111 高普考高考二級 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

1. 拉丁方格設計（Latin Square Design, LSD）基本結構： 拉丁方格設計是一種能夠同時控制兩個方向（雙向）環境變異的試驗設計。其兩個控制變異的因子分別稱為「列區集（Row blocks）」與「行區集（Column blocks）」，受試因子稱為「處理（Treatments）」。當區集數與處理數均為 $r$ 時，共有 $r$ 列、$r$ 行與 $r$ 個處理，總試驗單元數為 $N = r^2$。每一處理在每一列與每一行中恰好出現一次。
2. 固定型效應（Fixed-effects Model）： 題目指定區集與處理均為固定型，代表試驗所選取的 $r$ 個列、行區集與 $r$ 個處理即為研究感興趣的全部母體水準，推論範圍僅限於此特定的 $r$ 個水準。
3. 無交感效應（加法性模式, Additive Model）： 模式假設列區集、行區集與處理三者之間互不干擾，各因子的效應呈現線性加總關係，不存在二向或三向交感效應（No interaction effects）。
4. 參數限制與誤差分佈假設： 固定效應模式因參數過度飽和（Overparameterized），必須施加「和為零」之識別限制條件（Sum-to-zero constraints）；同時隨機誤差項須滿足常態性、獨立性與同質變異數假設（i.i.d. normal）。

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解題方法

建立固定型拉丁方格設計的線性統計模式，需依序完成以下步驟：

1. 設定試驗觀測值與各變異來源的線性加法模式。
2. 精確界定下標範圍與各成分的統計意涵。
3. 列出固定效應之識別限制條件與隨機誤差項的機率分佈限制。

1. 數學模式（Mathematical Model）

$Y_{ij(k)} = \mu + \rho_i + \gamma_j + \tau_k + \epsilon_{ij(k)}$ （亦可記為 $Y_{ijk} = \mu + \rho_i + \gamma_j + \tau_k + \epsilon_{ijk}$，其中指標 $k$ 受限於拉丁方格排列，即當列 $i$ 與行 $j$ 確定時，處理 $k$ 隨之唯一定義）。 下標範圍：

• $i = 1, 2, \dots, r$（列區集編號）
• $j = 1, 2, \dots, r$（行區集編號）
• $k = 1, 2, \dots, r$（處理編號）
• 總試驗觀察值個數為 $r^2$ 個。

2. 各成分之統計意義

• $Y_{ij(k)}$：位於第 $i$ 列區集、第 $j$ 行區集，接受第 $k$ 個處理之試驗單元的觀測值。
• $\mu$：整體平均數（總平均效應, Overall mean）。
• $\rho_i$：第 $i$ 個列區集（Row block）之固定效應。
• $\gamma_j$：第 $j$ 個行區集（Column block）之固定效應。
• $\tau_k$：第 $k$ 個處理（Treatment）之固定效應。
• $\epsilon_{ij(k)}$：第 $i$ 列、第 $j$ 行、第 $k$ 處理之試驗單元所產生的隨機誤差（Random error）。

3. 限制條件與統計假設

• 固定效應限制條件（參數約束條件）： 由於列區集、行區集與處理均為固定效應，為使模型參數具備可估計性（Unique estimability），各效應相對總平均的偏差總和必須為零： $\sum_{i=1}^r \rho_i = 0, \quad \sum_{j=1}^r \gamma_j = 0, \quad \sum_{k=1}^r \tau_k = 0$
• 隨機誤差項假設（機率分佈限制）： 誤差項 $\epsilon_{ij(k)}$ 假設為互相獨立、期望值為 0 且具有均齊變異數之常態分佈： $\epsilon_{ij(k)} \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(0, \sigma^2)$

核心觀念

本題考查**隨機完全區集設計（Randomized Complete Block Design, RCBD）在混合效應模式（Mixed Effects Model）**下的統計性質、變方成分分析（Variance Component Analysis）與平均數標準誤差推導。

1. 線性統計模式： $y_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}$

• 處理數 $a = 4$（固定效應，滿足約束條件 $\sum_{i=1}^4 \alpha_i = 0$）。
• 區集數 $b = 6$（隨機效應，$\beta_j \overset{iid}{\sim} N(0, \sigma_\beta^2)$）。
• 隨機誤差 $\varepsilon_{ij} \overset{iid}{\sim} N(0, \sigma^2)$，且 $\beta_j$ 與 $\varepsilon_{ij}$ 互相獨立。

