114 高普考高考二級 電力工程 控制系統 考古題詳解

114 年・高普考・高考二級・電力工程
試題代碼 控制系統

第 一 題20 分

已知一開迴路系統之特性方程式為 s3+7s2+17s+15=0。s^3+7s^2+17s+15=0。

（一）試運用羅斯赫維茲準則（Routh-Hurwitz Criterion），判定是否其極點皆穩定且位於左半開平面。

（二）試運用羅斯赫維茲準則輔以變數變換，判定是否所有極點皆位於 s=−2s=-2 之左半開平面。

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核心觀念

羅斯赫維茲準則可由特性方程式係數組成 Routh 表，藉由第一欄符號變化次數判斷右半平面極點數。若第一欄各項皆為正且沒有零值，則沒有右半平面極點。

若要判斷極點是否全部位於直線 s=−2s=-2 左側，可令 z=s+2z=s+2，使 s=−2s=-2 對應 z=0z=0。此時「所有極點皆位於 s=−2s=-2 左側」等價於變換後所有極點皆位於 zz 平面的左半平面。

（一）判定極點是否皆位於左半平面

特性方程式為

s3+7s2+17s+15=0。s^3+7s^2+17s+15=0。

建立 Routh 表：

次方第一欄第二欄
s3s^3111717
s2s^2771515
s1s^17(17)−1(15)7=1047\dfrac{7(17)-1(15)}{7}=\dfrac{104}{7}00
s0s^01515

第一欄為

1,7,1047,15，1,\quad 7,\quad \frac{104}{7},\quad 15，

各項皆為正，沒有符號變化，因此右半平面極點數為 00。又因第一欄沒有零值或全零列，不存在虛軸上的極點。

所以所有極點皆位於左半平面，系統穩定。

（二）判定極點是否皆位於 s=−2s=-2 左側

令

z=s+2,s=z−2。z=s+2,\qquad s=z-2。

將 s=z−2s=z-2 代入特性方程式：

(z−2)3+7(z−2)2+17(z−2)+15=z3+z2+z+1。\begin{aligned} (z-2)^3+7(z-2)^2+17(z-2)+15 &=z^3+z^2+z+1。 \end{aligned}

因此變換後的特性方程式為

z3+z2+z+1=0。z^3+z^2+z+1=0。

建立 Routh 表：

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第 二 題20 分

考慮如下圖一之回授控制系統。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）試求出轉移函數（transfer function）Y(s)D(s)\dfrac{Y(s)}{D(s)}。

（二）若 β(s)=(s+2)\beta(s)=(s+2)、η(s)=(s+1)\eta(s)=(s+1)、α(s)=γ(s)=m=1\alpha(s)=\gamma(s)=m=1、n=0n=0，系統輸出 Y(s)Y(s) 能成功排除干擾訊號 D(s)=1skD(s)=\dfrac{1}{s^k}，試判定 kk 之最大值。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查方塊圖的閉迴路轉移函數，以及以最終值定理判斷干擾能否在穩態被排除。求 Y(s)/D(s)Y(s)/D(s) 時，令參考輸入 R(s)=0R(s)=0。

解題方法

令前向控制器、被控體與回授路徑分別為

C(s)=α(s)sm,P(s)=γ(s)snβ(s),H(s)=1η(s).C(s)=\frac{\alpha(s)}{s^m},\qquad P(s)=\frac{\gamma(s)}{s^n\beta(s)},\qquad H(s)=\frac{1}{\eta(s)}.

依圖中第一個加總點的負回授，以及第二個加總點的正向干擾輸入，有

Y(s)=P(s)[C(s)(R(s)−H(s)Y(s))+D(s)].Y(s)=P(s)\bigl[C(s)(R(s)-H(s)Y(s))+D(s)\bigr].

令 R(s)=0R(s)=0，整理得

Y(s)[1+P(s)C(s)H(s)]=P(s)D(s),Y(s)\bigl[1+P(s)C(s)H(s)\bigr]=P(s)D(s),

因此

Y(s)D(s)=P(s)1+P(s)C(s)H(s)=γ(s)smη(s)sm+nβ(s)η(s)+α(s)γ(s).\frac{Y(s)}{D(s)} =\frac{P(s)}{1+P(s)C(s)H(s)} =\boxed{\frac{\gamma(s)s^m\eta(s)} {s^{m+n}\beta(s)\eta(s)+\alpha(s)\gamma(s)}}.

