111 高普考高考二級 電力工程 控制系統 考古題詳解

核心觀念

1. 狀態空間表示法（State-Space Representation）： 對於多輸入多輸出或高階動態系統，透過選定一組最少數量的內部狀態變數 $X(t) = [x_1, x_2, \dots, x_n]^T$，將系統的高階微分方程式降階轉換為一組向量一階微分方程式（狀態方程式）與代數方程式（輸出方程式）：

其中 $A$ 為系統矩陣（System Matrix）、$B$ 為輸入矩陣（Input Matrix）、$C$ 為輸出矩陣（Output Matrix）、$D$ 為直接傳遞矩陣（Direct Transmission Matrix）。

2. 拉普拉斯轉換與轉移函數（Transfer Function）： 在零初始條件（Zero Initial Conditions）下，線性非時變（LTI）系統之輸出拉氏轉換與輸入拉氏轉換之比值定義為轉移函數：

對於由微分方程組描述之連體偶合系統，可直接對各時域微分方程取拉氏轉換後，利用代數消去法消去中間變數求解；亦可透過狀態空間模型之代數公式 $G(s) = C(sI - A)^{-1}B$ 進行推導與交叉驗算。

解題方法

（一）推導狀態方程式與輸出方程式，求 $A$、$B$、$C$

給定之兩二階微分方程式為：

依題目指定狀態變數、輸入與輸出定義：

• $x_1 = \theta_1 - \theta_2$
• $x_2 = \dot{\theta}_1$
• $x_3 = \theta_2$
• $x_4 = \dot{\theta}_2$
• $u = F$
• $y = \theta_2$

步驟 1：推導各狀態變數之一階時間導數 $\dot{x}_i$

1. 對 $x_1$ 微分：

2. 對 $x_2$ 微分，利用式 (1) 解出 $\ddot{\theta}_1$：

將定義代入：

整理成狀態變數之標準項次順序：

3. 對 $x_3$ 微分：

4. 對 $x_4$ 微分，利用式 (2) 解出 $\ddot{\theta}_2$：

將定義代入：

步驟 2：組成狀態空間矩陣

將上述一階方程式寫為矩陣形式 $\dot{X} = AX + Bu$：

步驟 3：建立輸出方程式

由 $y = \theta_2 = x_3$，可得：

得系統矩陣：

（二）推導轉移函數 $\frac{y(s)}{u(s)} = \frac{N(s)}{D(s)}$，求 $N(s)$ 及 $D(s)$

在零初始條件下，對原始運動微分方程式 (式 1) 與 (式 2) 取拉氏轉換：

核心觀念

本題評量二階欠阻尼系統（Underdamped System, $0\leq\zeta<1$）含有一開迴路零點時之步階響應推導與時域響應標準數學形式轉換。核心概念與公式包含：

1. 拉氏轉換與步階響應定義： 單位步階輸入 $u(t) = 1(t) \iff U(s) = \frac{1}{s}$，系統輸出為 $Y(s) = G(s)U(s)$。
2. 零點的微分效應： 分子多項式含有 $(s+z)$ 項，可視為標準二階系統響應與其導數之線性組合，亦可直接透過部分分式展開法（Partial Fraction Expansion）求解。
3. 欠阻尼特徵根與時域轉換： 特徵方程式之共軛複數極點為 $s = -\zeta\omega_n \pm j\omega_d$，其中阻尼自然頻率 $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$。 對應之拉氏反轉換公式： $\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{s+\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2} \right\} = e^{-\zeta\omega_n t}\cos(\omega_d t)$ $\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{\omega_d}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2} \right\} = e^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_d t)$
4. 三角函數合成公式： 將正弦與餘弦之線性組合化為單一餘弦函數： $\cos(\omega_d t) - K\sin(\omega_d t) = R\cos(\omega_d t + E)$ 其中 $R = \sqrt{1+K^2}$，$\tan E = K$。

解題方法

步驟一：求步階響應的拉氏轉換式 $Y(s)$ 並進行部分分式展開

給定轉移函數： $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\omega_n^2(s+2)}{2(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)}$

當輸入為單位步階信號 $u(t) = 1(t)$，其拉氏轉換為 $U(s) = \frac{1}{s}$，輸出為： $Y(s) = \frac{\omega_n^2(s+2)}{2s(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)}$

將 $Y(s)$ 分解為穩態項（極點在 $s=0$）與暫態項（共軛複數極點）： $Y(s) = \frac{K_0}{s} + \frac{M s + N}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$

