111 高普考普通考試 交通技術 交通統計概要 考古題詳解

核心觀念

本題為敘述統計學（Descriptive Statistics）的基礎計算題，評量考生對「集中趨勢量數」（Measures of Central Tendency）與「離散趨勢量數」（Measures of Dispersion）之基本定義、公式掌握度及手算能力。

1. 資料型態與關鍵字判定： 題目載明為「隨機取樣」，樣本數 $n = 6$。因此計算變異數與標準差時，必須採用樣本統計量公式（自由度分母為 $n - 1$，以滿足不偏估計量之性質），而非母體參數公式（分母為 $N$）。
2. 集中趨勢量數：

• 平均值（Sample Mean, $\bar{x}$）：所有觀察值的數值總和除以樣本數。 $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
• 眾數（Mode, $Mo$）：資料中出現次數最頻繁的數值。
• 中位數（Median, $Me$）：將數值由小至大排序後，位於正中間的數值。若樣本數 $n$ 為偶數，則取第 $\frac{n}{2}$ 與第 $\left(\frac{n}{2} + 1\right)$ 項觀察值之算術平均數。

3. 離散趨勢量數：

• 全距（Range, $R$）：最大值與最小值之差，衡量資料全體跨距。 $R = x_{\max} - x_{\min}$
• 變異數（Sample Variance, $s^2$）：各觀察值與平均值之離差平方和除以自由度 $(n - 1)$。 $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \frac{(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2}{n}}{n - 1}$
• 標準差（Sample Standard Deviation, $s$）：樣本變異數的正平方根，單位與原始資料相同。 $s = \sqrt{s^2}$
• 變異係數（Coefficient of Variation, $CV$）：標準差相對於平均值之比率，為無單位的相對離散指標。 $CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$

解題方法

資料前處理（由小至大排序）

將原始胎痕長度數據（單位：公尺）排序： $6,\ 7,\ 9,\ 11,\ 12,\ 12$ 樣本數 $n = 6$。

（一）計算平均值、眾數和中位數

1. 平均值（$\bar{x}$）： $\sum_{i=1}^{6} x_i = 6 + 7 + 9 + 11 + 12 + 12 = 57$ $\bar{x} = \frac{57}{6} = 9.5\text{（公尺）}$

2. 眾數（$Mo$）： 觀察排序後的資料，數值 $12$ 出現 $2$ 次，其餘數值均僅出現 $1$ 次。 $Mo = 12\text{（公尺）}$

3. 中位數（$Me$）： 因 $n = 6$ 為偶數，中位數取第 $\frac{6}{2} = 3$ 位與第 $\frac{6}{2} + 1 = 4$ 位數值的平均： 第 3 個數值為 $9$，第 4 個數值為 $11$。 $Me = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10\text{（公尺）}$

核心觀念

離散隨機變數的機率函數必須滿足所有可能取值的機率總和為 $1$。累積分布函數定義為 $F(x)=P(X\le x)$，因此會隨著 $x$ 跨過各個可能取值而階梯式增加。

解題方法

先利用機率總和為 $1$ 求 $C$：

各取值的機率依序為 $\frac{1}{9},\frac{2}{9},\frac{1}{9},\frac{2}{9},\frac{3}{9}$。累加至各個取值，可得累積機率：

核心觀念

本題評量兩獨立常態母體平均數差之統計推論，包含區間估計、精確度分析與假設檢定，核心觀念如下：

1. 兩獨立樣本之合併變異數與標準誤： 當母體標準差未知且假設兩母體變異數相等（$\sigma_A^2 = \sigma_B^2 = \sigma^2$）時，使用合併樣本變異數（Pooled Variance）$S_p^2$ 作為共同變異數之不偏估計量： $S_p^2 = \frac{(n_A - 1)S_A^2 + (n_B - 1)S_B^2}{n_A + n_B - 2}$ 平均數差之估計標準誤（Standard Error, $SE$）為： $SE(\bar{X}_A - \bar{X}_B) = \sqrt{S_p^2 \left( \frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B} \right)}$ 自由度為 $\nu = n_A + n_B - 2$。

