112 高普考普通考試 交通技術 交通統計概要 考古題詳解
第 一 題25 分
假設 地至 地需經過國道路段和市區道路路段，國道路段和市區道路路段之旅行時間為常態分布。國道路段所需平均時間是 60 分鐘，標準差是 10 分鐘；市區道路路段所需平均時間是 30 分鐘，標準差是 5 分鐘。某甲將從 地至 地，試求可於 80 分鐘內從 地抵達 地的機率，以及超過 110 分鐘從 地抵達 地的機率。
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核心觀念
本題考查兩段旅行時間的和，以及常態分布下的標準化與累積機率。若國道路段與市區道路路段的旅行時間彼此獨立，則兩段時間相加仍為常態分布，且：
題目未明示兩段時間的相關性，以下依交通統計題常用假設，視兩段旅行時間為相互獨立。
解題方法
令國道路段旅行時間為 ，市區道路路段旅行時間為 。則：
總旅行時間 的平均數與變異數為：
因此：
- 80 分鐘內抵達的機率
將 80 分鐘標準化：
第 二 題25 分
某路段實作車道寬度縮減工程，為評估縮減車道寬度對車速之影響，主管單位以車牌辨識方法隨機找到 10 部於此設施設置前一個月和設置後一個月均有通過該路段的車輛，這 10 部車輛的車速資料如下表所示。在 之顯著水準下，試分析於該路段實作車道寬度縮減對駕駛車速之影響。
| 調查時間 | 駕駛人編號 1 | 駕駛人編號 2 | 駕駛人編號 3 | 駕駛人編號 4 | 駕駛人編號 5 | 駕駛人編號 6 | 駕駛人編號 7 | 駕駛人編號 8 | 駕駛人編號 9 | 駕駛人編號 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 縮減車道寬度前一個月之車速（km/hr） | 54 | 55 | 42 | 62 | 55 | 65 | 42 | 52 | 54 | 48 |
| 縮減車道寬度後一個月之車速（km/hr） | 52 | 42 | 48 | 50 | 47 | 48 | 45 | 48 | 48 | 48 |
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核心觀念
本題比較的是同一批 10 部車輛在工程前、後的車速，因此屬於「成對樣本」資料，應採用成對樣本 檢定（paired -test），而非兩獨立樣本平均數檢定。
令每部車輛的車速差為：
假設：
- ：縮減車道寬度前後，平均車速沒有差異。
- ：縮減車道寬度前後，平均車速有差異。
顯著水準為 ，採雙尾檢定。
解題方法與計算
各車輛的車速差如下：
差值總和為：
因此平均差為：
差值平方和為：
樣本差值變異數：
故：
成對樣本 統計量為：
自由度：
在 雙尾檢定下：
第 三 題25 分
為了解國小學生和學生家長騎乘機車到學校之佩戴安全帽情形，某研究至甲國小調查騎乘機車到校的學生和家長佩戴安全帽情形，其結果如下表所示。在 之顯著水準下，試檢定分析家長佩戴安全帽比例與學生戴安全帽比例是否相等，並說明其應用意義。
| 身分別 | 安全帽佩戴情形：有 | 安全帽佩戴情形：無 |
|---|---|---|
| 家長 | 450 | 50 |
| 學生 | 380 | 120 |
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核心觀念
本題比較兩個獨立母體的安全帽佩戴比例，適用「兩獨立母體比例相等之檢定」，亦可用 列聯表的卡方獨立性檢定。
設：
- ：家長佩戴安全帽的母體比例
- ：學生佩戴安全帽的母體比例
假設為：
顯著水準為 ，屬雙尾檢定。
解題方法與計算
家長樣本資料為：
學生樣本資料為：
樣本比例差為：
因為虛無假設主張兩母體比例相等，所以使用合併比例估計共同母體比例：
兩比例差的標準誤為：
代入數值得：
因此檢定統計量為：
在 的雙尾檢定下，臨界值為：
因為：
故拒絕 。
亦可使用卡方檢定。期望次數如下：
第 四 題25 分
為了解新設計的兩種訓練課程學習成效，某部門從報名參訓的 20 人中，隨機指派各 10 人參加這兩種訓練課程。下表為訓練成績資料的基本統計量。在 之顯著水準下，試檢定這兩種訓練課程的學習成效是否有差異？
| 方法別 | 訓練人數 | 樣本平均數 | 樣本變異數 |
|---|---|---|---|
| 訓練課程 A | 10 | 81.8 | 19.96 |
| 訓練課程 B | 10 | 85.3 | 19.79 |
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核心觀念
本題比較兩個彼此獨立、隨機指派之樣本平均數，檢定兩種訓練課程的母體平均學習成效是否不同。
設課程 A、B 的母體平均數分別為 、：
因為題目要求檢定「是否有差異」，所以是雙尾檢定，顯著水準為 。
兩組樣本數皆為 ，且樣本變異數 與 非常接近，可採合併變異數的兩獨立樣本平均數 檢定。
解題方法
已知：
合併樣本變異數為：
代入數值：
因此：
檢定統計量為：
自由度為：