2. 變方分析（ANOVA）自由度與均方（Mean Square, MS）：

• 處理自由度：$df_{\text{Trt}} = a - 1 = 3$
• 區集自由度：$df_{\text{Block}} = b - 1 = 5$
• 誤差自由度：$df_E = (a - 1)(b - 1) = 3 \times 5 = 15$
• 總自由度：$df_{\text{Total}} = ab - 1 = 23$

3. 期望均方（Expected Mean Squares, EMS）：

• $E(MS_E) = \sigma^2$
• $E(MS_{\text{Block}}) = \sigma^2 + a\sigma_\beta^2$

4. 觀測值之變異數與變積（Covariance）結構：

• 單一觀測值變異數：$Var(y_{ij}) = Var(\beta_j + \varepsilon_{ij}) = \sigma_\beta^2 + \sigma^2$
• 同一區集內任兩不同觀測值變積：$Cov(y_{ij}, y_{i'j}) = Var(\beta_j) = \sigma_\beta^2 \quad (i \neq i')$
• 不同區集間任兩觀測值變積：$Cov(y_{ij}, y_{i'j'}) = 0 \quad (j \neq j')$

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解題方法

基本量計算（ANOVA 均方）

• 誤差均方： $MS_E = \frac{SS_E}{df_E} = \frac{113}{15} \approx 7.5333$
• 區集均方： $MS_{\text{Block}} = \frac{SS_{\text{Block}}}{df_{\text{Block}}} = \frac{194.33}{5} = 38.8660$
• 處理均方： $MS_{\text{Trt}} = \frac{SS_{\text{Trt}}}{df_{\text{Trt}}} = \frac{168.5}{3} \approx 56.1667$

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(一) 估計第 3 處理平均 $y_{3.}$ 的標準誤差

第 3 處理平均的樣本統計量為： $y_{3.} = \frac{1}{b}\sum_{j=1}^6 y_{3j} = \mu + \alpha_3 + \bar{\beta}_{.} + \bar{\varepsilon}_{3.}$ 其中 $\bar{\beta}_{.} = \frac{1}{b}\sum_{j=1}^b \beta_j$，$\bar{\varepsilon}_{3.} = \frac{1}{b}\sum_{j=1}^b \varepsilon_{3j}$。

因 $\beta_j$ 為隨機變數，在無條件（Unconditional）混合模式下，處理平均的理論變異數包含區集間隨機變異與試驗誤差變異： $Var(y_{3.}) = Var(\bar{\beta}_{.}) + Var(\bar{\varepsilon}_{3.}) = \frac{\sigma_\beta^2}{b} + \frac{\sigma^2}{b} = \frac{\sigma_\beta^2 + \sigma^2}{6}$

由第 (三) 小題可得 $\hat{\sigma}_\beta^2 \approx 7.8332$，且 $\hat{\sigma}^2 = MS_E \approx 7.5333$： $\widehat{Var}(y_{3.}) = \frac{7.8332 + 7.5333}{6} = \frac{15.3665}{6} \approx 2.5611$ 因此，標準誤差估計值為： $\widehat{SE}(y_{3.}) = \sqrt{\widehat{Var}(y_{3.})} = \sqrt{2.5611} \approx 1.60$

觀念補充：若在特定區集條件下（Conditional on blocks，即將當前區集視為給定常數，僅評估試驗誤差），變異數為 $Var(y_{3.} \mid \beta) = \frac{\sigma^2}{b}$，其標準誤差為 $\sqrt{\frac{MS_E}{b}} = \sqrt{\frac{7.5333}{6}} \approx 1.12$。在題目明確設定 $\beta_j \sim N(0, \sigma_\beta^2)$ 的隨機效應架構下，以無條件標準誤差 $\approx 1.60$ 最具代表性。

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(二) 估計第 1 處理平均與第 2 處理平均差 $(y_{1.} - y_{2.})$ 的標準誤差

兩處理平均之差為：

核心觀念

本題的核心觀念為無重複雙因子試驗設計（Unreplicated Two-Factor Factorial Design, $n=1$）的變異數分析（ANOVA）限制與補救措施：

