋅m=80,000 N⋅mm80\ \mathrm{N\cdot m}=80{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}：

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第 二 題25 分

有一徑向滑動軸承內孔與轉軸採「基孔制」H7/e7H7/e7 之配合，已知軸承內孔直徑之基本尺寸為 115 mm115\ \mathrm{mm}，試查詢表一及表二回答以下問題：

(一) 軸承內孔直徑與轉軸直徑之最大及最小實體尺寸分別為多少？（10 分）

(二) 最大及最小之干涉（或餘隙）分別為多少？（10 分）

(三) 配合方式是屬於「干涉配合」、「過渡配合」或「餘隙配合」？（5 分）

表一　公差等級（單位：0.001 mm0.001\ \mathrm{mm}）

基本尺寸（mm）IT5IT6IT7IT8IT9IT10
50∼8050\sim801319304674120
80∼12080\sim1201522355487140
120∼180120\sim18018254063100160
180∼250180\sim25020294672115185

表二　軸之標準上偏差

基本尺寸（mm）cdefgh
65∼8065\sim80−150-150−100-100−60-60−30-30−10-100
80∼10080\sim100−170-170−120-120−72-72−36-36−12-120
100∼120100\sim120−180-180−120-120−72-72−36-36−12-120
120∼140120\sim140−200-200−145-145−85-85−43-43−14-140
140∼160140\sim160−210-210−145-145−85-85−43-43−14-140
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核心觀念

本題考查基孔制配合、公差帶及配合間隙的計算。

  • 孔的代號為 H7H7：
  • HH 表示孔的下偏差為 00
  • IT7IT7 表示孔的公差值
  • 軸的代號為 e7e7：
  • ee 表示軸的上偏差
  • 軸的公差值同樣為 IT7IT7

基本尺寸為 115 mm115\ \mathrm{mm}，查表一時使用基本尺寸範圍 80∼120 mm80\sim120\ \mathrm{mm}；查表二時使用基本尺寸範圍 100∼120 mm100\sim120\ \mathrm{mm}。

解題方法

1. 查得公差值

由表一：

IT7=35×0.001=0.035 mmIT7=35\times 0.001=0.035\ \mathrm{mm}

由表二，基本尺寸 100∼120 mm100\sim120\ \mathrm{mm}，軸的 ee 級標準上偏差為：

es=−72×0.001=−0.072 mmes=-72\times 0.001=-0.072\ \mathrm{mm}

（一）孔與軸的最大、最小實體尺寸

1. 軸承內孔 H7H7

HH 孔的下偏差為 00，因此：

EI=0EI=0 ES=EI+IT7=0+0.035=0.035 mmES=EI+IT7=0+0.035=0.035\ \mathrm{mm}

所以：

孔最小尺寸=115+0=115.000 mm\text{孔最小尺寸}=115+0=115.000\ \mathrm{mm} 孔最大尺寸=115+0.035=115.035 mm\text{孔最大尺寸}=115+0.035=115.035\ \mathrm{mm}

2. 轉軸 e7e7

軸的上偏差：

es=−0.072 mmes=-0.072\ \mathrm{mm}

軸的下偏差為：

ei=es−IT7ei=es-IT7 ei=−0.072−0.035=−0.107 mmei=-0.072-0.035=-0.107\ \mathrm{mm}

所以：

軸最大尺寸=115−0.072=114.928 mm\text{軸最大尺寸}=115-0.072=114.928\ \mathrm{mm} 軸最小尺寸=115−0.107=114.893 mm\text{軸最小尺寸}=115-0.107=114.893\ \mathrm{mm}

（二）最大及最小干涉（餘隙）

由於孔的最小尺寸仍大於軸的最大尺寸，因此本配合為餘隙配合，沒有干涉。

1. 最小餘隙

最小餘隙發生在「最小孔配最大軸」：

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第 三 題25 分

今欲選用某一型單列深溝滾珠軸承用以承載徑向負載 Fr=5000 NF_r=5000\ \mathrm{N} 及軸向負載 Fa=2500 NF_a=2500\ \mathrm{N}，已知軸承轉速 n=1500 rpmn=1500\ \mathrm{rpm}、基本額定動負載 C=105 kNC=105\ \mathrm{kN}、基本額定靜負載 C0=68 kNC_0=68\ \mathrm{kN}，試求該軸承壽命 LL 為多少小時？（25 分）

補充公式及說明：

(1) 滾珠軸承負載 PP 與壽命 LL 之關係為 P3L=常數P^3L=\text{常數}；

P=XFr+YFaP=XF_r+YF_a

（XX 及 YY 由表三查詢。）

(2) 基本額定動負載 CC 對應 10610^6 轉之軸承額定壽命。

🖼️【此處有附表，請對照原卷】

表三　徑向負載係數 XX 及軸向負載係數 YY

Fa/C0F_a/C_0eeFa/Fr≤eF_a/F_r\leq e 時 XXFa/Fr≤eF_a/F_r\leq e 時 YYFa/Fr>eF_a/F_r>e 時 XXFa/Fr>eF_a/F_r>e 時 YY
0.0140.19100.562.30
0.0280.22100.561.99
0.0560.26100.561.71
0.0840.28100.561.55
0.110.30100.561.45
0.170.34100.561.31
0.280.38100.561.15
0.420.42100.561.04
0.560.44100.561.00
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核心觀念

