113 高普考高考二級 電力工程 電機機械 考古題詳解

113 年・高普考・高考二級・電力工程
試題代碼 電機機械

第 一 題25 分

下圖為二極同步機之橫截面，其中定子（stator）之軸向長度（axial length）為 L=2.8 mL=2.8\ \mathrm{m}，共安排了三相線圈。每相定子繞組匝數為 Nph=33N_{\mathrm{ph}}=33，繞組係數（winding factor）為 KW=0.933K_W=0.933。又該二極轉子（rotor）半徑為 r=24 cmr=24\ \mathrm{cm}，其上纏繞 N=20N=20 匝線圈，並通入直流 I=45 AI=45\ \mathrm{A}。轉子兩邊凸極之極面（pole-face）與定子鐵心之間的氣隙（air gap）寬度為 lg=2 cml_g=2\ \mathrm{cm}。

已知自由空間（free space）之導磁係數（permeability）μ0=4π×10−7 H/m\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}，假設此同步機之鐵心（定子、轉子）均為理想導磁性材料，試計算：

(一) 氣隙於圖中轉子中軸處（θ=0\theta=0）之磁通密度 Bmax⁡B_{\max} 為若干特斯拉（T）。（7 分）

(二) 承上，令該轉子繞組於機體氣隙中產生了分布磁場 Bmax⁡cos⁡θB_{\max}\cos\theta（T），試就每個磁極範圍（−π≤θ≤π-\pi\leq\theta\leq\pi）計算其總磁通（flux per pole, ΦP\Phi_P）為若干韋伯（Wb）。（8 分）

(三) 今以 3600 rpm3600\ \mathrm{rpm} 帶動轉子旋轉，且該同步機定子繞組為 Y 接，試求其線電壓（line-to-line voltage）之有效值（root-mean-square, V）。（10 分）

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核心觀念

本題考查二極同步機的氣隙磁場、每極磁通，以及由磁通計算感應電壓：

  • 假設定、轉子鐵心磁導率無限大，磁路磁阻只計兩側氣隙。
  • 磁通密度由安培定律求得；每極磁通由氣隙磁場分布積分求得。
  • 每相感應電壓使用 Eph=4.44fNphKWΦPE_{\mathrm{ph}}=4.44fN_{\mathrm{ph}}K_W\Phi_P；Y 接線電壓為 3Eph\sqrt{3}E_{\mathrm{ph}}。

解題方法

（一）求中軸處氣隙磁通密度

磁路有兩個氣隙串聯，總磁動勢降為 NINI。由安培定律：

NI=2Hglg,Bmax⁡=μ0HgNI=2H_gl_g,\qquad B_{\max}=\mu_0H_g

因此：

Bmax⁡=μ0NI2lg=(4π×10−7)(20)(45)2(0.02)=2.827×10−2 TB_{\max}=\frac{\mu_0NI}{2l_g} =\frac{(4\pi\times10^{-7})(20)(45)}{2(0.02)} =2.827\times10^{-2}\ \mathrm{T}

（二）求每極磁通

依原頁掃描圖，題目印的是每個磁極範圍 −π2≤θ≤π2-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}。氣隙面積微分為 dA=Lr dθdA=Lr\,d\theta，所以：

ΦP=∫−π/2π/2Bmax⁡cos⁡θ Lr dθ=Bmax⁡Lr[sin⁡θ]−π/2π/2=2Bmax⁡Lr\Phi_P=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}B_{\max}\cos\theta\,Lr\,d\theta =B_{\max}Lr\left[\sin\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} =2B_{\max}Lr

代入數值：

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第 二 題25 分

考慮一永磁式直流馬達，其電樞電阻值為 Ra=0.5 ΩR_a=0.5\ \Omega。今給予 100 V100\ \mathrm{V} 直流電壓源使帶動機械負載運轉，考慮以下兩種操作狀況：

操作狀況 (i)：當負載力矩為 10 N⋅m10\ \mathrm{N\cdot m} 時，得其電樞電流為 20 A20\ \mathrm{A}，且馬達轉速為 n1n_1。

操作狀況 (ii)：將負載力矩提升為 20 N⋅m20\ \mathrm{N\cdot m}，馬達轉速變為 n2n_2。

(一) 試計算狀況 (i) 之馬達轉速 n1n_1。（8 分）

(二) 試計算狀況 (ii) 之電樞電流值。（5 分）

(三) 試計算 n1n_1 與 n2n_2 之關係。（6 分）

(四) 分別計算這兩種操作狀況 (i) 與 (ii) 之馬達效率。（6 分）

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核心觀念

永磁式直流馬達的磁通 ϕ\phi 固定，穩態時適用電樞電壓方程式與電磁轉矩公式：

Va=Ea+IaRa,Ea=Kϕω,Te=KϕIaV_a=E_a+I_aR_a,\qquad E_a=K\phi\omega,\qquad T_e=K\phi I_a