2. 信賴區間之邊際誤差與精度： $(1-\alpha)$ 信賴區間之形式為 $(\bar{X}_A - \bar{X}_B) \pm E$，其中邊際誤差 $E$ 決定信賴區間的寬度（$\text{Width} = 2E$）。區間寬度愈窄，代表估計精度（Precision）愈高。

3. 假設檢定與信賴區間之對偶性（Duality）： 對於雙尾檢定 $H_0: \mu_A - \mu_B = 0$ 與 $H_1: \mu_A - \mu_B \neq 0$，在顯著水準 $\alpha$ 下：

• 若假定值 $0$ 落在 $(1-\alpha)$ 信賴區間內，則不拒絕虛無假設 $H_0$。
• 若假定值 $0$ 未落在 $(1-\alpha)$ 信賴區間內，則拒絕虛無假設 $H_0$。

解題方法

（一）計算 $\mu_A - \mu_B$ 之 $95\%$ 信賴區間

1. 點估計量（Point Estimate）： $\bar{X}_A - \bar{X}_B = 5.01 - 4.99 = 0.02\text{（公分）}$

2. 合併變異數（$S_p^2$）與標準誤（$SE$）： 依題意，$n_A = 50$、$S_A = 0.10$；$n_B = 50$、$S_B = 0.18$。 $S_p^2 = \frac{(50 - 1)(0.10)^2 + (50 - 1)(0.18)^2}{50 + 50 - 2} = \frac{49(0.01) + 49(0.0324)}{98} = \frac{0.01 + 0.0324}{2} = 0.0212$ 標準誤為： $SE = \sqrt{S_p^2 \left( \frac{1}{50} + \frac{1}{50} \right)} = \sqrt{0.0212 \times \frac{2}{50}} = \sqrt{0.000848} \approx 0.02912\text{（公分）}$

3. 臨界值選用： 自由度 $\nu = n_A + n_B - 2 = 50 + 50 - 2 = 98$。 查題附附註得 $t_{0.025, 98} = 1.98$。 （若採大樣本常態近似 $n_A, n_B \ge 30$，臨界值為 $z_{0.025} = 1.96$；本題附註特別給予自由度 $98$ 之數值，以 $t$ 分配計算最為精準）。

4. 邊際誤差（Margin of Error, $E$）與區間計算：

• 採 $t$ 分配臨界值 $t_{0.025, 98} = 1.98$： $E = 1.98 \times 0.02912 \approx 0.0577\text{（公分）}$ $95\%\text{ 信賴區間} = 0.02 \pm 0.0577 = [-0.0377,\ 0.0777]\text{（公分）}$
• 若採大樣本 $Z$ 臨界值 $z_{0.025} = 1.96$： $E = 1.96 \times 0.02912 \approx 0.0571\text{（公分）}$ $95\%\text{ 信賴區間} = 0.02 \pm 0.0571 = [-0.0371,\ 0.0771]\text{（公分）}$

（二）在提升信賴區間精度前提下縮短區間寬度之方法

信賴區間寬度公式為： $\text{Width} = 2E = 2 \times t_{\alpha/2, \nu} \times \sqrt{S_p^2 \left( \frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B} \right)}$

欲提升估計精度（即縮小邊際誤差 $E$、縮短寬度 $\text{Width}$），統計實務上之具體策略如下：

1. 增加測試樣本數（增大 $n_A$ 與 $n_B$）：

• 由公式可知，標準誤與 $\sqrt{n}$ 成反比。擴大抽樣樣本數可直接大幅縮小標準誤，同時增加自由度亦使臨界值微幅下降，是實務上在不犧牲信賴水準前提下最有效提升精度的方法。

核心觀念

本題考線性迴歸的 ANOVA 分解、自由度、均方、估計變異數、判定係數，以及整體迴歸模型的 $F$ 檢定。

含截距的簡單線性迴歸有一個自變數，因此自由度為：

平方和滿足 $SST=SSR+SSE$，均方為平方和除以自由度；殘差均方 $MSE$ 是誤差變異數 $\sigma^2$ 的估計值。

解題方法與 ANOVA 表

樣本數 $n=12$，所以：

迴歸均方 $MSR=290.15$，而迴歸自由度為 $1$，因此：

殘差平方和 $SSE=46.77$，故殘差均方為：

總平方和及 $F$ 值分別為：

因此，表中各編號為：