本題考查單列深溝滾珠軸承在同時承受徑向負載與軸向負載時：

  1. 先由 Fa/C0F_a/C_0 查表取得負載係數。
  2. 判斷 Fa/FrF_a/F_r 與 ee 的大小關係。
  3. 計算等效動負載 PP。
  4. 利用滾珠軸承壽命關係式求額定壽命。

滾珠軸承的壽命關係為

P3L=常數P^3L=\text{常數}

基本額定動負載 CC 對應軸承旋轉 10610^6 轉，因此

L=(CP)3×106L=\left(\frac{C}{P}\right)^3\times 10^6

其中 LL 為轉數。

解題方法

先計算兩個負載比值：

FaC0=250068000=0.0368\frac{F_a}{C_0} =\frac{2500}{68000} =0.0368

此值介於表中 0.0280.028 與 0.0560.056 之間，因此對 ee 與 YY 做線性內插。

由表得：

  • Fa/C0=0.028F_a/C_0=0.028 時，e=0.22e=0.22、Y=1.99Y=1.99
  • Fa/C0=0.056F_a/C_0=0.056 時，e=0.26e=0.26、Y=1.71Y=1.71

內插比例為

0.0368−0.0280.056−0.028=0.314\frac{0.0368-0.028}{0.056-0.028} =0.314

因此

e=0.22+0.314(0.26−0.22)≈0.233e=0.22+0.314(0.26-0.22) \approx 0.233 Y=1.99+0.314(1.71−1.99)≈1.90Y=1.99+0.314(1.71-1.99) \approx 1.90

再計算軸向負載與徑向負載之比：

FaFr=25005000=0.50\frac{F_a}{F_r} =\frac{2500}{5000} =0.50

因為

FaFr=0.50>e≈0.233\frac{F_a}{F_r}=0.50>e\approx0.233
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第 四 題25 分

有一機械傳動系統之配置如下圖所示，動力由馬達輸出至皮帶傳動系統，再經齒輪傳動系統輸送至工作機；已知馬達輸出轉速為 nm=1800 rpmn_m=1800\ \mathrm{rpm}，工作機需求轉速 nw=120 rpmn_w=120\ \mathrm{rpm} 及功率 Pw=10 kWP_w=10\ \mathrm{kW}，大帶輪及小帶輪之直徑比為 2.52.5、齒輪 1 齒數 z1=17z_1=17、齒輪 2 齒數 z2=51z_2=51、齒輪 3 齒數 z3=17z_3=17，試計算：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 若不考慮傳遞功率損失，則馬達轉矩 Tm=?T_m=?（7 分）

(二) 齒輪 4 之齒數 z4z_4 應設計為多少？（10 分）

(三) 若已知齒輪 1 及齒輪 2 為標準正齒輪、且標準中心距 C=119 mmC=119\ \mathrm{mm}，則齒輪模數 m=?m=?；基圓節距 Pb=?P_b=?（8 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查：

  • 皮帶傳動的轉速比
  • 齒輪嚙合的轉速比
  • 複合齒輪系統中同軸齒輪轉速相同
  • 功率、轉矩與轉速關係
  • 標準正齒輪中心距與模數
  • 基圓節距公式

依圖可知傳動順序為：

馬達→皮帶→齒輪1→齒輪2→齒輪3→齒輪4→工作機\text{馬達}\rightarrow\text{皮帶}\rightarrow齒輪1\rightarrow齒輪2\rightarrow齒輪3\rightarrow齒輪4\rightarrow\text{工作機}

其中齒輪 2、齒輪 3 同軸，因此：

n2=n3n_2=n_3

（一）馬達轉矩 TmT_m

不考慮傳遞功率損失，因此馬達輸出功率等於工作機所需功率：

Pm=Pw=10 kWP_m=P_w=10\ \text{kW}

功率、轉矩與轉速的關係為：

P=2πnT60P=\frac{2\pi nT}{60}

因此：

Tm=60Pm2πnmT_m=\frac{60P_m}{2\pi n_m}

代入：

Tm=60(10 000)2π(1800)T_m=\frac{60(10\,000)}{2\pi(1800)} Tm=53.05 N⋅m\boxed{T_m=53.05\ \text{N}\cdot\text{m}}

亦可使用工程常用公式：

T=9550PnT=\frac{9550P}{n}

其中 PP 以 kW\text{kW}、nn 以 rpm\text{rpm} 表示，故：

Tm=9550(10)1800=53.06 N⋅mT_m=\frac{9550(10)}{1800} =53.06\ \text{N}\cdot\text{m}

（二）齒輪 4 的齒數 z4z_4

1. 皮帶傳動後的轉速

大帶輪與小帶輪直徑比為：

DLDS=2.5\frac{D_L}{D_S}=2.5

皮帶無滑動時，皮帶線速度相同：

nmDS=nLDLn_mD_S=n_LD_L

因此大帶輪轉速為：

nL=nmDSDL=18002.5=720 rpmn_L=n_m\frac{D_S}{D_L} =\frac{1800}{2.5} =720\ \text{rpm}

由圖可知大帶輪與齒輪 1 同軸，所以：

n1=720 rpmn_1=720\ \text{rpm}

2. 齒輪 1、2 的轉速關係

外嚙合齒輪的轉速比為：

n1n2=z2z1\frac{n_1}{n_2}=\frac{z_2}{z_1}

故：

n2=n1z1z2=7201751=240 rpmn_2=n_1\frac{z_1}{z_2} =720\frac{17}{51} =240\ \text{rpm}

齒輪 2 與齒輪 3 同軸，因此：

n3=n2=240 rpmn_3=n_2=240\ \text{rpm}

3. 齒輪 3、4 的轉速關係

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