114 高普考高考二級 電力工程 電機機械 考古題詳解

114 年・高普考・高考二級・電力工程
試題代碼 電機機械

第 一 題25 分

一部 460 V460\ \mathrm{V}、60 Hz60\ \mathrm{Hz}、44 極、100100 馬力、Y 結線、中性點浮接之繞線式轉子三相感應電動機，其參照至定子側之正相序每相等效電路如圖一所示。

圖一之等效電路參數如下：

R1=R2=0.0423 ΩR_1=R_2=0.0423\ \Omega

X1=X2=0.190 ΩX_1=X_2=0.190\ \Omega

Xm=7.41 ΩX_m=7.41\ \Omega

其中，ss 為轉差率，VpV_p 為相電壓的正相序成分，IpI_p 為正相序電流。等效電路包含定子電阻 R1R_1、定子漏電抗 jX1jX_1、激磁電抗 jXmjX_m、轉子漏電抗 jX2jX_2、轉子電阻 R2/sR_2/s，以及正相序電壓 VpV_p 與正相序電流 IpI_p。

此電動機由一組三相不平衡電壓供電，如圖二所示，其中：

Van=287.3∠5.61∘ VV_{an}=287.3\angle 5.61^\circ\ \mathrm{V}

Vbn=259.6∠(−123.62∘) VV_{bn}=259.6\angle(-123.62^\circ)\ \mathrm{V}

Vcn=235.76∠127.09∘ VV_{cn}=235.76\angle127.09^\circ\ \mathrm{V}

電動機運轉於 1710 rpm1710\ \mathrm{rpm}，忽略鐵損及機械損失。

(一) 計算電源電壓的零、正、負相序電壓成分。（5 分）

(二) 繪出此電動機的負相序每相等效電路，並標示參數值。（4 分）

(三) 計算電動機的輸出轉矩及三相線電流 IaI_a、IbI_b、IcI_c 之值。（16 分）

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核心觀念

本題考查三相不平衡電壓的對稱分量法，以及感應電動機在正、負相序電源下的等效電路。

令 a=1∠120∘a=1\angle120^\circ，電壓對稱分量為

V0=Van+Vbn+Vcn3,V1=Van+aVbn+a2Vcn3,V2=Van+a2Vbn+aVcn3.V_0=\frac{V_{an}+V_{bn}+V_{cn}}{3},\qquad V_1=\frac{V_{an}+aV_{bn}+a^2V_{cn}}{3},\qquad V_2=\frac{V_{an}+a^2V_{bn}+aV_{cn}}{3}.

正相序轉差率為 ss；負相序磁場與轉子方向相反，轉子所見的轉差率為 2−s2-s。因此負相序等效電路中的轉子電阻為 R2/(2−s)R_2/(2-s)。

電動機為中性點浮接的 Y 結線，零相序電流無通路，故 I0=0I_0=0。三相線電流由正、負相序電流合成：

Ia=I1+I2,Ib=a2I1+aI2,Ic=aI1+a2I2.I_a=I_1+I_2,\qquad I_b=a^2I_1+aI_2,\qquad I_c=aI_1+a^2I_2.

（一）電壓對稱分量

依題給相電壓計算：

V0≈0.07∠(−7∘) V,V_0\approx 0.07\angle(-7^\circ)\ \mathrm{V}, V1≈260.0∠3.0∘ V,V2≈30.0∠29.0∘ V.V_1\approx 260.0\angle3.0^\circ\ \mathrm{V}, \qquad V_2\approx 30.0\angle29.0^\circ\ \mathrm{V}.

零相序電壓極小，可視為題目數值取位造成的近零值。正相序電壓約為 260 V260\ \mathrm{V}，負相序電壓約為 30 V30\ \mathrm{V}。

（二）負相序每相等效電路

轉速為 1710 rpm1710\ \mathrm{rpm}，同步轉速為

ns=120fP=120(60)4=1800 rpm,n_s=\frac{120f}{P}=\frac{120(60)}{4}=1800\ \mathrm{rpm},

所以

s=1800−17101800=0.05,2−s=1.95.s=\frac{1800-1710}{1800}=0.05,\qquad 2-s=1.95.

