108 高普考普通考試 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

108 年・高普考・普通考試・機械工程
試題代碼 機械力學概要

第 一 題20 分

已知 θ=30∘\theta=30^\circ，試求各桿件內之受力大小及方向（受拉或受壓）。

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核心觀念

此題考平面桁架的節點法與整體平衡。桁架桿件視為二力構件，桿力沿桿件軸線作用；先由整體平衡求支承反力，再逐節點列出 ∑Fx=0\sum F_x=0、∑Fy=0\sum F_y=0。計算時先假設桿件受拉，若桿力算出負值，代表該桿受壓。

CC 點為斜面上的滾輪支承，反力垂直於斜面。圖中斜面與水平夾角為 θ=30∘\theta=30^\circ，因此反力方向為左上方。

解題方法

由圖可知，AB=BC=2 mAB=BC=2\,\text{m}，DD 位於 BB 正上方 1.5 m1.5\,\text{m}。因此斜桿 ADAD、DCDC 的長度皆為

22+1.52=2.5 m,\sqrt{2^2+1.5^2}=2.5\,\text{m},

其方向分量比例為水平 2/2.5=4/52/2.5=4/5、垂直 1.5/2.5=3/51.5/2.5=3/5。

先對整座桁架取 AA 點力矩，令 CC 點反力大小為 RCR_C：

∑MA=0:4RCcos⁡30∘−(3)(1.5)−(4)(2)=0.\sum M_A=0:\quad 4R_C\cos30^\circ-(3)(1.5)-(4)(2)=0. RC=12.54cos⁡30∘=3.608 kN.R_C=\frac{12.5}{4\cos30^\circ}=3.608\,\text{kN}.

故 CC 點反力分量為

Cx=−RCsin⁡30∘=−1.804 kN,Cy=RCcos⁡30∘=3.125 kN.C_x=-R_C\sin30^\circ=-1.804\,\text{kN},\qquad C_y=R_C\cos30^\circ=3.125\,\text{kN}.

由整體水平、垂直力平衡求 AA 點反力：

∑Fx=0:Ax+Cx+3=0⇒Ax=−1.196 kN,\sum F_x=0:\quad A_x+C_x+3=0 \quad\Rightarrow\quad A_x=-1.196\,\text{kN}, ∑Fy=0:Ay+Cy−4=0⇒Ay=0.875 kN.\sum F_y=0:\quad A_y+C_y-4=0 \quad\Rightarrow\quad A_y=0.875\,\text{kN}.

接著取 AA 點，設桿力以拉力為正。ABAB 水平，ADAD 的方向分量為 (4/5,3/5)(4/5,3/5)：

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第 二 題20 分

兩質量塊 AA 及 BB 的質量均為 mm。若要讓 AA 質量塊對 BB 無相對移動，試求施加於 BB 質量塊之最大水平力 PP。

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核心觀念

要使 AA 相對於 BB 靜止，兩塊必須有相同的水平加速度。把 BB 的參考系視為加速座標系時，AA 受到方向向右的慣性力；斜面接觸處的靜摩擦力須足以平衡沿斜面的合力。

圖中沒有標示斜面接觸處的靜摩擦係數，因此無法求出唯一的數值最大力。以下令斜面間的靜摩擦係數為 μs\mu_s，並假設 BB 與水平地面間光滑。

解題方法

設 BB 向左的加速度大小為 aa。兩塊等質量、相對靜止時，整體的水平運動方程為

P=(m+m)a=2ma.P=(m+m)a=2ma.

對 AA 使用隨 BB 加速的參考系。令斜面向右上方與水平夾角為 θ\theta，沿斜面向右上方取正方向，斜面法向力為 NN，靜摩擦力為 ff。沿斜面方向的平衡式為

f+macos⁡θ−mgsin⁡θ=0,f+ma\cos\theta-mg\sin\theta=0,

因此

f=m(gsin⁡θ−acos⁡θ).f=m(g\sin\theta-a\cos\theta).

垂直斜面方向的平衡式為

N−mgcos⁡θ−masin⁡θ=0,N-mg\cos\theta-ma\sin\theta=0,

所以

N=m(gcos⁡θ+asin⁡θ).N=m(g\cos\theta+a\sin\theta).