代入題目條件判斷最大 kk

代入 β(s)=s+2\beta(s)=s+2、η(s)=s+1\eta(s)=s+1、α(s)=γ(s)=1\alpha(s)=\gamma(s)=1、m=1m=1、n=0n=0：

Y(s)D(s)=s(s+1)s(s+2)(s+1)+1=s(s+1)s3+3s2+2s+1.\frac{Y(s)}{D(s)} =\frac{s(s+1)}{s(s+2)(s+1)+1} =\frac{s(s+1)}{s^3+3s^2+2s+1}.
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第 三 題30 分

考慮如下圖二之回授控制系統。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）試求出此閉迴路系統之特性方程式（characteristic equation）。

（二）試運用根軌跡（Root Locus）法分析 kk 自 00 至 ∞\infty 之根軌跡，計算並標示 k=0k=0 時之出發角（departure angle）、k=∞k=\infty 時之到達角（arrival angle）、虛軸交點（imaginary axis crossing）、分離點（breakaway/break-in points）及其對應之 kk 值與座標。

（三）試繪出 kk 自 00 至 ∞\infty 之根軌跡並判定閉迴路系統穩定之 kk 值範圍。

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核心觀念

本題的參數 kk 位於回授方塊內，因此先由方塊圖寫出閉迴路特性方程式，再整理成根軌跡標準形式 1+kL0(s)=01+kL_0(s)=0。根軌跡從 k=0k=0 時的開迴路極點出發，隨 kk 增加而移動；k→∞k\to\infty 時，分支終止於開迴路零點或無限遠處。

（一）閉迴路特性方程式

由圖可讀出前向傳遞函數與回授傳遞函數為

G(s)=1s,H(s)=1s+k−1.G(s)=\frac{1}{s},\qquad H(s)=\frac{1}{s+k-1}.

負回授系統的特性方程式為 1+G(s)H(s)=01+G(s)H(s)=0，因此

1+1s(s+k−1)=0,1+\frac{1}{s(s+k-1)}=0,

整理得

s2+(k−1)s+1=0.\boxed{s^2+(k-1)s+1=0}.

（二）根軌跡與指定點

1. 根軌跡標準形式與極點、零點

將特性方程式改寫為

s2−s+1+ks=0⟹1+kss2−s+1=0.s^2-s+1+ks=0 \quad\Longrightarrow\quad 1+k\frac{s}{s^2-s+1}=0.

因此根軌跡的開迴路函數為

L0(s)=ss2−s+1.L_0(s)=\frac{s}{s^2-s+1}.

零點為 z=0z=0；極點為

p1,2=1±j32=12±j32.p_{1,2}=\frac{1\pm j\sqrt{3}}{2} =\frac12\pm j\frac{\sqrt3}{2}.

根軌跡有兩條分支：一條終止於有限零點 00，另一條終止於無限遠。實軸根軌跡位於 (−∞,0)(-\infty,0)。

2. k=0k=0 時的出發角

上半平面極點 p1=12+j32p_1=\frac12+j\frac{\sqrt3}{2} 的出發角，由角度條件計算：

θd=180∘+∠(p1−0)−∠(p1−p2)=180∘+60∘−90∘=150∘.\theta_d =180^\circ +\angle(p_1-0)-\angle(p_1-p_2) =180^\circ+60^\circ-90^\circ =\boxed{150^\circ}.

下半平面極點的出發角為其共軛對稱角：

−150∘（或 210∘）.\boxed{-150^\circ}\quad\text{（或 }210^\circ\text{）}.

3. k→∞k\to\infty 時的到達角與漸近線

有限零點只有 s=0s=0。令根趨近零點，特性式可寫成

k=−s2−s+1s=−s+1−1s.k=-\frac{s^2-s+1}{s}=-s+1-\frac1s.

當 k→∞k\to\infty 時，s∼−1/ks\sim-1/k，故分支由負實軸方向到達原點：

θa=180∘.\boxed{\theta_a=180^\circ}.

