115 高普考普通考試 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

平面剛體達到平衡的充分條件為：

本題四個力均為 $10\ \mathrm{N}$，方向沿正方形四邊切線排列。需先求合力，再檢查各力對同一點的力矩總和。

解題方法

取正方形左下角為力矩中心 $O$，正方形邊長為 $1\ \mathrm{m}$。

水平方向：

鉛直方向：

因此合力為：

但合力為零不代表剛體必定平衡，仍須檢查力矩。

各力對 $O$ 點的力矩如下：

1. 上邊向右之力：

2. 右邊向下之力：

3. 下邊向左之力，其作用線通過 $O$ 點所在水平線：

核心觀念

本題為「鉛芯與鋼殼緊密接合之複合構件」受軸向壓縮，主要使用：

1. 變形協調條件：鉛芯與鋼殼緊密熔接，且兩端覆以剛性板，因此兩者軸向變形相同，軸向應變相同： $\varepsilon_{鉛}=\varepsilon_{鋼}=\varepsilon$

2. 虎克定律： $\sigma=E\varepsilon$

3. 軸力平衡： $P=P_{鉛}+P_{鋼}$

由於鋼的彈性模數較大，在相同應變下，鋼殼承受的應力較大。

解題方法

1. 計算鉛芯與鋼殼截面積

鉛芯直徑為 $70\ \mathrm{mm}$：

鋼殼為外徑 $80\ \mathrm{mm}$、內徑 $70\ \mathrm{mm}$ 的圓環：

2. 利用變形協調條件

兩材料長度相同且端部由剛性板共同壓縮，因此：

故兩者應變相同：

各材料所承受的軸力為：

由總軸力平衡：

因此：

3. 計算共同軸向應變

採用單位：

代入：

4. 計算軸向變形

圓柱長度：

核心觀念

直線運動中：

• 速度為位置對時間的一階導數： $v=\frac{dx}{dt}$
• 加速度為速度對時間的導數： $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}$
• 速率為速度的絕對值： $\text{速率}=|v|$

題目中的「離原點距離」取位置座標的絕對值 $|x|$。

解題方法

已知

$x=6t^4-16t^3-48t^2+36t+2$

先求速度：

$v=\frac{dx}{dt}=24t^3-48t^2-96t+36$

再求加速度：

$a=\frac{dv}{dt}=72t^2-96t-96$

令加速度為零：

$72t^2-96t-96=0$

除以 $24$：

$3t^2-4t-4=0$

因式分解得：

$(3t+2)(t-2)=0$

因此

$t=-\frac{2}{3}\ \text{s}\quad或\quad t=2\ \text{s}$

由於時間須滿足 $t\geq 0$，故取

$t=2\ \text{s}$

代入位置式：

核心觀念

本題考查：

1. 插銷承受雙剪（double shear）時的平均剪應力。
2. 含圓孔板件的淨截面應力。
3. 應力集中因子 $K_t$ 對孔邊最大應力的放大作用。
4. 比較各元件應力與材料強度，判斷先行破壞元件。

鋼材抗伸強度為 $510\ \mathrm{MPa}$，剪強度為 $255\ \mathrm{MPa}$。

一、插銷之剪應力

叉形接頭兩側各有一片厚度 $6\ \mathrm{mm}$ 的板，因此插銷有兩個剪切面，屬於雙剪。

插銷直徑：

單一剪切面面積為：

雙剪總有效面積：

外力總和為 $50\ \mathrm{kN}$，故插銷平均剪應力為：

因此：

二、板件淨截面之最大應力

板件寬度為 $50\ \mathrm{mm}$，孔徑等於插銷直徑 $15\ \mathrm{mm}$，板厚為 $6\ \mathrm{mm}$。

孔所在截面的淨寬度：

板件淨截面積：

未考慮應力集中時的名義拉應力：

含圓孔鋼板的應力集中因子為 $K_t=3$，故孔邊最大應力為：