109 高普考高考二級 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

1. 單一拉丁方格之限制 在參試處理數為 $r$ 的單一拉丁方格設計（Latin Square Design, LSD）中，試驗總單位數為 $N = r^2$。其變異來源包括列（Rows）、行（Columns）、處理（Treatments）及機差（Error）。各項自由度分配如下：

• 總自由度：$df_{\text{Total}} = r^2 - 1$
• 列自由度：$df_{\text{Row}} = r - 1$
• 行自由度：$df_{\text{Col}} = r - 1$
• 處理自由度：$df_{\text{Trt}} = r - 1$
• 機差自由度： $df_E = (r - 1)(r - 2)$ 當處理數 $r$ 較小時（例如 $r = 3$ 時 $df_E = 2$；$r = 4$ 時 $df_E = 6$），機差自由度嚴重不足（統計學一般要求 $df_E \ge 10 \sim 12$）。這會導致均方機差（$MSE$）估計極不穩定、$F$ 檢定臨界值過高，使檢定力（Power of Test）大幅下降，難以偵測出處理間的真實差異。

2. 重複拉丁方格設計（Replicated Latin Square Design）的原理 為克服小方格機差自由度不足的缺陷，採用 $n$ 個 $r \times r$ 的拉丁方格進行重複試驗，使總觀測值增加至 $N = n r^2$。此舉能有效提高機差自由度，大幅提升試驗的精確度與檢定力。

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解題方法

規劃重複次數為 $n$、參試處理數為 $r$ 的重複拉丁方格設計時，依據試驗材料、空間（田區）或時間特性，其「列（Rows）」與「行（Columns）」阻隔因子在各方格間是「獨立相異」或「彼此共通」，可規劃出以下三種主要設計型態：

類型一：方格間「列與行皆獨立」（完全獨立型，Different Rows and Different Columns）

1. 規劃情境： $n$ 個方格分別設置在完全不同的時間、地點、溫室或不同田區。每個方格各自擁有獨立的列阻隔與行阻隔（即 $n$ 個方格共有 $nr$ 個不同的列與 $nr$ 個不同的行）。
2. 隨機配置步驟：

• 獨立選取 $n$ 個標準 $r \times r$ 拉丁方格。
• 對每個方格獨立進行列隨機化、行隨機化及處理代號隨機化。

3. 變異數分析表（ANOVA）： 若考慮方格與處理之交互作用（$Squares \times Treatments$）：

變異來源（Source）	自由度（$df$）	均方（$MS$）	$F$ 值
方格間（Squares）	$n - 1$	$MS_{Sq}$	$MS_{Sq} / MS_E$
方格內列（Rows within Squares）	$n(r - 1)$	$MS_{R(Sq)}$	$MS_{R(Sq)} / MS_E$
方格內行（Columns within Squares）	$n(r - 1)$	$MS_{C(Sq)}$	$MS_{C(Sq)} / MS_E$
處理（Treatments）	$r - 1$	$MS_{Trt}$	$MS_{Trt} / MS_{Sq \times Trt}$ 或 $MS_{Trt} / MS_E$
方格 $\times$ 處理（$Squares \times Treatments$）	$(n - 1)(r - 1)$	$MS_{Sq \times Trt}$	$MS_{Sq \times Trt} / MS_E$
機差（Error）	$n(r - 1)(r - 2)$	$MS_E$
總和（Total）	$n r^2 - 1$

若經檢定方格與處理無交互作用，可將 $Squares \times Treatments$ 併入機差，此時合併機差自由度為： $df_E = n(r - 1)(r - 2) + (n - 1)(r - 1) = (r - 1)[n(r - 1) - 1]$

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類型二：方格間「列相同、行獨立」（或「列獨立、行相同」）（部分共通型）

1. 規劃情境：

• 列相同、行獨立（Common Rows, Different Columns）：同一批試驗動物或受試個體（相同的 $r$ 個列）在 $n$ 個連續時期進行試驗，而每一時期各自有獨立的操作批次或組別（獨立的行）。
• 列獨立、行相同（Different Rows, Common Columns）：反之，各方格共享相同的行因子，而列因子各自獨立。

2. 隨機配置步驟（以列相同、行獨立為例）：

• 列阻隔固定對應至共通的 $r$ 個受試對象。
• 在各個方格（時期）中，分別獨立對行與處理進行隨機排列配置。

3. 變異數分析表（ANOVA）（以列相同、行獨立為例）：

變異來源（Source）	自由度（$df$）	均方（$MS$）	$F$ 值
方格間（Squares）	$n - 1$	$MS_{Sq}$	$MS_{Sq} / MS_E$
共通列（Common Rows）	$r - 1$	$MS_{Row}$	$MS_{Row} / MS_{Sq \times Row}$
方格 $\times$ 列（$Squares \times Rows$）	$(n - 1)(r - 1)$	$MS_{Sq \times Row}$	$MS_{Sq \times Row} / MS_E$
方格內行（Columns within Squares）	$n(r - 1)$	$MS_{C(Sq)}$	$MS_{C(Sq)} / MS_E$