1. 變異數分析自由度分割原理：總自由度為 $ab-1$，可拆解為因子 $A$ 主效應自由度 $(a-1)$、因子 $B$ 主效應自由度 $(b-1)$ 以及交感效應 $AB$ 自由度 $(a-1)(b-1)$。純實驗誤差（Pure Error）自由度為 $ab(n-1) = ab(1-1) = 0$。
2. 交感效應與隨機誤差之完全混雜（Confounding）：當每處理組合僅有一次觀測值時，無法將隨機誤差與雙因子交感作用分開估計。
3. 加成性模型假設（Additivity Assumption）：若可合理假設無交感作用（$(\tau\beta)_{ij}=0$），可將交感作用均方（$MS_{AB}$）作為試驗誤差估計值（Pooling）。
4. 圖基單自由度加成性檢定（Tukey's One Degree of Freedom Test for Additivity）：將交感作用平方和進一步拆解出 1 個自由度的「非加成性成分」與剩餘殘差，檢定模式是否滿足加成性。

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解題方法

(一) 進行顯著性檢定時發生的問題分析

1. 自由度分割與誤差項消失： 在 $A$ 因子 $a$ 個等級、$B$ 因子 $b$ 個等級、重複數 $n=1$ 的完整全因子模式下，總觀測值個數 $N = ab$。變異數分析的自由度（$df$）配置如下：

• 總變異自由度：$df_{Total} = ab - 1$
• $A$ 因子主效應自由度：$df_A = a - 1$
• $B$ 因子主效應自由度：$df_B = b - 1$
• $AB$ 交感效應自由度：$df_{AB} = (a - 1)(b - 1)$
• 隨機誤差自由度：$df_E = ab(n - 1) = ab(1 - 1) = 0$

平方和的分割滿足： $SS_{Total} = SS_A + SS_B + SS_{AB}$ 殘差平方和 $SS_E = 0$，隨機誤差自由度 $df_E = 0$。

2. 核心問題點：

• 無法計算誤差均方（$MS_E$）：因 $df_E = 0$，分母為零，無法估計試驗環境下的純隨機誤差變異量 $\sigma^2$。
• 無法建構 $F$ 檢定統計量：在固定效應模式下，檢定因子主效應與交感效應所需之檢定統計量分母皆為 $MS_E$（例如 $F_A = \frac{MS_A}{MS_E}$）。由於 $MS_E$ 不存在，$F$ 統計量無法計算，導致無法對任何因子效應進行顯著性檢定。
• 交感效應與實驗誤差完全混雜（Completely Confounded）：單一重複下，模式中的 $(\tau\beta)_{ij}$ 與 $\varepsilon_{ij}$ 共同決定每個小區的殘差偏移，數學上兩者線性相依，無法單獨分離分離。

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(二) 解決問題的方法與詳細步驟

為解決無重複試驗缺乏誤差項的問題，統計學上有以下三種主要解決途徑：

方法一：假設無交感作用（合併交感項作為誤差項，Pooling）

1. 先驗假設： 根據過往試驗經驗、農藝專業知識或文獻，合理假設 $A$ 與 $B$ 因子間無顯著交互作用，即令模式中的 $(\tau\beta)_{ij} = 0$。
2. 模式簡化為加成性模式（Additive Model）： $y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}$
3. 誤差項設定與均方計算： 將原交感作用平方和與自由度視為試驗誤差項（$SS_E = SS_{AB}$），此時誤差自由度為 $df_E = (a-1)(b-1)$。 $MS_E = \frac{SS_{AB}}{(a-1)(b-1)}$
4. 主效應顯著性檢定：

• 檢定 $A$ 因子效應：$F_A = \frac{MS_A}{MS_E}$，在虛無假說下服從自由度為 $(a-1, (a-1)(b-1))$ 的 $F$ 分配。
• 檢定 $B$ 因子效應：$F_B = \frac{MS_B}{MS_E}$，在虛無假說下服從自由度為 $(b-1, (a-1)(b-1))$ 的 $F$ 分配。

5. 注意事項：若實際上存在顯著交感作用，則 $E(MS_E) = \sigma^2 + \frac{\sum\sum(\tau\beta)_{ij}^2}{(a-1)(b-1)} > \sigma^2$，會嚴重高估誤差變異，導致 $F$ 值被低估，增加型二誤差（檢定力降低）。

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方法二：圖基單自由度加成性檢定（Tukey's 1 df Test for Additivity）

若無法確定交感作用是否為零，可使用圖基（John Tukey）於 1949 年提出的檢定法，檢驗交感作用是否呈現特定的型態（$(\tau\beta)_{ij} = D \tau_i \beta_j$）。

1. 分解交感作用平方和： 將具有 $(a-1)(b-1)$ 個自由度的 $SS_{AB}$ 拆解為「非加成性平方和」（$SS_{Nonadditivity}$，自由度為 1）與「剩餘殘差平方和」（$SS_{Error}^*$，自由度為 $(a-1)(b-1)-1$）： $SS_{AB} = SS_{Nonadd} + SS_{Error}^*$
2. 計算加成模式預測值與偏差：

