114 高普考高考二級 農業技術 試驗設計 考古題詳解

114 年・高普考・高考二級・農業技術
試題代碼 試驗設計

第 一 題25 分

某研究人員擬進行兩個水稻品種的平均產量顯著差異性測驗，因此執行下列假說檢定：

H0:μ1=μ2H_0:\mu_1=\mu_2 vs. H1:μ1≠μ2H_1:\mu_1\ne\mu_2

設定顯著水準 α=0.05\alpha=0.05，使用學生氏 tt 檢定。

（一）請解釋什麼是顯著水準？並說明為什麼執行假說檢定時，要先訂定顯著水準？（15 分）

（二）請解釋什麼是檢定力（power）？並說明為什麼學生氏 tt 檢定是這個假說檢定的最佳檢定（the most powerful test）？（10 分）

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核心觀念

本題考查假說檢定中的顯著水準與檢定力，以及在何種條件下，學生氏 tt 檢定可稱為最有力檢定。題目採雙尾檢定：

H0:μ1=μ2vs.H1:μ1≠μ2H_0:\mu_1=\mu_2 \qquad\text{vs.}\qquad H_1:\mu_1\ne\mu_2

顯著水準 α=0.05\alpha=0.05 是檢定前設定的第一類錯誤機率上限。檢定力則描述在虛無假說不成立時，檢定正確拒絕 H0H_0 的機率。

（一）顯著水準及事先訂定的理由

顯著水準的定義

第一類錯誤是 H0H_0 其實為真，卻被檢定拒絕。顯著水準 α\alpha 是研究者事先容許的第一類錯誤機率上限：

α≥P(拒絕 H0∣H0 為真)\alpha \geq P(\text{拒絕 }H_0\mid H_0\text{ 為真})

本題 α=0.05\alpha=0.05，表示在虛無假說為真時，檢定程序所控制的錯誤拒絕率不超過 5%5\%。這不是「H0H_0 為真的機率是 95%95\%」，也不是「本次檢定有 5%5\% 的機率判錯」。

為何要先訂定顯著水準

  1. **控制錯誤拒絕的風險：**先決定可接受的第一類錯誤率，才能限制把實際上平均產量相同的兩個品種誤判為有差異的機率。
  2. **決定拒絕域與判斷門檻：**在分配假設與檢定方向確定後，α\alpha 決定臨界值。本題為雙尾檢定，總顯著水準分配於兩尾，各為 α/2=0.025\alpha/2=0.025。使用適當自由度的 tt 分配時，當檢定統計量落入任一尾端拒絕域，便拒絕 H0H_0。
  3. **避免事後挑選門檻：**若看過資料或 pp 值後才決定顯著水準，會使錯誤率失去事前控制，也容易為了得到顯著結果而調整標準。
  4. **明確呈現檢定取捨：**顯著水準愈嚴格，通常愈不容易拒絕 H0H_0；在樣本數與效果大小等條件固定時，檢定力也可能降低。因此須在分析前訂出可接受的第一類錯誤風險。

以 pp 值表述時，若 p≤0.05p\leq 0.05，即在本題的顯著水準下拒絕 H0H_0；若 p>0.05p>0.05，則不拒絕 H0H_0。不拒絕 H0H_0 不等於證明兩品種平均產量相同。

（二）檢定力及 tt 檢定何以為最有力檢定

檢定力的定義

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第 二 題25 分

某研究人員擬執行 A、B、C、D 四個毛豆品種的產量比較試驗。試驗田可以劃分成 16 個試區，試驗前調查每個試區土壤中的氮肥含量，用以代表每個試區的土壤肥力，調查結果如下：

5.55.82.82.75.76.03.12.910.210.315.815.99.910.115.916.1\begin{matrix} 5.5 & 5.8 & 2.8 & 2.7\\ 5.7 & 6.0 & 3.1 & 2.9\\ 10.2 & 10.3 & 15.8 & 15.9\\ 9.9 & 10.1 & 15.9 & 16.1 \end{matrix}

（一）請根據此資料，設計一個四重複的逢機完全區集設計（RCBD），並詳細說明設計的步驟，列出田間配置圖。（15 分）

（二）請說明如何檢定四個毛豆品種的平均產量是否有顯著差異存在？（10 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查逢機完全區集設計（RCBD）：先依試驗田中已知的環境差異，把相近的試區編成區集（block），再在每個區集內將所有處理隨機分派一次。如此可控制土壤肥力差異，提升品種比較的精確度。

本題有 4 個品種、16 個試區，因此安排 4 個區集，每個區集各有 A、B、C、D 一個試區，共四重複。題目提供的是試區土壤氮肥含量，作為土壤肥力指標；尚未提供各試區的毛豆產量。