核心觀念

本題評量變方分析（ANOVA）之整體 $F$ 檢定與後續**事後多重比較（Post-hoc Pairwise Comparisons）**在假說設定、幾何拒絕域及檢定力上的本質差異。涉及之核心觀念與定義如下：

1. 整體 $F$ 檢定的虛無假說與對比空間（Space of Contrasts）： 變方分析之虛無假說為 $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k$（$k \ge 3$），對立假說 $H_a$ 為「$\mu_i$ 不全相等」。 數學上，$H_0$ 等價於「所有可能的線性對比（Linear Contrasts）皆為 0」： $L = \sum_{i=1}^{k} c_i \mu_i = 0 \quad \left(\text{其中 } \sum_{i=1}^{k} c_i = 0\right)$ 整體 $F$ 檢定檢驗的是由 $k-1$ 個自由度所張成的整個對比空間，只要在此空間中存在任何一個非零對比（包含複合對比），$F$ 檢定即可能呈現顯著。

2. 配對比較（Pairwise Comparison）的侷限性： 配對比較僅檢驗係數為 $(1, -1, 0, \dots, 0)$ 型態的簡單對比（Simple Contrasts），即 $H_0: \mu_i - \mu_j = 0$。簡單對比只是所有可能對比中的極小一組子集合（維度僅有 $\binom{k}{2}$ 個特定方向）。

3. 型 I 誤差控制與檢定力（Statistical Power）之消長： 執行多重比較時，為避免「試驗整體誤差率」（Family-Wise Error Rate, FWER 或 Experiment-wise Error Rate, EER）膨脹，檢定程序通常會提高臨界值門檻（調降個別比較的顯著水準）。門檻提高會導致個別比較的檢定力（$1-\beta$）降低，可能因此無法測出顯著差異。

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解題方法

此現象在試驗統計學上稱為「整體檢定與多重比較之矛盾（Inconsistency between Omnibus test and Post-hoc tests）」。分析其發生的關鍵成因，應從以下四個維度切入論述：

1. 顯著差異源自於「複合對比（Complex Contrast）」而非「簡單對比」

整體 $F$ 檢定顯著，僅代表母體均數間存在差異，但此差異不必然落在兩兩單獨比較的差值上。

• 複合對比之效應：差異可能存在於數個處理之平均與另一個處理之間，例如群組平均對比： $L = \frac{\mu_1 + \mu_2}{2} - \mu_3 \ne 0$ 或是析因試驗中的交互作用效應、連續劑量下的線性／二次曲線趨勢對比。
• 此時，任兩個單一平均數之間的差值 $|\bar{Y}_i - \bar{Y}_j|$ 均未達門檻，但跨組的線性組合變異累積，使得處理間均方（$\text{MS}_{\text{Trt}}$）顯著大於機差均方（$\text{MSE}$），造成整體 $F$ 檢定顯著，而所有配對比較均不顯著。

2. 多重比較方法過於保守（Conservativeness of Post-hoc Procedure）

不同多重比較方法對 FWER 的控制嚴格度不同，直接影響檢定力：

• Scheffé 法之特性：依據 Scheffé 定理，若整體 $F$ 檢定在顯著水準 $\alpha$ 下顯著，則以 Scheffé 法檢定「所有可能的線性對比」時，保證至少存在一個對比顯著。但 Scheffé 法是保護全體（無限多個）可能對比，若僅拿來檢定「配對比較」，臨界值過於嚴苛（臨界值為 $\sqrt{(k-1)F_{\alpha, k-1, \text{df}_E}}$），檢定力極低，極易導致無任一配對顯著。
• Bonferroni 法與 Tukey HSD 之保守性：若使用 Bonferroni 調整（將水準降至 $\alpha / \binom{k}{2}$），當處理數 $k$ 較大時，個別檢定水準極小；Tukey HSD 雖然專門針對全配對設計，但其整體保護亦會拉高拒絕門檻，當 $F$ 檢定僅為微弱顯著（marginal significance）時，配對比較往往全數落入不顯著區。

