113 高普考高考二級 農業技術 試驗設計 考古題詳解

113 年・高普考・高考二級・農業技術
試題代碼 試驗設計

第 一 題20 分

說明以下假說檢定相關名詞：（每小題 4 分，共 20 分）

(一) 型一錯誤（Type I Error）

(二) 型二錯誤（Type II Error）

(三) 顯著水準（Significant Level）

(四) 檢定力（Power）

(五) PP 值（PP-Value）

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核心觀念

本題考查假說檢定中兩種決策錯誤，以及控制錯誤機率與衡量檢定能力的指標。設虛無假說為 H0H_0、對立假說為 H1H_1：

  • H0H_0 為真時，檢定結果仍可能落入拒絕域；H0H_0 為假時，檢定結果也可能落入不拒絕域。這兩種誤判分別稱為型一錯誤與型二錯誤。
  • 顯著水準控制型一錯誤的機率；檢定力則衡量在 H0H_0 為假時，檢定正確拒絕 H0H_0 的機率。
  • PP 值是觀察資料對抗 H0H_0 的證據強弱指標，須與顯著水準比較後，才能作成檢定決策。

解題方法

以「H0H_0 真或假」為判斷前提，再看檢定是否拒絕 H0H_0，即可區分兩種錯誤；接著用錯誤機率定義顯著水準與檢定力，最後說明 PP 值的解讀與決策方式。

真實情況拒絕 H0H_0不拒絕 H0H_0
H0H_0 為真型一錯誤，機率為 α\alpha正確決策
H0H_0 為假正確決策，機率為 1−β1-\beta型二錯誤，機率為 β\beta

各名詞說明

（一）型一錯誤（Type I Error）

當 H0H_0 實際上為真，卻被檢定結果拒絕，就是型一錯誤，也稱「偽陽性」。其機率為

α=P(拒絕 H0∣H0 為真)\alpha=P(\text{拒絕 }H_0\mid H_0\text{ 為真})

例如，檢定某品種的平均產量是否與基準相同，若實際相同卻判定為不同，即為型一錯誤。

（二）型二錯誤（Type II Error）

當 H0H_0 實際上為假，卻未被檢定結果拒絕，就是型二錯誤，也稱「偽陰性」。其機率為

β=P(不拒絕 H0∣H0 為假)\beta=P(\text{不拒絕 }H_0\mid H_0\text{ 為假})

以上述產量檢定為例，若實際平均產量已不同於基準，卻未能檢出差異，即為型二錯誤。

（三）顯著水準（Significance Level）

顯著水準以 α\alpha 表示，是事先設定並可接受的型一錯誤機率上限。常用值如 0.050.05 或 0.010.01。在檢定的長期重複使用觀點下，若 H0H_0 為真，控制拒絕 H0H_0 的機率不超過 α\alpha。

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第 二 題25 分

影像辨識於作物栽培管理上的其中一種應用，係透過相機擷取不同波長之反射值，從不同波長之反射數值的改變，與作物的生育情況或健康程度連結並建立模式，得以應用於判別作物生長或健康。其中，以無人機作為搭載相機之載具，得以應用於大範圍的栽培田區快速取得光譜反射數值。

某位育種研究人員規劃利用無人機獲取田間不同栽培條件下、不同波長之反射數值。為了避免影像拍攝時受到其他環境因素造成之誤差，因此該位研究人員設計了不同處理試驗組合的交叉試驗。這些處理分別為：

  • 播種日期（2 個變級）：2 月 1 日播種、2 月 15 日播種。
  • 成熟期特性（2 個變級）：早熟、晚熟。
  • 品種（早熟與晚熟特性之品種各 4 個變級，共 8 個變級）。

每個處理組合種植 5 小區（5 重複），在接近均值的田區中，以完全隨機設計排列所有處理組合，並於 3 月 15 日進行無人機空拍作業，取得第 ii 播種日期、第 jj 成熟期特性、第 kk 品種、第 ll 小區的光譜反射數值 yijkly_{ijkl}。

(一) 若 yijkly_{ijkl} 觀測值以處理效應模型（treatment effects model）表示為：

yijkl=μ+τi+βj+τβij+βγ(j)k+τβγi(j)k+ε(ijk)ly_{ijkl} = \mu+\tau_i+\beta_j+\tau\beta_{ij} +\beta\gamma_{(j)k} +\tau\beta\gamma_{i(j)k} +\varepsilon_{(ijk)l}

其中：

  • μ\mu 為總平均。
  • τi\tau_i 為第 ii 播種日期固定型效應。
  • βj\beta_j 為第 jj 成熟期特性固定型效應。
  • τβij\tau\beta_{ij} 為第 ii 播種日期與第 jj 成熟期特性的交感效應。
  • βγ(j)k\beta\gamma_{(j)k} 為第 jj 成熟期特性下的第 kk 品種隨機型效應，變方設為 σC(B)2\sigma^2_{C(B)}。
  • τβγi(j)k\tau\beta\gamma_{i(j)k} 為第 ii 播種日期、第 jj 成熟期特性與第 kk 品種的交感效應，變方設為 σAC(B)2\sigma^2_{AC(B)}。
  • ε(ijk)l\varepsilon_{(ijk)l} 為隨機誤差，變方設為 σe2\sigma^2_e。

