113 高普考高考二級 電力工程 電力系統 考古題詳解

113 年・高普考・高考二級・電力工程
試題代碼 電力系統

第 一 題

考慮本島與離島間的三相交流 60 Hz 電力系統連接方案，計劃使用一條 61 公里的三相交流海底電纜。海底電纜之額定電壓為每相 230 kV，電性參數如下：

R=0.0402 Ω/kmR=0.0402\ \Omega/\mathrm{km}、L=0.416 mH/kmL=0.416\ \mathrm{mH}/\mathrm{km}、C=0.166 μF/kmC=0.166\ \mu\mathrm{F}/\mathrm{km}。

假設 VsV_s 表示為送電端的相電壓，VrV_r 為受電端的相電壓，IsI_s 為送電端的相電流，IrI_r 為受電端的相電流，ZZ 是海底電纜之相阻抗。

(一) 因該海底電纜屬於中等距離傳輸線路，請繪出此三相交流海底電纜之等效電路模型。（6 分）

(二) 假設受電端相電壓 VrV_r 與受電端相電流 IrI_r 為已知，請將送電端相電壓 VsV_s 與送電端相電流 IsI_s 表示為 VrV_r 與 IrI_r 之解析式。（6 分）

(三) 假設受電端沒有併入任何負載，為無載（No Load）狀態下。試求出 Vr/VsV_r/V_s。（6 分）

(四) 假設受電端沒有併入任何負載，為無載（No Load）狀態下，又假設送電端的相電壓 VsV_s 為 1.01.0 標么（p.u.），而受電端的相電壓 VrV_r 也要保持於 1.01.0 p.u.，計劃於受電端，加裝進相電容補償器（Shunt Reactor）。請計算進相電容補償器之容量與所補償之無效功率。（8 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查中等距離傳輸線的標稱 π\pi 等效電路、傳輸線 ABCD 參數，以及無載時的充電效應與受端並聯電抗器補償。

採每相分析。電纜總長 l=61 kml=61\ \mathrm{km}，每相總串聯阻抗與並聯導納為

Z=(R+jωL)l,Y=jωCl,ω=2π(60)Z=(R+j\omega L)l,\qquad Y=j\omega Cl,\qquad \omega=2\pi(60)

其中 YY 平分配置於線路兩端。電流方向採由送電端流向受電端。

（一）標稱 π\pi 等效電路

中等距離線路採標稱 π\pi 模型：總串聯阻抗 ZZ 位於中間，總並聯導納 YY 平分為兩個 Y/2Y/2，分別接在線路兩端與中性點之間。

 Is → → Ir
 Vs o───┬─────── Z ───────┬──────o Vr
 │ │
 Y/2 Y/2
 │ │
 ─┴─ ─┴─
 中性點 中性點

各相總參數為

Z=61(0.0402+jω(0.416×10−3))=2.4522+j9.5665 ΩZ=61\left(0.0402+j\omega(0.416\times10^{-3})\right) =2.4522+j9.5665\ \Omega Y=jω(0.166×10−6)(61)=j0.00381741 SY=j\omega(0.166\times10^{-6})(61) =j0.00381741\ \mathrm{S}

（二）以 VrV_r、IrI_r 表示 VsV_s、IsI_s

標稱 π\pi 模型的傳輸線方程為

[VsIs]=[ABCA][VrIr]\begin{bmatrix}V_s\\ I_s\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A&B\\ C&A\end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_r\\ I_r\end{bmatrix}

其中

A=1+ZY2,B=Z,C=Y(1+ZY4)A=1+\frac{ZY}{2},\qquad B=Z,\qquad C=Y\left(1+\frac{ZY}{4}\right)

因此

Vs=(1+ZY2)Vr+ZIr\boxed{V_s=\left(1+\frac{ZY}{2}\right)V_r+ZI_r} Is=Y(1+ZY4)Vr+(1+ZY2)Ir\boxed{I_s=Y\left(1+\frac{ZY}{4}\right)V_r+ \left(1+\frac{ZY}{2}\right)I_r}