3. 幾何拒絕域（Rejection Region）形狀不同

• 整體 $F$ 檢定之拒絕域在 $k-1$ 維對比空間中為一個橢球體（Ellipsoid）。
• 配對比較方法（如 Tukey HSD）之拒絕域由複數個超平面圍成，幾何形狀為多面體／多維柱體（Polytope/Cylinder）。
• 由於幾何圖形外觀不同，樣本統計量向量可能落在「橢球面之外（$F$ 檢定拒絕 $H_0$）」，但同時落在「多面體邊界之內（配對比較未落入拒絕域）」，造成統計推論的矛盾。

核心觀念

本題考查**裂區設計（Split-plot design）**在隨機完全區集（RCBD）架構下的變方分析（ANOVA）。

1. 試驗結構與隨機化特性：

• 主區因子（Main-plot factor）：水稻品種（$A$ 與 $a$），水準數 $a = 2$。
• 副區因子（Subplot factor）：化學處理（$B$ 與 $b$），水準數 $b = 2$。
• 區集（Replication / Block）：共 2 個區集，重複數 $r = 2$。
• 總試驗單元數：$N = r \times a \times b = 2 \times 2 \times 2 = 8$。

2. 雙重機差結構（Two Error Terms）：

• 主區機差 $\text{Error}(a)$：主區處理隨機配置於區集內所產生的試驗機差，本質上為「區集 $\times$ 主區處理」的交感變異（$\text{Block} \times A$）。用於檢定主區處理之效應。
• 副區機差 $\text{Error}(b)$：副區處理隨機配置於主區內所產生的試驗機差，包含「區集 $\times$ 副區處理」及「區集 $\times$ 主區處理 $\times$ 副區處理」的合併變異。用於檢定副區處理及兩因子交互作用之效應。

3. 自由度分配法則：

• 總自由度：$df_{\text{Total}} = rab - 1$
• 區集：$df_{\text{Block}} = r - 1$
• 品種（主區）：$df_A = a - 1$
• 主區機差：$df_{\text{Error}(a)} = (r - 1)(a - 1)$
• 化學處理（副區）：$df_B = b - 1$
• 品種 $\times$ 化學處理交感：$df_{A \times B} = (a - 1)(b - 1)$
• 副區機差：$df_{\text{Error}(b)} = a(r - 1)(b - 1)$

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解題方法

步驟一：整理試驗數據與各級總和

原始數據依區集、品種、化學處理整理如下：

區集（Block）	品種	化學處理 $B$	化學處理 $b$	主區總和（$Y_{ij\cdot}$）
Block 1	$A$	642	669	1311
	$a$	633	550	1183
Block 1 總和（$R_1$）				2494
Block 2	$A$	729	749	1478
	$a$	1075	1037	2112
Block 2 總和（$R_2$）				3590

各邊界總和計算：

• 全體總和（$G$）： $G = R_1 + R_2 = 2494 + 3590 = 6084$
• 校正項（$C$）： $C = \frac{G^2}{N} = \frac{6084^2}{8} = \frac{37015056}{8} = 4626882$
• 品種（主區處理）總和： $Y_{A\cdot\cdot} = 1311 + 1478 = 2789$ $Y_{a\cdot\cdot} = 1183 + 2112 = 3295$
• 化學處理（副區處理）總和： $Y_{\cdot B\cdot} = 642 + 633 + 729 + 1075 = 3079$ $Y_{\cdot b\cdot} = 669 + 550 + 749 + 1037 = 3005$
• 品種與化學處理雙向表（$A \times B$ 總和，每格 $r = 2$ 次重複）： $AB = 642 + 729 = 1371$ $Ab = 669 + 749 = 1418$ $aB = 633 + 1075 = 1708$ $ab = 550 + 1037 = 1587$

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步驟二：計算各變因之平方和（Sum of Squares, SS）

1. 總平方和（$SS_{\text{Total}}$）： $\sum Y_{ijk}^2 = 642^2 + 669^2 + 633^2 + 550^2 + 729^2 + 749^2 + 1075^2 + 1037^2 = 4886350$ $SS_{\text{Total}} = \sum Y_{ijk}^2 - C = 4886350 - 4626882 = 259468$

2. 區集平方和（$SS_{\text{Block}}$）： $SS_{\text{Block}} = \frac{R_1^2 + R_2^2}{ab} - C = \frac{2494^2 + 3590^2}{4} - 4626882 = \frac{19108136}{4} - 4626882 = 4777034 - 4626882 = 150152$

3. 品種平方和（$SS_A$）： $SS_A = \frac{Y_{A\cdot\cdot}^2 + Y_{a\cdot\cdot}^2}{rb} - C = \frac{2789^2 + 3295^2}{4} - 4626882 = \frac{18635546}{4} - 4626882 = 4658886.5 - 4626882 = 32004.5$