請依據模型完成以下變方分析表中，各項變異來源（SOV；誤差除外）對應之自由度（DF）。（10 分）

變異來源（SOV）自由度（DF）均方（MS）均方期望值（E(MS)E(MS)）
播種日期1MSAMS_Aσe2+5σAC(B)2+40∑iτi2\sigma_e^2+5\sigma^2_{AC(B)}+40\displaystyle\sum_i\tau_i^2
成熟期特性1MSBMS_Bσe2+10σC(B)2+40∑jβj2\sigma_e^2+10\sigma^2_{C(B)}+40\displaystyle\sum_j\beta_j^2
播種日期與成熟期特性交感效應1MSABMS_{AB}σe2+5σAC(B)2+20∑i∑jτβij2\sigma_e^2+5\sigma^2_{AC(B)}+20\displaystyle\sum_i\sum_j\tau\beta_{ij}^2
成熟期特性下的品種6MSC(B)MS_{C(B)}σe2+10σC(B)2\sigma_e^2+10\sigma^2_{C(B)}
播種日期與成熟期特性與品種交感效應6MSAC(B)MS_{AC(B)}σe2+5σAC(B)2\sigma_e^2+5\sigma^2_{AC(B)}
誤差64MSEMSEσe2\sigma_e^2

(二) 續上題。依據變方分析表提供之均方期望值（E(MS)E(MS)），以表中提供之各項均方（MS）代號，寫出檢定各項變異來源（誤差除外）應使用的 FF 值公式。（15 分）

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核心觀念

本題考查巢狀因子設計的自由度，以及依據均方期望值（E(MS)E(MS)）選擇適當誤差項進行 FF 檢定。

令播種日期為因子 AA，成熟期特性為因子 BB，品種為巢狀於成熟期特性 BB 的因子 C(B)C(B)。每個處理組合有 r=5r=5 個小區；AA、BB 各有 2 個水準，每個 BB 水準下有 4 個品種。因此總觀測數為

N=2×2×4×5=80.N=2\times 2\times 4\times 5=80.

模型中 AA、BB 及 ABAB 為固定效應；C(B)C(B) 與 AC(B)AC(B) 為隨機效應。檢定時，分母均方應選擇其 E(MS)E(MS) 中含有與分子相同隨機變異成分的均方，使虛無假設下分子與分母的期望均方相同。

解題方法與自由度

各來源自由度依因子水準數及巢狀結構計算：

  • 播種日期 AA：a−1=2−1=1a-1=2-1=1。
  • 成熟期特性 BB：b−1=2−1=1b-1=2-1=1。
  • ABAB：(a−1)(b−1)=1×1=1(a-1)(b-1)=1\times1=1。
  • 品種巢狀於成熟期特性 C(B)C(B)：b(c−1)=2(4−1)=6b(c-1)=2(4-1)=6。
  • AC(B)AC(B)：b(a−1)(c−1)=2(2−1)(4−1)=6b(a-1)(c-1)=2(2-1)(4-1)=6。
  • 誤差：abc(r−1)=2×2×4×(5−1)=64ab c(r-1)=2\times2\times4\times(5-1)=64。

總自由度為 1+1+1+6+6+64=79=N−11+1+1+6+6+64=79=N-1，與總觀測數相符。

各變異來源的 FF 檢定

依題目提供的均方期望值配對：

  • 播種日期 AA：

E(MSA)=σe2+5σAC(B)2+40∑iτi2E(MS_A)=\sigma_e^2+5\sigma^2_{AC(B)}+40\sum_i\tau_i^2。在 H0:τi=0H_0:\tau_i=0 下，剩餘變異成分與 MSAC(B)MS_{AC(B)} 相同，因此

FA=MSAMSAC(B).F_A=\frac{MS_A}{MS_{AC(B)}}.

  • 成熟期特性 BB：

E(MSB)=σe2+10σC(B)2+40∑jβj2E(MS_B)=\sigma_e^2+10\sigma^2_{C(B)}+40\sum_j\beta_j^2。在 H0:βj=0H_0:\beta_j=0 下，剩餘變異成分與 MSC(B)MS_{C(B)} 相同，因此

FB=MSBMSC(B).F_B=\frac{MS_B}{MS_{C(B)}}.