（一）設計步驟與田間配置

1. 依土壤肥力分區集

先將土壤氮肥含量相近、預期肥力相近的試區編為同一區集。原表可自然劃分為四個相鄰的 2×22\times2 區域：

  • 區集 I：2.7、2.8、2.9、3.1
  • 區集 II：5.5、5.7、5.8、6.0
  • 區集 III：9.9、10.1、10.2、10.3
  • 區集 IV：15.8、15.9、15.9、16.1

各區集內的氮肥含量相近，區集之間的肥力則有明顯差異。

2. 區集內隨機分派品種

在每一區集內，將 A、B、C、D 四個品種各分派至一個試區。實際操作時，可在每個區集內分別以抽籤或亂數表隨機排列四個品種。下表列出一種有效的隨機分派結果；括號內是該試區的土壤氮肥含量。

3. 田間配置圖

田間列第 1 欄第 2 欄第 3 欄第 4 欄
第 1 列B（5.5），區集 IID（5.8），區集 IIA（2.8），區集 IC（2.7），區集 I
第 2 列A（5.7），區集 IIC（6.0），區集 IID（3.1），區集 IB（2.9），區集 I
第 3 列C（10.2），區集 IIIA（10.3），區集 IIID（15.8），區集 IVB（15.9），區集 IV
第 4 列D（9.9），區集 IIIB（10.1），區集 IIIC（15.9），區集 IVA（16.1），區集 IV

每個 2×22\times2 區域為一個區集；每一區集均包含 A、B、C、D 各一個試區。表中只是區集內隨機分派的一種結果，正式試驗應依實際抽籤或亂數分派決定配置。

（二）檢定四品種平均產量是否有差異

1. 建立假設與模型

令 μA,μB,μC,μD\mu_A,\mu_B,\mu_C,\mu_D 分別為四個品種的平均產量。設定顯著水準 α=0.05\alpha=0.05，檢定：

H0:μA=μB=μC=μDH_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C=\mu_D H1:至少有一個品種的平均產量不同H_1:\text{至少有一個品種的平均產量不同}

RCBD 的統計模型為：

Yij=μ+τi+βj+εijY_{ij}=\mu+\tau_i+\beta_j+\varepsilon_{ij}
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第 三 題25 分

某研究人員擬執行三種不同灌溉深度（D1、D2、D3）對於兩個水稻品種（R1、R2）的產量比較試驗。試驗田可以規劃成兩重複的完全區集，每個重複使用裂區設計（split-plot design）來安置處理。

田間配置圖如下：

圖 A：

Block I：

D1R2D2R1D1R1D2R2D3R2D3R1\begin{matrix} D1R2 & D2R1 & D1R1\\ D2R2 & D3R2 & D3R1 \end{matrix}

Block II：

D3R2D3R1D1R1D2R2D2R1D1R2\begin{matrix} D3R2 & D3R1 & D1R1\\ D2R2 & D2R1 & D1R2 \end{matrix}

圖 B：

Block I：

D2R1D3R2D2R2D1R1D3R1D1R2\begin{matrix} &&D2R1\\ &D3R2&D2R2\\ D1R1&D3R1&\\ D1R2&& \end{matrix}

Block II：

D3R1D1R2D3R2D2R2D1R1D2R1\begin{matrix} D3R1&&D1R2\\ &D3R2&D2R2\\ &&D1R1\\ &D2R1&& \end{matrix}

圖 C：

Block I：

D2R1D3R1D2R2D1R1D3R2D1R2\begin{matrix} &&D2R1\\ &D3R1&D2R2\\ D1R1&D3R2&\\ D1R2&& \end{matrix}

Block II：

D3R2D1R2D3R1D2R2D1R1D2R1\begin{matrix} D3R2&&D1R2\\ &D3R1&D2R2\\ &&D1R1\\ &D2R1&& \end{matrix}

（一）請由上列三個田間配置圖，選出這個試驗的配置圖，並說明規劃的步驟。（15 分）

（二）請說明此試驗使用裂區設計安置處理的理由，並列出變方分析表中的變因和自由度。（10 分）

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核心觀念

本題考查二因子裂區設計。灌溉深度有 a=3a=3 個水準（D1、D2、D3），水稻品種有 b=2b=2 個水準（R1、R2），並採 r=2r=2 個完全區集。

裂區設計把處理分成兩層：

  • 主區因子：灌溉深度 D。每一區集內先將試驗田分成 3 個主區，再把 D1、D2、D3 隨機分派給各主區。
  • 副區因子：水稻品種 R。每個主區再分成 2 個副區，分別配置 R1、R2。

因此，每個區集有 3×2=63\times 2=6 個小區，兩個區集共 rab=2×3×2=12rab=2\times3\times2=12 個觀測值。每個主區中的兩個副區必須接受相同灌溉深度、不同水稻品種。

