113 高普考普通考試 機械工程 機械設計概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查彈簧串聯與並聯時的等效彈簧常數。單一彈簧受力 $F$ 時，變形量為 $\delta$，彈簧常數定義為

$$k=\frac{F}{\delta}$$

並聯彈簧承受相同變形，總負載相加，因此等效彈簧常數為各彈簧常數總和。串聯彈簧承受相同負載，總變形相加，因此等效彈簧常數的倒數為各彈簧常數倒數總和。

解題方法

先由避震裝置的設計條件求所需等效彈簧常數：

$$k_{\mathrm{需求}}=\frac{F}{\delta} =\frac{2500\ \mathrm{N}}{2\ \mathrm{mm}} =1250\ \mathrm{N/mm}$$

每支可取得的彈簧常數為 $500\ \mathrm{N/mm}$。若使用 $n$ 支相同彈簧並聯，則

$$k_{\mathrm{等效}}=nk$$

因此

$$n=\frac{k_{\mathrm{需求}}}{k} =\frac{1250}{500}=2.5$$

並聯彈簧數量必須是整數，所以不能只靠相同彈簧並聯達到 $1250\ \mathrm{N/mm}$。可將彈簧分成兩組並聯：一組使用兩支，等效彈簧常數為 $1000\ \mathrm{N/mm}$；另一組使用一支，彈簧常數為 $500\ \mathrm{N/mm}$。再將這兩組串聯，總等效彈簧常數為

$$\frac{1}{k_{\mathrm{等效}}} =\frac{1}{1000}+\frac{1}{500} =\frac{3}{1000}$$ $$k_{\mathrm{等效}}=\frac{1000}{3}\ \mathrm{N/mm}$$

核心觀念

本題考兩種螺紋標記的讀法，以及比較螺栓承受軸向拉力與垂直軸向載荷的能力。比較時須使用受力方向所對應的有效截面積：

• 軸向拉力主要由螺紋根部附近的拉應力面積承受。
• 垂直於螺栓軸線的載荷主要造成剪力，承載能力與剪切面上的有效截面積有關。

在材料相同、載荷狀況相同的前提下，截面積較大者可承受較大的載荷。

螺紋標記的意義

• $M16\times2$：$M$ 表示 ISO 公制螺紋；$16$ 表示公稱外徑為 $16\ \mathrm{mm}$；$2$ 表示螺距為 $2\ \mathrm{mm}$，也就是相鄰牙峰之間的軸向距離。這是 M16 的標準粗牙規格。
• $5/8''-11\ \mathrm{UNC}$：$5/8''$ 表示公稱外徑為 $5/8$ 英吋，約為 $15.875\ \mathrm{mm}$；$11$ 表示每英吋有 11 牙（threads per inch, TPI），相當於螺距

$$P=\frac{1}{11}\ \mathrm{in}\approx2.309\ \mathrm{mm};$$

UNC 表示 Unified National Coarse，即統一制粗牙螺紋。

解題方法與比較

軸向張力

螺紋扣件的軸向拉力比較，應看螺紋的拉應力面積，而非只比較公稱直徑。常用拉應力面積近似式為

$$A_t\approx\frac{\pi}{4}(d-0.9382P)^2,$$

其中 $d$ 為公稱直徑，$P$ 為螺距。標準表列值約為：

• $M16\times2$：$A_t\approx157\ \mathrm{mm^2}$
• $5/8''-11\ \mathrm{UNC}$：$A_t\approx0.226\ \mathrm{in^2}$

換算第二者：

核心觀念

本題考查動力螺桿承受軸向推力時，螺桿本體與螺紋接觸部位的受力及應力。理想同心受力下，螺桿本體主要承受：

1. 軸向推力造成的正應力（壓縮或拉伸）。
2. 傳遞轉矩造成的扭轉剪應力。
3. 螺紋牙面承受的面壓，以及螺紋牙根可能發生的剪切。

螺桿本體的正應力與扭轉剪應力須合併考慮；只檢查其中一種，不能完整評估螺桿強度。

受力示意圖

以下以螺桿提升負載為例，$F$ 為軸向推力，$T$ 為螺桿傳遞的轉矩：

 負載
 ┌────────┐
 │ │
 └───┬────┘
 ↓ F
 ┌──────┴──────┐
 │ 螺帽／螺紋接觸 │
 └──────┬──────┘
 │
 螺桿表面：← T │ T →
 │
 │ 螺桿芯部直徑 dr
 │ 承受軸力 F 與轉矩 T
 │
 ┴