（三）無載時的 Vr/VsV_r/V_s

無載表示受端沒有負載電流，故 Ir=0I_r=0。由電壓方程得

Vs=AVr⟹VrVs=1A=11+ZY/2V_s=AV_r \quad\Longrightarrow\quad \frac{V_r}{V_s}=\frac{1}{A} =\frac{1}{1+ZY/2}

代入 Z=2.4522+j9.5665 ΩZ=2.4522+j9.5665\ \Omega、Y=j0.00381741 SY=j0.00381741\ \mathrm{S}：

A=1+ZY2=0.981740+j0.004681A=1+\frac{ZY}{2} =0.981740+j0.004681
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題

考慮圖一所示的電力系統，假設在電動機 MM 端，於發生故障前之電壓為 1.0∠0∘1.0\angle 0^\circ p.u.。發電機 GG 與電動機 MM 的次暫態（Sub-Transient）電抗值均為 0.070.07 p.u.。負載電流 ILI_L 為 0.8+j0.50.8+j0.5 p.u.。傳輸線之電抗 X12X_{12} 為 0.090.09 p.u.。

假設於 FF 點發生三相接地故障，請計算以下物理量：

(一) 發電機 GG 之次暫態內電壓（Internal Voltage）。（5 分）

(二) 由發電機 GG 貢獻之故障電流。（5 分）

(三) 由電動機 MM 貢獻之故障電流。（5 分）

(四) 故障點之總故障電流。（5 分）

(五) 故障點之戴維寧（Thévenin）等效阻抗。（5 分）

【圖一】 系統配置為：匯流排 1 連接發電機 GG，匯流排 2 連接電動機 MM，兩匯流排之間透過傳輸線連接；故障點 FF 位於匯流排 2 端。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

三相接地故障為平衡故障，只需使用正序等效電路。故障前先依負載電流方向求出兩端電壓，再求發電機與電動機的次暫態內電壓；故障後，分別以各電源內電壓除以至故障點的次暫態電抗，求出兩者的故障電流貢獻。

以下以故障電流「流向故障點」為正，且假設為金屬性（零阻抗）故障。

解題方法與計算

題目給定受電端（匯流排 2）故障前電壓及負載電流：

V2=1∠0∘ p.u.,IL=0.8+j0.5 p.u.V_2=1\angle 0^\circ\ \text{p.u.}, \qquad I_L=0.8+j0.5\ \text{p.u.}

電流方向為匯流排 1 流向匯流排 2。傳輸線電抗為 j0.09j0.09 p.u.，因此：

V1=V2+jX12IL=1+j0.09(0.8+j0.5)=0.955+j0.072 p.u.V_1=V_2+jX_{12}I_L =1+j0.09(0.8+j0.5) =0.955+j0.072\ \text{p.u.}

（一）發電機 GG 的次暫態內電壓

發電機內電壓等於端電壓加上次暫態電抗上的壓降：

EG′′=V1+jXG′′ILE_G''=V_1+jX_G''I_L EG′′=(0.955+j0.072)+j0.07(0.8+j0.5)=0.920+j0.128 p.u.E_G''=(0.955+j0.072)+j0.07(0.8+j0.5) =\boxed{0.920+j0.128\ \text{p.u.}}

約為 0.929∠7.91∘0.929\angle 7.91^\circ p.u.

（二）發電機 GG 貢獻的故障電流

從發電機內電壓至故障點，電抗包含發電機次暫態電抗與傳輸線電抗：

IF,G=EG′′j(XG′′+X12)=0.920+j0.128j(0.07+0.09)I_{F,G}=\frac{E_G''}{j(X_G''+X_{12})} =\frac{0.920+j0.128}{j(0.07+0.09)} IF,G=0.800−j5.750 p.u.\boxed{I_{F,G}=0.800-j5.750\ \text{p.u.}}

