111 高普考普通考試 機械工程 機械設計概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查直線度與同心度的公差帶形狀，以及圖框中的「$\varnothing$」如何改變公差帶的解讀。$\varnothing$ 表示公差帶是圓柱形；公差值是公差帶的直徑，不是半徑，也不是零件尺寸的 $\pm$ 值。

解題方法

先看幾何公差符號，再看公差值前是否有 $\varnothing$，最後確認指示線指向零件表面、尺寸線或軸線，以判斷受控的是表面或中心軸線。

（一）直線度，$\varnothing 0.03$

圖框標示直線度及 $\varnothing 0.03$，指向圓柱形零件的直徑尺寸，表示控制該圓柱特徵的導出中心軸線直線度。

沿零件全長，實際中心軸線須完全落在一個直徑為 $0.03$ 的圓柱形公差帶內。該公差帶的中心線是理想直線，且不需要基準。

公差帶：直徑 Ø0.03 的圓柱
 ┌─────────────────┐
軸線方向 ───── 理想直線 ─────
 └─────────────────┘

實際中心軸線須全長位於公差帶內

因此，$\varnothing 0.03$ 是公差帶直徑；若以公差帶中心線為基準，邊界半徑為 $0.015$。它不是軸線可偏移 $\pm 0.03$，也不是控制圓柱表面每一條母線的直線度。

（二）同心度，$\varnothing 0.04$

核心觀念

本題考查均佈負荷下的懸臂外伸樑支承反力、剪力圖與彎矩圖，以及用最大彎矩進行彎曲應力設計。

全樑長度為 $2.46\ \mathrm{m}$，支承位置為 $A$ 點 $x=0$、$B$ 點 $x=1.7\ \mathrm{m}$；$B$ 點右側另有 $0.76\ \mathrm{m}$ 外伸段至自由端 $C$。均佈負荷作用於全長。採剪力向上為正、彎矩正值為下凹的符號慣例，使用：

其中 $V$ 為剪力、$M$ 為彎矩、$S$ 為斷面係數。

解題方法

（一）支承反力、剪力圖與彎矩圖

全樑均佈負荷的合力為

合力作用於 $A$ 點右方 $L/2=1.23\ \mathrm{m}$。對 $A$ 點取力矩：

因此

由垂直力平衡：

令 $x$ 自 $A$ 點起算，剪力函數為

剪力圖的主要數值為：

• $A^+$：$V=+119.02\ \mathrm{kN}$
• $B^-$：$V=119.02-175(1.7)=-178.48\ \mathrm{kN}$
• $B^+$：支承反力使剪力向上跳升 $311.48\ \mathrm{kN}$，故 $V=+133.00\ \mathrm{kN}$
• $C$：$V=0$

剪力在 $A$ 至 $B$ 間於

處通過零。

彎矩函數由 $dM/dx=V$ 積分，並以 $M(A)=0$ 得：

核心觀念

本題考查圓盤離合器滑動時的定扭矩角加速度，以及兩軸的相對角速度變化。齧合滑動期間，離合器對兩軸施加大小相等、方向相反的摩擦扭矩 $T$；依轉動版牛頓第二定律：

解題方法與推導

取兩軸齧合前的轉動方向為正方向。因為 $\Omega_1>\Omega_2$，離合器摩擦力矩會使左軸減速、右軸加速。

對左軸而言，摩擦扭矩方向與其轉動方向相反，因此：

對右軸而言，摩擦扭矩方向與其轉動方向相同，因此：

令兩軸達到相同轉速所需時間為 $t$。因扭矩固定，兩軸角加速度均為定值，故可用角速度關係式：

核心觀念

本題結合了**材料力學（雙軸向廣義虎克定律）與機械設計（靜力破壞準則與安全係數）**兩大核心單元，考查重點如下：

1. 平面應力狀態（Plane Stress State）與主應力： 薄鋼板表面未受外力，厚度方向自由膨脹收縮，故為平面應力狀態，其法線方向應力 $\sigma_z = 0$。由於鋼板四邊僅受均勻正應力且無剪應力，邊界即為主平面，$x$ 與 $y$ 方向即為主應力方向。
2. 廣義虎克定律（Generalized Hooke's Law）： 在二維雙軸應力狀態下，特定方向的應變受該方向正應力與垂直方向因普松效應（Poisson's effect）所誘發的側向變形共同影響： $\epsilon_y = \frac{\sigma_{y,\text{net}}}{E} - \nu \frac{\sigma_{x,\text{net}}}{E}$
3. 最大剪應力破壞準則（Maximum Shear Stress Theory, MSST / Tresca 準則）： 適用於延性材料（鋼板），降伏設計準則為最大剪應力不可超過材料剪切降伏強度： $\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \le \frac{S_y}{2n} \implies \sigma_1 - \sigma_3 \le \frac{S_y}{n}$ 其中 $\sigma_1$ 與 $\sigma_3$ 分別為空間中代數值最大與最小之主應力。

