111 高普考普通考試 機械工程 機械原理概要 考古題詳解

核心觀念

本題考差動螺旋機構的導程與節距關係，以及兩段不同導程的螺紋在同一轉速下造成的相對位移。螺紋每轉一圈，軸向前進的距離稱為導程 $L$；單線螺紋每轉前進一個節距，多線螺紋每轉前進「線數 × 節距」。

解題方法

（一）左半端導程 $L_1$ 與節距 $p_1$

左半端為單線螺紋，因此：

（二）右半端導程 $L_2$ 與節距 $p_2$

右半端為三線螺紋，因此：

（三）滑塊速度與導程的關係

螺桿每轉一圈，左半端與右半端各造成的軸向位移相抵，滑塊每圈的淨位移為兩導程之差。若依圖示旋轉方向，並以向左為正，則：

其中 $n$ 的單位為 rpm，故 $\frac{n}{60}$ 為每秒轉數；若只求速度大小，則寫成：

（四）求滑塊向左移動 $30\ \mathrm{mm}$ 所需時間

先求兩段導程：

核心觀念

本題考查螺旋齒輪（斜齒輪，Helical Gear）之幾何尺寸與齒形參數定義。螺旋齒輪的齒線相對於旋轉軸線傾斜一個螺旋角 $\psi$，因此其幾何參數區分為垂直於齒線的法向（法面，Normal Plane）與垂直於齒輪旋轉軸線的橫向（端面，Transverse Plane）：

1. 模數（Module）與周節（Circular Pitch）基本關係： $p = \pi m$
2. 法向與橫向之幾何投影關係： 齒線在分度圓柱展開後形成直角三角形，其法向周節 $p_n$ 與橫向周節 $p_t$ 滿足： $p_n = p_t \cos \psi$ 由此可推導出法向模數 $m_n$ 與橫向模數 $m_t$ 之關係式： $m_n = m_t \cos \psi$
3. 節圓直徑（Pitch Diameter）： 齒輪之節圓位於橫向（垂直旋轉軸之平面），其直徑 $d_p$ 決定於齒數 $N$ 與橫向模數 $m_t$： $d_p = m_t N = \frac{m_n N}{\cos \psi}$

解題方法

參數判讀與定位

題幹給定「模數 $m = 10\ \mathrm{mm}$」，且第 (二) 小題要求求解「法向模數 $m_n$」，依機械原理之命題慣例與題意邏輯，題幹未加下標之模數即為基準之橫向（端面）模數，記為 $m_t = 10\ \mathrm{mm}$。 已知條件：

• 齒數 $N = 30$
• 螺旋角 $\psi = 25^\circ$（取 $\cos 25^\circ \approx 0.9063$）
• 橫向模數 $m_t = 10\ \mathrm{mm}$

(一) 求解節圓直徑 $d_p$

節圓直徑為橫向平面上之節圓大小，由橫向模數與齒數乘積求得： $d_p = m_t \times N$ 代入數值： $d_p = 10 \times 30 = 300\ \mathrm{mm}$

(二) 求解法向模數 $m_n$

法向模數為橫向模數投影至齒線法向方向之數值： $m_n = m_t \cos \psi$ 代入數值： $m_n = 10 \times \cos 25^\circ \approx 10 \times 0.9063 = 9.063\ \mathrm{mm}$

核心觀念

本題考偏心圓凸輪與平頂從動件的幾何位移，以及對時間微分求速度、加速度。偏心凸輪中心 $C$ 以偏心量 $R$ 繞旋轉軸心 $O_1$ 運動；平頂從動件接觸凸輪圓周，因此從動件接觸高度等於凸輪中心高度再加凸輪半徑 $r$。

依圖中標示，$\theta$ 自向下的垂直方向量起，凸輪依 $\omega$ 方向轉動；以通過 $O_1$ 的水平線為位移基準，$x$ 表示從動件位置。

解題方法與推導

由圖中的垂直幾何關係，凸輪中心 $C$ 高於 $O_1$ 的距離為 $R\cos\theta$。從 $O_1$ 水平基準到從動件接觸面的高度，則為凸輪中心高度加上凸輪半徑：

題目給定等角速度 $\omega$，故 $\dot{\theta}=\omega$。對時間微分：

再對時間微分，且 $\omega$ 為常數：

位移曲線與一周示意

位移曲線為平均位置在 $r$、振幅為 $R$ 的餘弦曲線。關鍵角度如下：

核心觀念

本題旨在評量機構學中**運動對（Kinematic Pair）與構件接頭（Joint）之自由度（Degrees of Freedom, DOF）**定義與判別能力。

1. 運動對自由度定義：兩相鄰構件接觸並產生相對運動時，所具有之獨立相對運動參數（座標）個數，記為 $F$。
2. 空間運動與平面運動約束條件：

• 一個剛體在未受約束的三維自由空間中具有 $6$ 個自由度（$3$ 個移動 ＋ $3$ 個旋轉）。
• 在二維平面中具有 $3$ 個自由度（$2$ 個移動 ＋ $1$ 個旋轉）。
• 運動對所具有的自由度 $F$ 與其約束條件數 $C$ 滿足關係式： $F = 6 - C \quad \text{（空間運動對）}$ $F = 3 - C \quad \text{（平面運動對）}$

3. 低對（Lower Pair）與高對（Higher Pair）：

• 低對：兩構件間為「面接觸」，如轉動對（Revolute）、移動對（Prismatic）、圓柱對（Cylindric）、球面對（Spherical）等。
• 高對：兩構件間為「點或線接觸」，如凸輪接點、齒輪齒面嚙合接觸等。

解題方法

分析單一接頭或運動對之自由度時，採取相對運動分解法：

1. 建立局部正交座標系（以接頭中心或接觸點為原點，接觸面之法線、切線或軸線為軸）。
2. 分別檢視該對構件沿各座標軸之**相對平移（Translation）與繞各座標軸之相對旋轉（Rotation）**是否被幾何形狀所拘束。
3. 統計未被拘束且彼此獨立的可能運動形式數量，即為該運動對具有的自由度。

各小題詳細解析

(一) 套筒（Sleeve）

• 分類與幾何特徵：套筒與圓軸之配合屬於面接觸，在空間機構學中稱為圓柱對（Cylindric Pair，簡稱 C 對）。
• 自由度分析：

• 相對移動：允許沿著圓柱軸線方向作 $1$ 個直線滑動。
• 相對旋轉：允許繞著該軸線作 $1$ 個旋轉運動。
• 拘束了垂直於軸線之 $2$ 個方向平移，以及繞垂直軸線之 $2$ 個方向轉動（共受拘束 $C = 4$）。

• 自由度數值： $F = 6 - 4 = 2$ 具有 $2$ 個自由度（$1$ 個平移 ＋ $1$ 個旋轉）。 (註：若在特定平面機構中特指具導引槽、防止自轉之滑動套筒／滑塊，即移動對 Prismatic Pair，則自由度為 $1$。國考標準空間機構學分類以圓柱對之 $2$ 自由度為主。)

(二) 球接頭（Spherical Joint / Ball-and-socket Joint）

• 分類與幾何特徵：由球頭與球臼配合而成，屬於面接觸之空間低對（簡稱 S 對）。
• 自由度分析：

• 相對移動：球心位置被完全固定，在空間中 $3$ 個互相垂直座標軸（$X, Y, Z$）方向的相對平移皆被限制（拘束平移數為 $3$）。