負相序每相等效電路與正相序電路的連接方式相同：電源 V2V_2 串接定子阻抗 R1+jX1R_1+jX_1，其後並聯激磁電抗 jXmjX_m 與轉子支路 R2/(2−s)+jX2R_2/(2-s)+jX_2。參數為

R1=0.0423 Ω,X1=0.190 Ω,Xm=7.41 Ω,X2=0.190 Ω,R_1=0.0423\ \Omega,\quad X_1=0.190\ \Omega,\quad X_m=7.41\ \Omega,\quad X_2=0.190\ \Omega, R22−s=0.04231.95=0.02169 Ω.\frac{R_2}{2-s}=\frac{0.0423}{1.95}=0.02169\ \Omega.

示意如下：

 jX1 jX2
 V2 ── R1 ────────┬───────────┬── R2/(2-s) ──┐
 │ │ │
 jXm │ │
 │ │ │
 ─────────────────┴───────────┴──────────────┘

（三）輸出轉矩與三相線電流

1. 正、負相序等效阻抗與電流

正相序轉子支路為

Zr1=R2s+jX2=0.04230.05+j0.190=0.846+j0.190 Ω.Z_{r1}=\frac{R_2}{s}+jX_2 =\frac{0.0423}{0.05}+j0.190 =0.846+j0.190\ \Omega.

正相序輸入阻抗為

Z1=R1+jX1+[jXm∥(R2s+jX2)]≈0.837+j0.464 Ω.Z_1=R_1+jX_1+ \left[jX_m\parallel\left(\frac{R_2}{s}+jX_2\right)\right] \approx 0.837+j0.464\ \Omega.

因此正相序電流為

I1=V1Z1≈271.7∠(−26.0∘) A.I_1=\frac{V_1}{Z_1} \approx 271.7\angle(-26.0^\circ)\ \mathrm{A}.

負相序轉子支路為

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第 二 題25 分

一部 10 kVA10\ \mathrm{kVA}、2400/240 V2400/240\ \mathrm{V}、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 之單相配電變壓器，在額定電壓下之鐵心損失為 105 W105\ \mathrm{W}，在半載時之銅損為 65 W65\ \mathrm{W}。

(一) 此變壓器供應功率因數 0.80.8 落後的額定負載時，試求其效率。（5 分）

(二) 若負載的容量可任意調整，但是功率因數保持 0.80.8 落後不變，試求變壓器在最高效率時的負載容量標么值，並求此最高效率之值。（10 分）

(三) 若將此變壓器連接成 2640/2400 V2640/2400\ \mathrm{V} 之自耦變壓器，計算此自耦變壓器之容量及供應功率因數 0.80.8 落後額定負載時之效率。（10 分）

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核心觀念

本題考查變壓器效率、最高效率條件，以及兩繞組變壓器改接自耦變壓器時的容量變化。

變壓器效率為輸出功率除以輸入功率：

η=PoutPout+P鐵損+P銅損\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{out}}+P_{\text{鐵損}}+P_{\text{銅損}}}

額定鐵損視為固定；銅損則與負載電流平方成正比。令負載容量標么值為 xx，則：

Pcu(x)=x2Pcu,FLP_{\text{cu}}(x)=x^2P_{\text{cu,FL}}

其中 Pcu,FLP_{\text{cu,FL}} 為滿載銅損。最高效率發生於鐵損等於銅損，即 P鐵損=PcuP_{\text{鐵損}}=P_{\text{cu}}。

解題方法與計算

（一）額定負載、功率因數 0.80.8 落後時的效率

半載銅損為 65 W65\ \mathrm{W}，因此滿載銅損為：

Pcu,FL=65(0.5)2=260 WP_{\text{cu,FL}}=\frac{65}{(0.5)^2}=260\ \mathrm{W}

額定負載輸出視在功率為 10 kVA10\ \mathrm{kVA}，功率因數為 0.80.8，故實功率輸出：

Pout=10×0.8=8 kWP_{\text{out}}=10\times 0.8=8\ \mathrm{kW}

額定負載總損失為：

Ploss=105+260=365 WP_{\text{loss}}=105+260=365\ \mathrm{W}

所以效率為：

η=80008000+365=0.9564\eta=\frac{8000}{8000+365}=0.9564 η≈95.64%\boxed{\eta\approx95.64\%}