4. 主區機差平方和（$SS_{\text{Error}(a)}$）： 主區單元合計之平方和為： $SS_{\text{Main Plots}} = \frac{1311^2 + 1183^2 + 1478^2 + 2112^2}{b} - C = \frac{9763238}{2} - 4626882 = 4881619 - 4626882 = 254737$ 故主區機差平方和為： $SS_{\text{Error}(a)} = SS_{\text{Main Plots}} - SS_{\text{Block}} - SS_A = 254737 - 150152 - 32004.5 = 72580.5$

核心觀念

本題評量多元線性迴歸分析（Multiple Linear Regression）中模型配適度指標的統計性質與缺陷修正，核心觀念包含：

1. 複決定係數（$R^2$）的定義與限制： $R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$ 式中，$SST$ 為總平方和（Total Sum of Squares）、$SSR$ 為迴歸平方和（Regression Sum of Squares）、$SSE$ 為殘差平方和（Error Sum of Squares）。$R^2$ 表示應變數（$Y$）之總變異中，可被所有自變數（$X_1, X_2, \dots, X_p$）線性組合所解釋的比例。
2. 自由度（Degrees of Freedom, $df$）： 設樣本數為 $n$、模型包含截距項與 $p$ 個自變數（解釋變數）：

• $SST$ 之自由度為 $df_{\mathrm{total}} = n - 1$
• $SSE$ 之自由度為 $df_{\mathrm{error}} = n - p - 1$
• $SSR$ 之自由度為 $df_{\mathrm{model}} = p$

3. 均方（Mean Square）與自由度懲罰： 矯正的複決定係數（$R^2_{\mathrm{adj}}$ 或記作 $\bar{R}^2$）係以各平方和的「均方」取代「平方和」，將模型納入自變數所消耗的自由度納入考量： $MSE = \frac{SSE}{n - p - 1}, \quad MST = \frac{SST}{n - 1}$

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解題方法

本題為申論說明題，作答應從「傳統 $R^2$ 的內在缺陷」切入說明計算動機，再由「自由度調整公式與懲罰機制」推導如何達到矯正目的。

一、為什麼要計算矯正的複決定係數（計算原因）

1. 傳統 $R^2$ 具有單調非遞減性（Monotonically Non-decreasing）： 在最小平方法（OLS）的架構下，只要模型中加入新的自變數（無論該變數是否具有真實生物學或統計學上的實質貢獻），殘差平方和必定不會增加（即 $SSE_{\text{new}} \le SSE_{\text{old}}$）。因此，傳統 $R^2$ 必定只增不減（$R^2_{\text{new}} \ge R^2_{\text{old}}$）。
2. 誘發過度配適（Overfitting）與自由度浪費： 若單純以極大化 $R^2$ 作為評估指標或變數選取的標準，會誘使研究者盲目加入無關或冗餘的解釋變數，造成模型參數過多、估計變異數膨脹，降低統計檢定力與對外推預測的能力。
3. 模型間欠缺公平比較基礎： 當比較解釋變數個數不同（自由度不同）的競爭模型時，傳統 $R^2$ 無法在「模型解釋能力」與「模型簡約性（Parsimony）」之間取得平衡，對自變數較多的模型產生系統性偏好。

二、如何達到矯正的目的（矯正機制與推導）

矯正的複決定係數係透過「以均方取代平方和」之方式，將自變數個數對自由度的消耗作為一種「懲罰」，其達成途徑如下：

1. 公式推導與定義： 將傳統 $R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$ 中的 $SSE$ 與 $SST$ 分別除以各自的自由度，定義為殘差均方（$MSE$）與總均方（$MST$）之比值：

核心觀念

本題旨在評量多因子試驗中，因子間結構關係（Factorial Relationship）之判別、試驗配置規劃及線性統計模型（Linear Statistical Model）之建構能力。核心觀念包括：

1. 交叉設計（Crossed Design）：兩因子 $A$ 與 $B$ 的水準彼此對稱交叉組合。因子 $A$ 的任一水準皆會與因子 $B$ 的所有水準共同出現，形成完整的處理組合矩陣。此設計可估計兩因子之主效應（Main Effects）與交感效應（Interaction Effect，$A \times B$）。
2. 摺疊設計（Nested Design，又稱巢式設計、成疊設計）：因子 $B$ 隸屬或疊置於因子 $A$ 之特定水準內部（記作 $B(A)$）。因子 $A$ 某水準下的 $B$ 因子各水準，與因子 $A$ 另一水準下的 $B$ 因子各水準完全不同，無法跨越 $A$ 水準互相對應。此設計不存在兩因子的交感效應，因子 $B$ 之效果僅能在所屬的 $A$ 水準內進行比較。