解題方法

步驟一：依廣義虎克定律建立應力與變形之關係式

設拉應力大小為 $\sigma_x$（正值，拉伸），壓應力大小為 $\sigma_y$（正值，壓縮），則板內受力之應力張量分量為：

• $x$ 方向應力：$\sigma_x$
• $y$ 方向應力：$-\sigma_y$
• $z$ 方向應力：$\sigma_z = 0$

$y$ 方向的原長度為 $L_y = 380\ \mathrm{mm}$，受力後長度減小 $\Delta L_y = -0.2\ \mathrm{mm}$，其常應變（Normal Strain）為： $\epsilon_y = \frac{\Delta L_y}{L_y} = \frac{-0.2}{380} = -\frac{1}{1900}$

由平面應力之廣義虎克定律： $\epsilon_y = \frac{-\sigma_y}{E} - \nu \frac{\sigma_x}{E} = -\frac{\sigma_y + \nu \sigma_x}{E}$

代入數值 $E = 207\ \mathrm{GPa} = 207 \times 10^3\ \mathrm{MPa}$、$\nu = 0.3$： $-\frac{\sigma_y + 0.3\sigma_x}{207 \times 10^3} = -\frac{0.2}{380}$ $\sigma_y + 0.3\sigma_x = 207 \times 10^3 \times \frac{0.2}{380} = \frac{41400}{380} = \frac{2070}{19}\ \mathrm{MPa} \approx 108.95\ \mathrm{MPa} \quad \cdots\cdots\text{（式 1）}$

步驟二：排列三個主應力並套用最大剪應力破壞準則

在平面應力條件下，三個主應力為：

• $\sigma_A = \sigma_x > 0$（拉伸）
• $\sigma_B = -\sigma_y < 0$（壓縮）
• $\sigma_C = \sigma_z = 0$（厚度方向自由）

核心觀念

本題評量皮帶傳動設計之基礎力學分析，涵蓋以下核心公式與定理：

1. 有效傳動拉力（Effective Pull）： 皮帶傳動所能傳遞的淨周向力（有效張力差）為緊邊張力 $F_1$ 與鬆邊張力 $F_2$ 之差： $F_e = F_1 - F_2$
2. 傳輸扭矩（Torque）： 皮帶輪所承受的扭矩由有效拉力與皮帶輪節圓半徑決定： $T = F_e \cdot r = (F_1 - F_2) \cdot \frac{D}{2}$
3. 傳輸功率與轉速關係： 功率 $P$、扭矩 $T$ 與轉速 $n$（$\mathrm{rpm}$）滿足： $P = T \cdot \omega = T \cdot \frac{2\pi n}{60}$ 或由皮帶線速度 $v = \frac{\pi D n}{60}$，利用 $P = F_e \cdot v$ 求解。
4. 平皮帶摩擦張力比公式（尤拉公式，Euler's Belt Formula）： 在忽略離心張力（題目未給定皮帶單位質量）的條件下，滑動極限時張力比與摩擦係數 $\mu$ 及接觸角 $\theta$ 之關係為： $\frac{F_1}{F_2} = e^{\mu \theta}$ 兩等徑皮帶輪（$D_1 = D_2$）之接觸角（包角）為 $\theta = 180^\circ = \pi\ \mathrm{rad}$。

解題方法

（一）求解傳輸扭矩 $T$ 與主動輪轉速 $n$

1. 計算傳輸扭矩 $T$： 皮帶輪直徑 $D = 700\ \mathrm{mm} = 0.7\ \mathrm{m}$，半徑 $r = \frac{D}{2} = 0.35\ \mathrm{m}$。 緊邊張力 $F_1 = 720\ \mathrm{N}$，鬆邊張力 $F_2 = 280\ \mathrm{N}$。 有效拉力： $F_e = F_1 - F_2 = 720 - 280 = 440\ \mathrm{N}$ 傳輸之扭矩： $T = F_e \cdot r = 440 \times 0.35 = 154\ \mathrm{N\cdot m}$

2. 計算主動輪轉速 $n$： 傳輸功率 $P = 10\ \mathrm{kW} = 10{,}000\ \mathrm{W}$。 由功率與扭矩公式： $P = T \cdot \frac{2\pi n}{60}$ 代入已知數值： $10{,}000 = 154 \cdot \frac{2\pi n}{60}$ 移項求解轉速 $n$： $n = \frac{60 \times 10{,}000}{2\pi \times 154} = \frac{600{,}000}{308\pi} = \frac{75{,}000}{77\pi} \approx 620.08\ \mathrm{rpm}$

（二）求解皮帶與皮帶輪之間的摩擦係數 $\mu$