其中 EaE_a 為反電動勢，ω\omega 為角速度，TeT_e 為電磁轉矩。忽略摩擦、風阻等機械損失時，馬達輸出轉矩等於負載轉矩；效率則以機械輸出功率除以電氣輸入功率計算。

解題方法

（一）計算狀況 (i) 的轉速 n1n_1

狀況 (i) 的反電動勢為

Ea1=Va−Ia1Ra=100−(20)(0.5)=90 VE_{a1}=V_a-I_{a1}R_a =100-(20)(0.5)=90\ \mathrm{V}

由 Ea=KϕωE_a=K\phi\omega 與 Te=KϕIaT_e=K\phi I_a，可消去固定的 KϕK\phi：

ω1=Ea1Kϕ=Ea1Ia1Te1=(90)(20)10=180 rad/s\omega_1=\frac{E_{a1}}{K\phi} =\frac{E_{a1}I_{a1}}{T_{e1}} =\frac{(90)(20)}{10} =180\ \mathrm{rad/s}

換算為每分鐘轉數：

n1=ω1602π=180602π≈1719 rpmn_1=\omega_1\frac{60}{2\pi} =180\frac{60}{2\pi} \approx 1719\ \mathrm{rpm}

（二）計算狀況 (ii) 的電樞電流

永磁式馬達磁通固定，電磁轉矩與電樞電流成正比：

Te2Te1=Ia2Ia1\frac{T_{e2}}{T_{e1}}=\frac{I_{a2}}{I_{a1}}

因此

Ia2=Ia1Te2Te1=202010=40 AI_{a2}=I_{a1}\frac{T_{e2}}{T_{e1}} =20\frac{20}{10} =40\ \mathrm{A}

（三）計算 n1n_1 與 n2n_2 的關係

狀況 (ii) 的反電動勢為

Ea2=Va−Ia2Ra=100−(40)(0.5)=80 VE_{a2}=V_a-I_{a2}R_a =100-(40)(0.5)=80\ \mathrm{V}

因為磁通固定，轉速與反電動勢成正比，所以

n2n1=Ea2Ea1=8090=89\frac{n_2}{n_1}=\frac{E_{a2}}{E_{a1}} =\frac{80}{90}=\frac{8}{9}

故

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第 三 題25 分

今有三相、Y 接、12 MVA12\ \mathrm{MVA}、12 kV12\ \mathrm{kV}、二極、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 之同步發電機一具，其電樞電阻與同步阻抗分別為 Ra=0.015 puR_a=0.015\ \mathrm{pu}、Xs=0.85 puX_s=0.85\ \mathrm{pu}。今以蒸氣渦輪機（steam turbine）帶動運轉發電，於額定負載的情況下，已知其激磁電壓（excitation voltage）值為 Ef=1.626 puE_f=1.626\ \mathrm{pu}，且功率角（power angle）為 δ=26∘\delta=26^\circ。試問：

(一) 此發電機之功率因數（power factor）為何？（10 分）

(二) 若發電機之旋轉耗損（rotational loss）為 200 kW200\ \mathrm{kW}，則該蒸氣渦輪機帶動此同步發電機運轉之轉矩為若干？（15 分）

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核心觀念

同步發電機接上負載時，每相等效電路為

E‾f=V‾t+(Ra+jXs)I‾a\underline E_f=\underline V_t+(R_a+jX_s)\underline I_a

本題採用端電壓 V‾t\underline V_t 為相量參考，功率角 δ\delta 是內部激磁電壓 E‾f\underline E_f 超前端電壓的角度。由已知的 E‾f\underline E_f 與同步阻抗，可先求電樞電流，再由電流相角判定功率因數。

轉矩則由機械輸入功率除以同步角速度求得。額定負載表示發電機輸出額定視在功率 12 MVA12\ \mathrm{MVA}；加上旋轉耗損後，即為渦輪機提供的機械功率。

解題方法

取 V‾t=1∠0∘ pu\underline V_t=1\angle 0^\circ\ \mathrm{pu}，並令 E‾f=1.626∠26∘ pu\underline E_f=1.626\angle 26^\circ\ \mathrm{pu}。由發電機相量方程式：

I‾a=E‾f−V‾tRa+jXs=1.626∠26∘−10.015+j0.85\underline I_a =\frac{\underline E_f-\underline V_t}{R_a+jX_s} =\frac{1.626\angle26^\circ-1}{0.015+j0.85}

先將分子改寫成直角座標：

E‾f−V‾t=1.626(cos⁡26∘+jsin⁡26∘)−1≈0.4625+j0.7129\underline E_f-\underline V_t =1.626(\cos26^\circ+j\sin26^\circ)-1 \approx 0.4625+j0.7129