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解題方法

本題為申論與統計建模題型，解題步驟與切入點如下：

1. 實例對比：以農業技術試驗為背景，設定相同的因子名稱（如肥料處理與品種，或品系與植株），具體刻劃兩者在田間配置與試驗結構上的本質差異。
2. 建立線性統計模型：分別寫出完全逢機設計（CRD）架構下的雙因子交叉模型與二級摺疊模型，符號依循標準試驗設計慣例，並完整定義指標範圍（$i, j, k$）。
3. 闡明成分意義與限制條件：逐一解析母體平均數、主效應、交感效應、摺疊效應及機差項的意義，並註明固定效應（Fixed-effects）之零和限制式或逢機效應（Random-effects）之常態獨立分配假設。
4. 自由度分割驗證：補充平方和與自由度之對照，指出摺疊設計中 $B(A)$ 的自由度恰為交叉設計中 $B$ 與 $A \times B$ 自由度之和，深化學理完整度。

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選項分析

本題為高等考試二級農業技術類科之申論題，非選擇題型，故無選項。本題評分標準與結構拆解為三大面向：

• 概念與實例區分：能否明確點出「能否跨水準組合」與「有無交感效應」，實例是否符合農業技術田間試驗情境。
• 數學模式之正確性：下標是否精確（特別是摺疊項 $j(i)$ 與交感項 $ij$ 之區分）、重複數標示是否清楚。
• 統計成分之完備定義：是否說明模型各項係數之生物學或統計學意涵，以及機差之獨立常態假設。

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解題技巧

1. 判斷竅門（交叉 vs 摺疊）：

• 問自己：「因子 $B$ 的第 1 水準在因子 $A$ 的第 1 水準與第 2 水準中，是否為同一個體或具備相同的物理意義？」
• 若是（如品種 A 在高氮與低氮下一樣是品種 A） $\rightarrow$ 交叉設計。
• 若否（如甲果園抽取的第 1 棵樹與乙果園抽取的第 1 棵樹純屬不同植株，僅編號相同） $\rightarrow$ 摺疊設計。

2. 常見陷阱：

• 誤在摺疊模型中加入交感效應項 $(\alpha\beta)_{ij}$。摺疊設計因缺乏跨水準的完整對稱結構，交感項與次級因子主效應無法分離，數學上無法估計。
• 遺漏模型限制條件（固定效應模型總和為零）或機差假設（$\epsilon \overset{iid}{\sim} N(0, \sigma^2)$）。

3. 快速驗算（自由度守恆）：

• 交叉設計中，$B$ 之自由度為 $b-1$，$A \times B$ 之自由度為 $(a-1)(b-1)$。
• 兩者自由度相加：$(b-1) + (a-1)(b-1) = (b-1)(1 + a - 1) = a(b-1)$，恰等於摺疊項 $B(A)$ 之自由度。此性質可迅速確認模型自由度是否平衡。

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【答案】

一、交叉設計與摺疊設計之意義、實例與差異

1. 交叉設計（Crossed Design）

• 定義：兩因子 $A$ 與 $B$ 處於對等地位，因子 $A$ 的每一個水準均與因子 $B$ 的每一個水準相互搭配，共構成 $a \times b$ 個處理組合。
• 農業實例：
• 因子 $A$ 為「施氮量」，共 3 個水準（$A_1$: 0 kg/ha、$A_2$: 60 kg/ha、$A_3$: 120 kg/ha）。
• 因子 $B$ 為「水稻品種」，共 2 個水準（$B_1$: 台農67號、$B_2$: 台中192號）。
• 田間試驗中，台農67號與台中192號均會分別施予 0、60、120 kg/ha 之氮肥，共計 $3 \times 2 = 6$ 種處理組合。
• 特點：可分別檢定施氮量主效應、水稻品種主效應，以及兩者之交感效應（即不同品種對施氮量的肥效反應是否不一致）。

2. 摺疊設計（Nested Design，或稱巢式設計）

• 定義：次級因子 $B$ 疊置於主要因子 $A$ 之下（記為 $B(A)$）。在因子 $A$ 某一水準出現的 $B$ 因子水準，不會出現在因子 $A$ 的其他水準中。各 $B$ 水準僅具有組內編號意義，彼此無法跨組對應。
• 農業實例：
• 因子 $A$ 為「甘藷育種品系」，共 2 個品系（$A_1$: 台農57號、$A_2$: 台農66號）。