112 高普考高考二級 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題考單一母體平均數的 $t$ 檢定，以及單邊信賴上界與單邊檢定的對應關係。母體標準差未知、樣本數僅 $n=10$，以樣本標準差 $s$ 估計母體標準差，使用自由度 $n-1=9$ 的學生氏 $t$ 分配。

題目要檢定的方向是「平均含量是否低於法定上限」，故採左尾檢定：

計算檢定統計量時，以虛無假說邊界值 $\mu_0=3.0$ 為基準：

（一）單邊 $t$ 檢定

顯著水準 $\alpha=0.05$，左尾檢定的臨界值為 $-t_{0.05;9}=-1.833$。拒絕域為

先計算標準誤：

因此檢定統計量為

因為 $-5.98<-1.833$，檢定統計量落在拒絕域內，故在 $0.05$ 顯著水準下拒絕 $H_0$。

**結論：**有顯著證據支持食品防腐劑的母體平均含量低於 $3.0\ \mathrm{ppm}$。此結論是針對母體平均數，不能直接解讀為每一個食品單位的含量都低於 $3.0\ \mathrm{ppm}$。

（二）單邊信賴上界與假說檢定

$0.95$ 單邊信賴上界使用 $t_{0.05;9}=1.833$：

代入數值：

核心觀念

本題考區集設計中品種比較的可估性，以及逢機完全區集設計（RCBD）的配置與變方分析自由度。

某兩品種若曾在同一區集內出現，便可利用該區集內的比較資料估計其差異。品種差異與區集效應的比較關係，也可用「品種共現圖」檢查：每個品種視為一個點，同區集內同時出現的兩個不同品種之間連一條邊；若兩品種之間有路徑相連，則其差異可經由中間品種估計。

試驗機差均方（MSE）是誤差平方和除以誤差自由度：

（一）品種兩兩比較與 MSE

先依各區集列出配置：

• 區集 1：A、B、B、A，實際出現品種為 A、B。
• 區集 2：D、C、C、D，實際出現品種為 C、D。
• 區集 3：B、A、B、A，實際出現品種為 A、B。
• 區集 4：C、C、D、D，實際出現品種為 C、D。

因此，共現關係只有 A–B 與 C–D 兩組，形成兩個互不相連的品種群：

每一群內的比較均可估計；兩群之間沒有共同區集，也沒有可連接兩群的品種，因此跨群比較無法估計。

可執行的兩兩比較為：

• 可估計：A–B、C–D。
• 不可估計：A–C、A–D、B–C、B–D。

計算 MSE 時，這份配置不是每個區集都包含四個品種各一次的完整 RCBD；每一區集均有品種重複、且有品種缺席。因此應依實際配置建立線性模型，而不能直接套用完整 RCBD 的標準誤差自由度 $(t-1)(r-1)$。

設觀測值模型為

其中 $\beta_j$ 為區集效應，$\tau_{i(j)}$ 為品種效應；品種效應在兩個互不連通的品種群內估計。依配置建立設計矩陣 $X$，以最小平方法估計模型參數，則

核心觀念

本題比較四個品系的處理平均，考驗兩兩比較中的兩種方法：

• Fisher 最小顯著差異法（LSD）：以 $t$ 分配計算兩平均差的臨界值，通常用於事前規劃的比較，或整體變異數分析（ANOVA）已達顯著後的比較。
• Tukey 誠實顯著差異法（HSD）：以學生化極差分配計算臨界值，控制所有處理平均兩兩比較的家族型第一類錯誤率，適合進行全部兩兩比較。

題目已提供兩種方法的臨界值，故只要比較各品系平均差的絕對值與相應臨界值。差值大於臨界值，即判定在顯著水準 $0.05$ 下達顯著。

解題方法

先列出四個平均數：

四個平均數共有 $\binom{4}{2}=6$ 組兩兩比較。各組絕對差如下：

判讀規則為：若 $|\bar{x}_i-\bar{x}_j|$ 大於方法的臨界值，該組差異達顯著；若小於或等於臨界值，則未達顯著。

（一）Fisher LSD 兩兩比較

LSD 臨界值為 $0.569$。逐組比較：

• $A-B$：$0.20<0.569$，差異未達顯著。
• $A-C$：$0.69>0.569$，差異達顯著。
• $A-D$：$1.13>0.569$，差異達顯著。
• $B-C$：$0.49<0.569$，差異未達顯著。
• $B-D$：$0.93>0.569$，差異達顯著。

核心觀念

本題考查兩因子試驗中，裂區設計與條區設計的田間配置，以及裂區設計中各效應應採用的誤差項。

• 裂區設計將一個因子配置於較大的主區，另一因子配置於主區內的副區。主區與副區的隨機化分兩階段進行，因此 A、B、AB 的檢定誤差項不同。
• 條區設計將 A、B 分別配置在兩個互相垂直的條帶方向；每一個 A 直條與每一個 B 橫條交會處構成一個處理組合。其配置與裂區設計不同，不能把裂區的隨機化方式直接套用。

本題有 $r=2$ 個完全區集、$a=3$ 個 A 水準、$b=4$ 個 B 水準。

（一）A 為主區因子、B 為副區因子的裂區設計

田間配置與隨機化

每個區集各自獨立隨機化：

1. 將每個區集劃分為 3 個主區，並將 $A_1,A_2,A_3$ 隨機分配到主區。
2. 每個主區再分為 4 個副區，將 $B_1,B_2,B_3,B_4$ 隨機分配到副區。
3. 每個主區內的四個副區使用同一個 A 水準，並各自包含一個 B 水準，因此每個區集都有 $3\times4=12$ 個試驗小區，總計 $2\times12=24$ 個試驗小區。

以下為一種可能的配置示意。實際試驗須在每個區集內分別隨機排列 A 主區，並在各主區內分別隨機排列 B 副區；圖中排列僅供說明。

區集一
┌────────────── 主區：A₂ ──────────────┐
│ B₃ │ B₁ │ B₄ │ B₂ │
├────────────── 主區：A₁ ──────────────┤
│ B₂ │ B₄ │ B₁ │ B₃ │
├────────────── 主區：A₃ ──────────────┤
│ B₁ │ B₃ │ B₂ │ B₄ │
└──────────────────────────────────────┘

區集二
┌────────────── 主區：A₃ ──────────────┐
│ B₄ │ B₂ │ B₃ │ B₁ │
├────────────── 主區：A₁ ──────────────┤
│ B₃ │ B₁ │ B₄ │ B₂ │
├────────────── 主區：A₂ ──────────────┤
│ B₂ │ B₄ │ B₁ │ B₃ │
└──────────────────────────────────────┘

主區通常較大，適合配置不易頻繁更換或操作較困難的 A 因子；副區較小，適合配置較容易安排的 B 因子。

裂區設計的變方分析與檢定

令 $Y_{ijk}$ 表示第 $i$ 區集、A 的第 $j$ 水準、B 的第 $k$ 水準之觀測值，其中 $i=1,2$、$j=1,2,3$、$k=1,2,3,4$。裂區設計的變方分析表如下：

在完整的裂區 ANOVA 中，副區誤差為區集與處理效應的交互作用部分，包含「區集 $\times$ B」與「區集 $\times$ A $\times$ B」，自由度合計 $3+6=9$。因此各效應的檢定為：