因此

I‾a≈0.4625+j0.71290.015+j0.85≈0.858−j0.527=1.007∠(−31.6∘) pu\underline I_a \approx \frac{0.4625+j0.7129}{0.015+j0.85} \approx 0.858-j0.527 =1.007\angle(-31.6^\circ)\ \mathrm{pu}

電流落後端電壓約 31.6∘31.6^\circ，所以功率因數為

pf=cos⁡31.6∘≈0.852\mathrm{pf}=\cos31.6^\circ\approx 0.852

方向為落後。

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第 四 題25 分

某三相、線電壓 460 V460\ \mathrm{V}、60 Hz60\ \mathrm{Hz}、六極、繞線式轉子之感應電動機，定子與轉子的匝數比為 1:11:1，等效電路參數為：

R1=0.25 ΩR_1=0.25\ \Omega，R2=0.2 ΩR_2=0.2\ \Omega，X1=X2=0.5 ΩX_1=X_2=0.5\ \Omega，Xm=30 ΩX_m=30\ \Omega。

當無外加轉子電阻時，該電動機帶動一個 100 N⋅m100\ \mathrm{N\cdot m} 固定負載，且以 1140 rpm1140\ \mathrm{rpm} 之轉速運轉。在固定負載的前提下，欲利用外加轉子電阻的方式，來將轉速降為 1000 rpm1000\ \mathrm{rpm}。不計感應機之機械損失，試問，外加之轉子電阻值應為若干？（25 分）

提示：

T=1ωs[3V1,eq2(R2s)(R1,eq+R2s)2+(X1,eq+X2)2]T=\frac{1}{\omega_s} \left[ \frac{3V_{1,\mathrm{eq}}^2\left(\frac{R_2}{s}\right)} {\left(R_{1,\mathrm{eq}}+\frac{R_2}{s}\right)^2+\left(X_{1,\mathrm{eq}}+X_2\right)^2} \right]

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核心觀念

本題考感應電動機以外加轉子電阻控制轉速。負載轉矩固定為 100 N⋅m100\ \mathrm{N\cdot m}，因此在兩種轉速下，電磁轉矩都須等於負載轉矩。

六極、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 感應電動機的同步轉速為

ns=120fP=120×606=1200 rpm.n_s=\frac{120f}{P} =\frac{120\times60}{6} =1200\ \mathrm{rpm}.

轉差率定義為

s=ns−nrns.s=\frac{n_s-n_r}{n_s}.

外加轉子電阻會增加轉子等效電阻，改變轉差率；計算轉矩時，題目所給公式中的 R2R_2 應採用「轉子總電阻」，即原轉子電阻加上外加電阻。

解題方法

題目已給轉矩公式，先由已知無外加電阻時的運轉點求出等效電路的戴維寧參數，再利用目標轉速對應的轉差率求轉子總電阻。

定子與轉子匝數比為 1:11:1，故轉子電阻可直接以定子側等效電路的歐姆值代入。

每相定子電壓為

V1=4603 V.V_1=\frac{460}{\sqrt{3}}\ \mathrm{V}.

將定子漏電抗 X1X_1 與磁化電抗 XmX_m 作戴維寧等效：

V1,eq=V1jXmR1+jX1+jXm,V_{1,\mathrm{eq}} =V_1\frac{jX_m}{R_1+jX_1+jX_m},

因此其大小平方為

∣V1,eq∣2=V12Xm2R12+(X1+Xm)2.|V_{1,\mathrm{eq}}|^2 =V_1^2\frac{X_m^2}{R_1^2+(X_1+X_m)^2}.

戴維寧阻抗為

Z1,eq=(R1+jX1)∥jXm=R1,eq+jX1,eq.Z_{1,\mathrm{eq}} =(R_1+jX_1)\parallel jX_m =R_{1,\mathrm{eq}}+jX_{1,\mathrm{eq}}.

代入參數：

R1,eq=R1Xm2R12+(X1+Xm)2≈0.2420 Ω,R_{1,\mathrm{eq}} =\frac{R_1X_m^2}{R_1^2+(X_1+X_m)^2} \approx0.2420\ \Omega, X1,eq=Xm[R12+X1(X1+Xm)]R12+(X1+Xm)2≈0.4920 Ω.X_{1,\mathrm{eq}} =\frac{X_m\left[R_1^2+X_1(X_1+X_m)\right]} {R_1^2+(X_1+X_m)^2} \approx0.4920\ \Omega.

所以

X1,eq+X2≈0.9920 Ω,∣V1,eq∣2≈25,312.1 V2.X_{1,\mathrm{eq}}+X_2\approx0.9920\ \Omega, \qquad |V_{1,\mathrm{eq}}|^2\approx 25{,}312.1\ \mathrm{V^2}.

同步角速度為

ωs=2πns60=2π(1200)60=40π rad/s.\omega_s=\frac{2\pi n_s}{60} =\frac{2\pi(1200)}{60} =40\pi\ \mathrm{rad/s}.
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