靜止不滑動的條件是 ∣f∣≤μsN|f|\leq \mu_sN。隨著向左的加速度增加，達到最大值時，摩擦力指向斜面左下方，故 f=−μsNf=-\mu_sN。代入得

gsin⁡θ−acos⁡θ=−μs(gcos⁡θ+asin⁡θ),g\sin\theta-a\cos\theta =-\mu_s(g\cos\theta+a\sin\theta),

解出

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第 三 題20 分

作用力 F=50 NF=50\ \mathrm{N} 於 s=2 ms=2\ \mathrm{m} 時施加於繩索上。假設 6 kg6\ \mathrm{kg} 之套筒原本靜止，試求套筒在 s=0s=0 時速度為何？（忽略套筒和桿件間之摩擦）

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核心觀念

本題使用功與能原理：套筒所受合力作功等於動能變化：

∑U1→2=T2−T1\sum U_{1\to2}=T_2-T_1

理想繩索與滑輪使繩索張力等於外力 F=50 NF=50\ \mathrm{N}。套筒沿水平桿移動，桿件作用力與位移垂直，重力也與位移垂直，兩者皆不作功。

解題方法

套筒距滑輪正下方的水平距離為 ss，滑輪與桿件的垂直距離為 1.5 m1.5\ \mathrm{m}，所以斜繩長為

L(s)=s2+1.52L(s)=\sqrt{s^2+1.5^2}

套筒由 s=2 ms=2\ \mathrm{m} 移至 s=0s=0 時，斜繩長由

Li=22+1.52=2.5 mL_i=\sqrt{2^2+1.5^2}=2.5\ \mathrm{m}

縮短為

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第 四 題20 分

一鋁柱截面積 A=250 mm2A=250\ \mathrm{mm^2} 受到 P1=7560 NP_1=7560\ \mathrm{N}、P2=5340 NP_2=5340\ \mathrm{N}，及 P3=5780 NP_3=5780\ \mathrm{N} 之作用力。其各段長度分別為 a=1525 mma=1525\ \mathrm{mm}、b=610 mmb=610\ \mathrm{mm}，及 c=910 mmc=910\ \mathrm{mm}。

（一）若鋁材之彈性模數（modulus of elasticity）為 E=72 GPaE=72\ \mathrm{GPa}，試求鋁柱之長度改變量（並註明伸長或縮短）。

（二）若僅改變 P3P_3 值，試問 P3P_3 應為多少，才會導致鋁柱總長度不變？

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核心觀念

軸向桿件的總長度變化，等於各段軸向變形的代數和：

ΔL=∑iNiLiAE\Delta L=\sum_i \frac{N_iL_i}{AE}

其中拉力為正、壓力為負。圖中 P1P_1、P2P_2 向右，P3P_3 向左；三段鋁柱的截面積與彈性模數相同。

解題方法

先對各段取截面，以截面左側的外力平衡求軸力，再代入軸向變形公式。取拉力為正，三段軸力為：

NAB=P1+P2−P3=7560+5340−5780=7120 NNBC=P2−P3=5340−5780=−440 NNCD=−P3=−5780 N\begin{aligned} N_{AB}&=P_1+P_2-P_3=7560+5340-5780=7120\ \mathrm{N}\\ N_{BC}&=P_2-P_3=5340-5780=-440\ \mathrm{N}\\ N_{CD}&=-P_3=-5780\ \mathrm{N} \end{aligned}

負號表示該段受壓。將 E=72 GPa=72,000 N/mm2E=72\ \mathrm{GPa}=72{,}000\ \mathrm{N/mm^2} 代入：

ΔL=NABa+NBCb+NCDcAE=7120(1525)−440(610)−5780(910)250(72,000)=0.2961 mm\begin{aligned} \Delta L &=\frac{N_{AB}a+N_{BC}b+N_{CD}c}{AE}\\ &=\frac{7120(1525)-440(610)-5780(910)} {250(72{,}000)}\\ &=0.2961\ \mathrm{mm} \end{aligned}
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第 五 題20 分

一簡支（simply supported）梁長度 L=4 mL=4\ \mathrm{m}，承載均佈力（uniformly distributed load）q=5.8 kN/mq=5.8\ \mathrm{kN/m}。已知梁截面寬 b=140 mmb=140\ \mathrm{mm}、高 h=240 mmh=240\ \mathrm{mm}，試求最大之彎曲應力（bending stress）σmax⁡\sigma_{\max}。

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核心觀念

簡支梁承受全跨均佈載重時，最大彎矩出現在跨中：

Mmax⁡=qL28M_{\max}=\frac{qL^2}{8}

矩形截面的彎曲應力由彎曲公式計算：

σmax⁡=Mmax⁡S,S=Ih/2=bh26\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}}{S}, \qquad S=\frac{I}{h/2}=\frac{bh^2}{6}

其中 SS 為截面係數，bb 是截面寬度，hh 是截面高度。

解題方法

圖示均佈載重作用於梁的全跨，先求最大彎矩：

Mmax⁡=(5.8 kN/m)(4 m)28=11.6 kN⋅mM_{\max} =\frac{(5.8\ \mathrm{kN/m})(4\ \mathrm{m})^2}{8} =11.6\ \mathrm{kN\cdot m}

計算矩形截面係數：

S=(140 mm)(240 mm)26=1,344,000 mm3S=\frac{(140\ \mathrm{mm})(240\ \mathrm{mm})^2}{6} =1{,}344{,}000\ \mathrm{mm^3}
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