螺桿推力的方向依機構配置而定；圖中向下的 $F$ 代表螺桿受壓。若螺桿受拉，軸向應力的大小公式不變，應力性質改為拉伸。

解題方法與計算

設：

• $F$：軸向推力。
• $d_r$：螺紋根徑，也就是螺桿最小截面直徑。
• $d_m$：螺紋中徑。
• $l$：導程；單線螺紋時導程等於螺距。
• $\mu$：螺紋摩擦係數。
• $T$：螺桿傳遞的轉矩。

1. 螺桿芯部的軸向正應力

螺桿軸向受力的有效截面取螺紋根徑形成的芯部截面：

$$A_r=\frac{\pi d_r^2}{4}$$

因此軸向正應力大小為：

$$\sigma=\frac{F}{A_r} =\frac{4F}{\pi d_r^2}$$

若螺桿承受壓力，為壓縮正應力；若承受拉力，則為拉伸正應力。使用壓縮為負的符號慣例時，受壓情況可寫成 $\sigma=-4F/(\pi d_r^2)$。

2. 提升負載所需的轉矩

方螺紋的導程角 $\lambda$ 與摩擦角 $\phi$ 為：

$$\tan\lambda=\frac{l}{\pi d_m}, \qquad \tan\phi=\mu$$

提升負載時，螺紋處所需轉矩為：

$$T=F\frac{d_m}{2}\tan(\phi+\lambda)$$

這個轉矩使螺桿芯部承受扭轉剪應力。若題目未提供螺紋摩擦資料或幾何尺寸，就不能算出數值轉矩與數值應力；可依上式保留符號表示。

3. 螺桿芯部的扭轉剪應力

將螺桿芯部視為實心圓軸，其極慣性矩為：

$$J=\frac{\pi d_r^4}{32}$$

圓軸外表面的最大扭轉剪應力為 $\tau=Tc/J$，其中 $c=d_r/2$，所以：

$$\tau=\frac{T(d_r/2)}{\pi d_r^4/32} =\frac{16T}{\pi d_r^3}$$

核心觀念

本題考查公差與配合的基本分類，以及配合代號的讀法。配合是由孔與軸的尺寸公差帶相互組合而成；公差帶的位置由字母表示，公差等級由數字表示。

• 基孔制：以孔的下偏差為零作為基準，孔的基本偏差代號為大寫 H。改變軸的公差帶位置與等級，即可形成不同配合。
• 基軸制：以軸的上偏差為零作為基準，軸的基本偏差代號為小寫 h。改變孔的公差帶位置與等級，即可形成不同配合。
• 餘隙配合：孔的尺寸範圍始終大於軸的尺寸範圍，裝配後一定留有間隙，可相對移動或轉動。
• 干涉配合：軸的尺寸範圍始終大於孔的尺寸範圍，裝配後一定有過盈，通常需用壓入、熱裝或冷裝等方式組合。
• $\varnothing60P7h6$：表示基本尺寸為 $60\text{ mm}$ 的孔與軸配合。大寫 P7 是孔的公差帶，小寫 h6 是軸的公差帶；數字 7、6 分別表示孔、軸的公差等級。

解題方法

先分辨代號的大小寫：大寫字母表示孔，小寫字母表示軸。再查基本尺寸落在哪個尺寸段，依公差表取得上下偏差，求出孔與軸的尺寸界限，最後比較孔軸尺寸，判斷配合種類。

基本尺寸 $60\text{ mm}$ 落在「超過 $50\text{ mm}$ 至 $80\text{ mm}$」尺寸段。依標準公差表：

• $P7$ 孔的上偏差為 $-0.032\text{ mm}$，下偏差為 $-0.062\text{ mm}$。
• $h6$ 軸的上偏差為 $0$，下偏差為 $-0.019\text{ mm}$。

因此，孔的尺寸界限為：

$$D_{\max}=60-0.032=59.968\text{ mm}$$