（二）最高效率時的負載容量標么值及最高效率

令負載容量標么值為 xx。銅損為 260x2 W260x^2\ \mathrm{W}。最高效率條件為鐵損等於銅損：

260x2=105260x^2=105 x=105260≈0.6357x=\sqrt{\frac{105}{260}}\approx0.6357

因此最高效率時的負載容量標么值約為 0.6360.636，對應負載容量約為：

10×0.6357=6.357 kVA10\times0.6357=6.357\ \mathrm{kVA}

此時輸出實功率為：

Pout=10(0.6357)(0.8)≈5.086 kWP_{\text{out}}=10(0.6357)(0.8)\approx5.086\ \mathrm{kW}

總損失為 105+105=210 W105+105=210\ \mathrm{W}，故：

ηmax⁡=50865086+210≈0.9603\eta_{\max}=\frac{5086}{5086+210}\approx0.9603 x≈0.6357 pu,ηmax⁡≈96.03%\boxed{x\approx0.6357\ \mathrm{pu},\qquad \eta_{\max}\approx96.03\%}
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第 三 題25 分

一部額定 6 kW6\ \mathrm{kW}、120 V120\ \mathrm{V}、1200 rpm1200\ \mathrm{rpm} 之直流外激式（他激式）發電機，運轉於 1200 rpm1200\ \mathrm{rpm} 時，磁場電流 IfI_f 及電樞電壓 EaE_a 之磁化特性如下表所示：

If (A)I_f\ (\mathrm{A})0.00.00.10.10.20.20.30.30.40.40.50.50.60.60.80.81.01.01.21.2
Ea (V)E_a\ (\mathrm{V})5520204040606079799393102102114114120120125125

此發電機之電樞電阻 Ra=0.2 ΩR_a=0.2\ \Omega，在轉速 1200 rpm1200\ \mathrm{rpm} 時，轉動損失為 400 W400\ \mathrm{W}，且此轉動損失正比於轉速，忽略電樞反應。

(一) 繪出此發電機之等效電路圖，標示出電樞電壓 EaE_a、端電壓 VsV_s、電樞電流 IaI_a 及磁場電流 IfI_f。（5 分）

(二) 若此發電機之轉速為 1200 rpm1200\ \mathrm{rpm}，調整磁場電流至 If=1.0 AI_f=1.0\ \mathrm{A}，當此發電機輸出額定電流時，計算發電機的端電壓 VsV_s 及效率 η\eta。（10 分）

(三) 若此發電機之轉速為 1500 rpm1500\ \mathrm{rpm}，磁場電流及輸出電流均不變，重新計算發電機的端電壓 VsV_s 及效率 η\eta。（10 分）

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核心觀念

本題考直流他激式發電機的電樞等效電路、磁化曲線與轉速對感應電勢的影響。發電機的電壓關係為

Vs=Ea−IaRaV_s=E_a-I_aR_a

其中 IaI_a 是電樞電流，方向由發電機流向負載。額定電流為

I額=6 000120=50 AI_{\text{額}}=\frac{6\,000}{120}=50\ \mathrm{A}

轉速改變、磁場電流維持不變時，磁通近似不變，因此感應電勢與轉速成正比：

Ea∝n,Ea2=Ea1n2n1E_a\propto n,\qquad E_{a2}=E_{a1}\frac{n_2}{n_1}

效率以端電功率除以機械輸入功率計算；機械輸入功率等於端電輸出功率加上電樞銅損與轉動損失。題目未給他激磁場電源的功率資料，故依一般本題計算方式，不計入外部磁場電源功率。

（一）等效電路

電樞等效電路中，感應電勢 EaE_a 串聯電樞電阻 RaR_a，提供端電壓 VsV_s 與電樞電流 IaI_a；磁場由獨立電源供電，磁場電流為 IfI_f。

磁場獨立電源 電樞與負載
 + ─── 磁場繞組 ─── − Ia →
 If ┌───────────┐
 │ │
 + Ea −── Ra ────┤ Vs
 │ │
 └───────────┘
 負載

（二）轉速 1200 rpm1200\ \mathrm{rpm}、If=1.0 AI_f=1.0\ \mathrm{A}

由磁化特性表，1200 rpm1200\ \mathrm{rpm}、If=1.0 AI_f=1.0\ \mathrm{A} 時，Ea=120 VE_a=120\ \mathrm{V}。輸出額定電流時，Ia=50 AI_a=50\ \mathrm{A}，所以