由留數定理（Residue Theorem）求出穩態係數 $K_0$： $K_0 = \lim_{s\to 0} s Y(s) = \frac{\omega_n^2(0+2)}{2(0+0+\omega_n^2)} = 1$

通分求暫態項分子： $\frac{M s + N}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2} = Y(s) - \frac{1}{s} = \frac{\frac{1}{2}\omega_n^2(s+2) - (s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)}{s(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)}$

化簡分子： $\frac{1}{2}\omega_n^2 s + \omega_n^2 - s^2 - 2\zeta\omega_n s - \omega_n^2 = -s^2 + \left(\frac{1}{2}\omega_n^2 - 2\zeta\omega_n\right)s = -s\left[ s + \left(2\zeta\omega_n - \frac{1}{2}\omega_n^2\right) \right]$

消去分母的 $s$，得暫態項為： $-\frac{s + 2\zeta\omega_n - \frac{1}{2}\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$

因此，$Y(s)$ 可完整表示為： $Y(s) = \frac{1}{s} - \frac{s + 2\zeta\omega_n - \frac{1}{2}\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$

步驟二：配方並取拉氏反轉換求 $y(t)$

將二階分母配方： $s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2 = (s+\zeta\omega_n)^2 + \omega_d^2$ 其中 $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$。

將分子改寫為以 $(s+\zeta\omega_n)$ 為基準之形式： $s + 2\zeta\omega_n - \frac{1}{2}\omega_n^2 = (s+\zeta\omega_n) + \left(\zeta\omega_n - \frac{1}{2}\omega_n^2\right)$

代入 $Y(s)$： $Y(s) = \frac{1}{s} - \left[ \frac{s+\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2} + \frac{\zeta\omega_n - \frac{1}{2}\omega_n^2}{\omega_d}\cdot\frac{\omega_d}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2} \right]$

對 $Y(s)$ 取反拉氏轉換，得時域步階響應 $y(t)$： $y(t) = 1 - e^{-\zeta\omega_n t}\left[ \cos(\omega_d t) + \frac{\zeta\omega_n - \frac{1}{2}\omega_n^2}{\omega_d}\sin(\omega_d t) \right]$ 整理括號內係數： $\frac{\zeta\omega_n - \frac{1}{2}\omega_n^2}{\omega_d} = \frac{2\zeta\omega_n - \omega_n^2}{2\omega_d} = \frac{2\zeta - \omega_n}{2\sqrt{1-\zeta^2}}$

故步階響應為：

核心觀念

本題考查含輸入擾動的單位負回授系統、閉迴路轉移函數、三次特徵方程的 Routh–Hurwitz 穩定條件，以及依開迴路原點極點數判斷系統型態。誤差定義為 $E=R-Y$，圖中的擾動 $W$ 以正號加在控制器與植物之間。

解題方法與推導

由方塊圖可得植物輸入為 $C(s)E(s)+W(s)$，因此

整理後：

先計算共同特徵多項式：

令

（一）求 $\dfrac{Y(s)}{W(s)}$

令 $R(s)=0$，則

也就是

（二）求 $\dfrac{Y(s)}{R(s)}$

令 $W(s)=0$，則

也就是

（三）使回授系統穩定的 $(k_P,k_I)$ 條件

閉迴路特徵方程為

三次多項式的 Routh 表為

穩定要求第一欄元素皆嚴格為正，因此

整理得

（四）針對輸入 $R$ 的系統型態

參考輸入至輸出的開迴路轉移函數為

核心觀念

令開迴路傳遞函數為

奈奎斯特圖可由 $L(j\omega)$ 的實部與虛部描述。圖形與負實軸的交點決定相位交越頻率；當圖形通過 $-1$ 點時，閉迴路系統處於穩定邊界。

本題的開迴路在原點有三重極點，繪製完整奈奎斯特圖時，需將奈奎斯特路徑在原點附近作小半圓避開極點；該小半圓經 $L(s)$ 映射後，會形成無窮遠處的閉合弧。

（一）奈奎斯特圖

代入 $s=j\omega$：

因此，對 $\omega>0$：

正頻率分支的關鍵位置如下：

負頻率分支是正頻率分支對實軸的鏡射。繪圖時，可先畫出從左上方延伸、穿越 $-K/5$、再由原點下方趨近原點的正頻率分支，再補上鏡射分支及原點小半圓所映射出的無窮遠弧。

（二）閉迴路穩定的 $K$ 條件

奈奎斯特圖在負實軸的交點為 $-K/5$。當

時，圖形通過臨界點 $-1$，所以穩定邊界為 $K=5$。為確認穩定區間，可由閉迴路特徵方程驗算：