• 各處理平均：$\bar{y}_{i\cdot} = \frac{1}{b}\sum_{j=1}^b y_{ij}$，$\bar{y}_{\cdot j} = \frac{1}{a}\sum_{i=1}^a y_{ij}$，總平均 $\bar{y}_{\cdot\cdot} = \frac{1}{ab}\sum\sum y_{ij}$
• 加成模式配適值：$\hat{y}_{ij} = \bar{y}_{i\cdot} + \bar{y}_{\cdot j} - \bar{y}_{\cdot\cdot}$

3. 計算非加成性平方和（$SS_{Nonadd}$）： 定義權重交叉乘積分子：

核心觀念

本題出自費雪（R. A. Fisher）所奠定的現代統計試驗設計基礎，核心在於試驗設計之三大基本原則（重複、逢機化、局部控制）以及試驗品質指標（準確性與精確性）的理論機制：

1. 準確性（Accuracy）：測定值或估計值接近真實值的程度，主要受「系統性偏誤（Systematic bias）」影響。
2. 精確性（Precision）：重複試驗間測定結果的集中或再現程度，主要受「機差／試驗誤差（Experimental error, $\sigma^2$）」與「重複數（$r$）」影響。
3. 三大原則之功能定位：

• 重複（Replication）：提供試驗誤差的估算基礎，並透過樣本數縮小平均數之標準誤。
• 逢機化（Randomization）：消除未控制之外在干擾所產生的系統性偏誤，確保誤差項滿足獨立同分布（$i.i.d.$）之假設，賦予統計推論之有效性（Validity）。
• 局部控制（Local Control）：利用分區（Blocking）隔離已知的環境異質性，降低試驗誤差變異數（$\sigma^2$）。

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解題方法

本題為典型的申論題，作答切入點如下：

1. 子題 (一)：採「定義 $\to$ 統計學作用機制 $\to$ 實務意義」的三層次架構，逐一針對「重複」、「逢機化」及「局部控制」論述其對準確性與精確性之具體貢獻，並以統計公式輔助說明。
2. 子題 (二)：不能僅將三者分開描述，必須探討「兩兩交互作用」與「整體統合關係」：

• 重複與逢機化之必要性（有效性 vs. 估計值）。
• 逢機化與局部控制之制約性（限制性逢機）。
• 重複與局部控制之協同性（集區作為重複之載體）。
• 三者對準確性與精確性之總體對應關係。

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解題技巧

1. 公式記憶與連結： 平均數估計值的變異數為 $Var(\bar{Y}) = \frac{\sigma^2}{r}$。由此式可直觀看出：

• 提高重複數 $r \implies$ 直接縮小 $Var(\bar{Y})$（提高精確性）。
• 做好局部控制 $\implies$ 扣除集區變異，降低殘差均方 $\sigma^2 \implies$ 縮小 $Var(\bar{Y})$（提高精確性）。
• 做好逢機化 $\implies$ 確保 $E(\bar{Y}) = \mu$ 且各觀測值殘差互為獨立（消弭偏誤，確保準確性與推論有效性）。

2. 避免答題陷阱：

• 局部控制並非每種設計都必須存在（如完全均質環境下的完全逢機設計 CRD 無需局部控制），但重複與逢機化則是進行統計假設檢定不可或缺的「必要條件」。
• 切勿混淆「準確性（無偏）」與「精確性（變異小）」。

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【答案】

(一) 三個基本原則之作用詳細說明

進行統計試驗設計時，必須恪守費雪（R. A. Fisher）所提出的三大基本原則，其各自作用如下：

1. 重複（Replication）的作用

• 估算試驗誤差（Experimental Error）：在相同處理下進行多次獨立測定，是估算試驗內部變異（殘差均方 $MS_E$）的唯一途徑。若無重複，殘差自由度為零，將無法計算誤差變異數，亦無法進行 $t$ 檢定或 $F$ 檢定等統計推論。
• 提高試驗估計之精確性（Precision）：處理平均數之變異數為 $Var(\bar{Y}) = \frac{\sigma^2}{r}$（$r$ 為重複數）。隨著重複次數增加，平均數的標準誤（$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{r}}$）隨之縮小，信賴區間變窄，檢定力（Power of test）顯著提升。
• 擴大推論基礎（Broadening the Base of Inference）：試驗若於多個不同時段、地點或環境重複進行，能使處理效應的推論更具普遍性與外推價值。