Vs=Ea−IaRa=120−(50)(0.2)=110 VV_s=E_a-I_aR_a =120-(50)(0.2) =110\ \mathrm{V}

端電輸出功率為

Pout=VsIa=(110)(50)=5 500 WP_{\text{out}}=V_sI_a=(110)(50)=5\,500\ \mathrm{W}

電樞銅損與轉動損失分別為

Pcu=Ia2Ra=(50)2(0.2)=500 WP_{\text{cu}}=I_a^2R_a=(50)^2(0.2)=500\ \mathrm{W}
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第 四 題25 分

一部三相同步發電機供電給一部三相同步電動機，如圖三所示。兩部電機的額定如下：

同步發電機：

  • 三相、1 MVA1\ \mathrm{MVA}、2300 V2300\ \mathrm{V}、60 Hz60\ \mathrm{Hz}、功率因數 0.850.85 落後、Y 接。
  • 同步電抗 Xsg=0.9 p.u.X_{sg}=0.9\ \mathrm{p.u.}

同步電動機：

  • 三相、500 kW500\ \mathrm{kW}、2300 V2300\ \mathrm{V}、60 Hz60\ \mathrm{Hz}、功率因數 0.850.85 超前、Y 接。
  • 同步電抗 Xsm=0.8 p.u.X_{sm}=0.8\ \mathrm{p.u.}

發電機配備有電壓調整器，使其端電壓 VtV_t 維持在額定值。電動機輸出之機械功率為 500500 馬力（373 kW373\ \mathrm{kW}），且調整激磁電流使電動機工作在單位功率因數。電機的電樞電阻及一切損失均可忽略。

(一) 求此兩部電機同步電抗的歐姆值。（5 分）

(二) 求此兩部電機的激勵電壓 EfgE_{fg} 及 EfmE_{fm}。（10 分）

(三) 繪出包含激勵電壓 EfgE_{fg}、EfmE_{fm}、端電壓 VtV_t、電樞電流 IaI_a 之相量圖。（10 分）

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核心觀念

本題考同步機的標麼值同步電抗換算、同步發電機與同步電動機的相量方程式，以及功率因數為 1 時電流與端電壓的相位關係。激勵電壓以每相電壓表示。

三相阻抗基準為

Zbase=VLL,rated2S3ϕ,ratedZ_{\mathrm{base}}=\frac{V_{LL,\mathrm{rated}}^2}{S_{\mathrm{3\phi,rated}}}

忽略電樞電阻與所有損失時，發電機和電動機的相量方程式分別為

E‾fg=V‾t+jXsgI‾a,E‾fm=V‾t−jXsmI‾a\underline E_{fg}=\underline V_t+jX_{sg}\underline I_a,\qquad \underline E_{fm}=\underline V_t-jX_{sm}\underline I_a

解題方法與計算

（一）換算同步電抗的歐姆值

同步發電機額定容量為 1 MVA1\ \mathrm{MVA}，因此

Xsg=0.9(230021 000 000)=4.761 ΩX_{sg}=0.9\left(\frac{2300^2}{1\,000\,000}\right) =\boxed{4.761\ \Omega}

同步電動機額定輸出為 500 kW500\ \mathrm{kW}，額定功率因數為 0.850.85。忽略損失時，額定視在功率為

Sm,rated=5000.85=588.24 kVAS_{m,\mathrm{rated}}=\frac{500}{0.85}=588.24\ \mathrm{kVA}

故

Xsm=0.8(23002588 240)=7.194 ΩX_{sm}=0.8\left(\frac{2300^2}{588\,240}\right) =\boxed{7.194\ \Omega}

（二）求激勵電壓

電動機機械輸出為 373 kW373\ \mathrm{kW}，忽略損失後，電動機吸收的電功率也是 373 kW373\ \mathrm{kW}。電動機調整為單位功率因數，故電樞電流與端電壓同相；發電機供應相同的電流，整個系統的功率因數亦為 1。

每相端電壓與電樞電流為

Vt,ϕ=23003=1327.9 VV_{t,\phi}=\frac{2300}{\sqrt 3}=1327.9\ \mathrm{V}
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