解題方法與配置判斷

先看每個圖能否在各區集內，把 6 個處理組合分成 3 組；每組的灌溉深度相同，且各含 R1、R2。再看這 3 組是否能作為主區，組內兩個小區作為副區。

  • 圖 A 不符合：各區集雖包含 D1R1、D1R2、D2R1、D2R2、D3R1、D3R2，但無法按圖示位置將每個 D 水準各自組成一個完整主區，並在主區內配置 R1、R2。
  • 圖 B 不符合：以每一欄的兩個小區作為主區時，同欄的灌溉深度不相同，不能作為同一個 D 主區。
  • 圖 C 符合：每一欄的上下兩個小區具有相同灌溉深度，且分別是 R1、R2；三欄各配置一種灌溉深度。

以圖 C 的 Block I 為例，三個主區依序為 D1、D3、D2，每個主區內再配置 R1、R2；Block II 的主區依序為 D3、D2、D1。圖中主區間的 D 次序，以及各主區內 R1、R2 的上下位置，都能呈現裂區設計的兩階段隨機化。

規劃步驟

  1. 將試驗田劃分為兩個完全區集，以區集控制田間環境差異。
  2. 在每個區集內劃出 3 個主區，將 D1、D2、D3 隨機分派至主區。
  3. 將每個主區再分成 2 個副區，並在該主區內將 R1、R2 隨機分派至副區。
  4. 依此配置方式完成全部 12 個小區；各區集均須包含六種 D×R 組合各一次。

使用裂區設計的理由

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第 四 題25 分

某研究人員擬探討某水稻品種的產量（yy）與氮肥用量（xx）的關係。試驗後測得 n=10n=10 組不同氮肥用量的稻穀單位產量資料。根據資料的散布圖，可以由下列線性回歸模式（linear regression model）來分析這筆資料：

yi=α+βxi,i=1,2,…,n.y_i=\alpha+\beta x_i,\qquad i=1,2,\ldots,n.

由資料計算獲得的平方和與乘積和如下：

Sxx=∑i=1n(xi−xˉ)2=5.05S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=5.05 Syy=∑i=1n(yi−yˉ)2=2283.57S_{yy}=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2=2283.57 Sxy=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)=96.75S_{xy}=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=96.75

（一）請解釋 β\beta 的意義，並計算 β\beta 的最小平方法估值（LSE）。（15 分）

（二）請在顯著水準 α=0.05\alpha=0.05 下，用學生氏 tt 檢定，檢定下列假說：

H0:β=0H_0:\beta=0 vs. H1:β≠0H_1:\beta\ne0

並闡述結果。（10 分）

臨界值：

t0.025,8=2.306t_{0.025,8}=2.306；t0.05,8=1.860t_{0.05,8}=1.860；t0.025,9=2.262t_{0.025,9}=2.262；t0.05,9=1.833t_{0.05,9}=1.833。

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核心觀念

本題考線性迴歸的斜率估計與斜率顯著性檢定。模型為

yi=α+βxi+εi,y_i=\alpha+\beta x_i+\varepsilon_i,

其中 β\beta 表示氮肥用量每增加一單位，稻穀平均單位產量的變化量。若 β>0\beta>0，表示氮肥用量增加與平均產量增加相關；若 β=0\beta=0，則線性模型中沒有顯著的線性關係。

最小平方法斜率估計值為

β^=SxySxx.\hat{\beta}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}.

檢定斜率時，需先計算殘差平方和與誤差均方：

SSE=Syy−Sxy2Sxx,MSE=SSEn−2.SSE=S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}},\qquad MSE=\frac{SSE}{n-2}.

斜率的標準誤為 MSE/Sxx\sqrt{MSE/S_{xx}}，在虛無假設成立時，檢定統計量服從自由度 n−2n-2 的學生氏 tt 分配。

（一）解釋 β\beta 並計算最小平方法估值

β\beta 是氮肥用量每增加一單位時，稻穀平均單位產量的線性變化量。代入題目資料：

β^=SxySxx=96.755.05=19.1584≈19.16.\hat{\beta} =\frac{S_{xy}}{S_{xx}} =\frac{96.75}{5.05} =19.1584\approx 19.16.

因此，依此線性模型估計，氮肥用量每增加一單位，稻穀平均單位產量增加約 19.1619.16 單位。

（二）學生氏 tt 檢定

檢定假說為

H0:β=0,H1:β≠0.H_0:\beta=0,\qquad H_1:\beta\ne 0.

這是雙尾檢定，顯著水準為 0.050.05。自由度為

n−2=10−2=8.n-2=10-2=8.

先計算殘差平方和：

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