  • 播種日期與成熟期特性交感效應 ABAB：
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第 三 題30 分

水稻田之溫室氣體排放以甲烷為主，欲調查 4 個水稻栽培品種（V1、V2、V3、V4）於水田 2 種不同湛水深度（W1、W2）下的甲烷排放量。考量湛水管理的方便性，預計以湛水深度為大區因子、品種為小區因子，進行大區採用 2 重複之隨機完全區集設計的裂區設計試驗。

(一) 說明上述試驗應如何進行試驗單位之配置。（15 分）

(二) 寫出上述試驗之變方分析表的各項變異來源（SOV）與其各自對應之自由度（DF）。（15 分）

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核心觀念

本題考查**裂區設計（split-plot design）**的試驗單位配置，以及具有 22 重複區集之裂區設計變方分析表自由度。

裂區設計適用於兩個因子中，一個因子的處理不易在小面積內變更。本題湛水深度管理較不方便，因此將湛水深度 WW 設為大區因子；品種 VV 易於安排在較小面積，因此設為小區因子。兩因子所用的隨機化層級不同，變方分析時須分別以不同的誤差項檢定。

(一) 試驗單位之配置

設 r=2r=2 個區集、a=2a=2 個湛水深度、b=4b=4 個水稻品種。

  1. 將試驗田劃分為 2 個區集，以控制田間位置等環境差異。
  2. 在每一區集內，將田區分為 2 個大區，並各配置一種湛水深度 W1W_1、W2W_2。每個區集內的大區配置須獨立隨機。
  3. 將每個大區再分為 4 個小區，於其中各配置一個品種 V1、V2、V3、V4V_1、V_2、V_3、V_4。每個大區內的品種配置須獨立隨機。
  4. 每個「區集 × 湛水深度 × 品種」組合有一個小區，因此總試驗小區數為 rab=2×2×4=16.r a b=2\times2\times4=16.

每個區集有 22 個大區、共 88 個小區；全試驗共有 44 個大區。配置示意如下，表中小區順序僅為示意，實際應依上述隨機化程序安排：

區集W1W_1 大區內的 4 個小區W2W_2 大區內的 4 個小區
區集 1V1,V2,V3,V4V_1,V_2,V_3,V_4（隨機排列）V1,V2,V3,V4V_1,V_2,V_3,V_4（另行隨機排列）
區集 2V1,V2,V3,V4V_1,V_2,V_3,V_4（另行隨機排列）V1,V2,V3,V4V_1,V_2,V_3,V_4（另行隨機排列）

湛水深度在區集內的大區層級隨機化；品種在各大區內的小區層級隨機化。每一個品種都須在每一個大區中出現一次。

(二) 變方分析表之變異來源與自由度

裂區設計的變異來源及自由度為：

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第 四 題25 分

某研究員希望初步探討結合害蟲天敵（2 個變級：不使用天敵、使用天敵）與殺蟲劑的施用（3 個變級：不使用殺蟲劑、使用低劑量殺蟲劑、使用高劑量殺蟲劑），是否有利於病蟲害的防治效果，因此於生長箱中以完全隨機設計進行試驗，每個處理組合 3 重複，並於試驗進行 1 週後，紀錄各生長箱中存活的害蟲比例。

(一) 若欲對試驗結果進行變方分析，若考量害蟲比例數值介於 0 到 1 之間，不符合常態分布之基本假設，應建議該研究員如何處置？（10 分）

(二) 分析後之變方分析表節錄部分如下，請說明分析結果並建議該研究員如何進行後續之兩兩均值比較分析。（15 分）

變異來源（SOV）FF 統計值FF 臨界值
天敵20.974.75
殺蟲劑15.443.89
天敵與殺蟲劑交感效應1.433.89

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核心觀念

本題考查二因子完全隨機設計的變方分析，以及比例資料的分析前處理與交互作用判讀。

設天敵因子有 a=2a=2 個水準、殺蟲劑因子有 b=3b=3 個水準，每個處理組合有 r=3r=3 個重複。二因子變方分析會檢定：

  • 天敵主效應：比較有無使用天敵的平均存活害蟲比例。
  • 殺蟲劑主效應：比較三種殺蟲劑施用水準的平均存活害蟲比例。
  • 天敵與殺蟲劑交互作用：檢定殺蟲劑效果是否因有無使用天敵而改變。

存活比例介於 00 與 11 之間，變異數常隨平均數改變，且資料分布可能偏斜，因此原始比例不一定符合常態與變異數同質性假設。進行變方分析前須檢視資料型態與模型殘差，必要時轉換資料或改採適合比例資料的模型。

解題方法

（一）比例資料的處置

先確認每個生長箱的存活比例如何取得。若每箱記錄存活害蟲數 yy 與總害蟲數 nn，資料具有二項計數性質，可用二項廣義線性模型，以處理因子及其交互作用為解釋變數，並採用 logit 連結函數：

Y∼Binomial⁡(n,p),log⁡(p1−p)=μ+天敵+殺蟲劑+交互作用.Y \sim \operatorname{Binomial}(n,p), \qquad \log\left(\frac{p}{1-p}\right) =\mu+\text{天敵}+\text{殺蟲劑}+\text{交互作用}.

若依題意仍以傳統變方分析處理比例，可先作反正弦平方根轉換：

z=sin⁡−1p,z=\sin^{-1}\sqrt{p},

其中 pp 為存活比例，轉換後再檢查殘差常態性及變異數同質性。若比例由有限害蟲數計算而來，應保留存活數與總數，因為只分析比例會忽略各箱分母不同所造成的精確度差異。若比例是連續量測值而非二項計數，則依資料分布與殘差診斷，選擇合適的比例資料模型。

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