另一分支到達無限遠。因有兩個極點、一個零點，漸近線角度為

θq=(2q+1)180∘2−1=180∘,q=0,\theta_q=\frac{(2q+1)180^\circ}{2-1}=180^\circ,\qquad q=0,

漸近線重心為

σa=∑pi−∑zi2−1=1.\sigma_a=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{2-1}=1.
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第 四 題30 分

考慮如下圖三之回授控制系統。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）試繪出此閉迴路系統之波德圖（Bode plot）。

（二）試繪出此系統之奈奎斯特圖（Nyquist plot）。

（三）試運用奈奎斯特法則（Nyquist stability criterion），判定此系統之穩定度。

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核心觀念

圖三為單位負回授系統，前向傳遞函數為

G(s)=(1+1s+s)ks−2=k(s2+s+1)s(s−2).G(s)=\left(1+\frac{1}{s}+s\right)\frac{k}{s-2} =\frac{k(s^2+s+1)}{s(s-2)}.

因此迴路傳遞函數 L(s)=G(s)L(s)=G(s)，閉迴路傳遞函數為

T(s)=L(s)1+L(s)=k(s2+s+1)(1+k)s2+(k−2)s+k.T(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)} =\frac{k(s^2+s+1)}{(1+k)s^2+(k-2)s+k}.

波德圖可由頻率響應的大小與相位繪製；奈奎斯特圖則描繪 L(jω)L(j\omega)，用來判斷 1+L(s)=01+L(s)=0 的根是否位於右半平面。本題圖中未指定 kk 的數值，以下提供隨 kk 變化的曲線特徵與穩定範圍；一般增益討論先取 k>0k>0。

（一）波德圖

迴路傳遞函數的波德圖

將 s=jωs=j\omega 代入 L(s)L(s)：

L(jω)=k(1−ω2+jω)jω(−2+jω).L(j\omega) =\frac{k(1-\omega^2+j\omega)}{j\omega(-2+j\omega)}.

其大小與相位為

∣L(jω)∣=∣k∣ω4−ω2+1ωω2+4,|L(j\omega)| =\frac{|k|\sqrt{\omega^4-\omega^2+1}} {\omega\sqrt{\omega^2+4}}, ∠L(jω)=atan2⁡(ω,1−ω2)−π2−arg⁡(−2+jω).\angle L(j\omega) =\operatorname{atan2}(\omega,1-\omega^2) -\frac{\pi}{2}-\arg(-2+j\omega).

對 k>0k>0，低頻時 ∣L(jω)∣∼k/(2ω)|L(j\omega)|\sim k/(2\omega)，斜率為 −20-20 dB/dec；高頻時 ∣L(jω)∣→k|L(j\omega)|\to k，斜率趨近 00 dB/dec。零點二次因子 s2+s+1s^2+s+1 的自然頻率為 11 rad/s，阻尼比為 0.50.5；另有積分極點與右半平面極點 s=2s=2。相位應依上述精確式繪製，並留意右半平面極點造成的相位特徵。

閉迴路傳遞函數的波德圖

若題目所稱「此閉迴路系統之波德圖」是指輸入至輸出的閉迴路頻率響應，則使用 T(s)T(s)。令

D(jω)=k−(1+k)ω2+j(k−2)ω,D(j\omega)=k-(1+k)\omega^2+j(k-2)\omega,

可得

∣T(jω)∣=∣k∣ω4−ω2+1[k−(1+k)ω2]2+(k−2)2ω2,|T(j\omega)| = \frac{|k|\sqrt{\omega^4-\omega^2+1}} {\sqrt{[k-(1+k)\omega^2]^2+(k-2)^2\omega^2}}, ∠T(jω)=atan2⁡(ω,1−ω2)−atan2⁡((k−2)ω,  k−(1+k)ω2).\angle T(j\omega) = \operatorname{atan2}(\omega,1-\omega^2) -\operatorname{atan2}\big((k-2)\omega,\;k-(1+k)\omega^2\big).

因 kk 未給定，閉迴路波德曲線無法唯一確定；將所求 kk 代入上述式子，即可繪出幅頻與相頻曲線。判斷穩定性與繪製奈奎斯特圖時，使用迴路傳遞函數 L(s)L(s)。

（二）奈奎斯特圖

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