（三）電動機 MM 貢獻的故障電流

電動機的負載電流方向是流入電動機，因此其內電壓為端電壓減去電抗壓降：

EM′′=V2−jXM′′ILE_M''=V_2-jX_M''I_L EM′′=1−j0.07(0.8+j0.5)=1.035−j0.056 p.u.E_M''=1-j0.07(0.8+j0.5) =1.035-j0.056\ \text{p.u.}

電動機與故障點位於同一匯流排，故兩者之間只有電動機次暫態電抗：

IF,M=EM′′jXM′′=1.035−j0.056j0.07I_{F,M}=\frac{E_M''}{jX_M''} =\frac{1.035-j0.056}{j0.07}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題

考慮有兩化石燃料發電機組之電力系統經濟調度。此二發電機組的運轉成本可表示如下：

C1=10P1+0.008P12($/小時)C_1=10P_1+0.008P_1^2\quad(\$/\mathrm{小時})

與

C2=8P2+0.009P22($/小時)C_2=8P_2+0.009P_2^2\quad(\$/\mathrm{小時})

其中 P1P_1 與 P2P_2 為機組 1 與機組 2 之輸出有效功率，單位為 MW。

100≤P1≤500,350≤P2≤1200。100\leq P_1\leq 500,\qquad 350\leq P_2\leq 1200。

假設傳輸損失可忽略不計，總負載需求於以下二情境下，計算個別機組之輸出實功與運轉之總成本。

(一) 總負載需求為 500 MW。（12 分）

(二) 總負載需求為 1500 MW。（12 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查不計傳輸損失、機組出力受上下限約束的經濟調度。各機組的增量成本相等時，總運轉成本達到最低；若某機組的出力碰到上下限，則須固定在該限值，再由其餘機組供應剩餘負載。

機組成本函數為 Ci(Pi)C_i(P_i)，其增量成本為成本對出力的導數：

λi=dCidPi\lambda_i=\frac{dC_i}{dP_i}

本題兩部機組的增量成本為：

λ1=10+0.016P1,λ2=8+0.018P2\lambda_1=10+0.016P_1,\qquad \lambda_2=8+0.018P_2

不計傳輸損失時，功率平衡條件為：

P1+P2=PDP_1+P_2=P_D

若兩部機組均未碰到出力限制，最適調度滿足 λ1=λ2\lambda_1=\lambda_2。若計算結果超出機組出力範圍，則須將出力固定在相應上限或下限。

解題方法

依序檢查功率平衡、等增量成本條件與機組出力限制。得到可行出力後，代回成本函數計算總成本：

Ctotal=C1(P1)+C2(P2)C_{\text{total}}=C_1(P_1)+C_2(P_2)

（一）總負載需求 500 MW500\ \mathrm{MW}

先假設兩機組皆在出力限制內，聯立功率平衡與等增量成本條件：

P1+P2=500P_1+P_2=500 10+0.016P1=8+0.018P210+0.016P_1=8+0.018P_2

由第一式得 P2=500−P1P_2=500-P_1，代入第二式：

10+0.016P1=8+0.018(500−P1)10+0.016P_1=8+0.018(500-P_1) 0.034P1=7⟹P1=205.882 MW0.034P_1=7 \quad\Longrightarrow\quad P_1=205.882\ \mathrm{MW} P2=500−205.882=294.118 MWP_2=500-205.882=294.118\ \mathrm{MW}

此結果違反機組 2 的下限 P2≥350 MWP_2\geq350\ \mathrm{MW}，故機組 2 必須以最低出力運轉：

P2=350 MWP_2=350\ \mathrm{MW}

由功率平衡得：

P1=500−350=150 MWP_1=500-350=150\ \mathrm{MW}

兩部機組出力均符合限制，因此此調度可行。總成本為：

C1(150)=10(150)+0.008(150)2=1,680 $/小時C2(350)=8(350)+0.009(350)2=3,902.5 $/小時Ctotal=1,680+3,902.5=5,582.5 $/小時\begin{aligned} C_1(150)&=10(150)+0.008(150)^2=1{,}680\ \$/\mathrm{小時}\\ C_2(350)&=8(350)+0.009(350)^2=3{,}902.5\ \$/\mathrm{小時}\\ C_{\text{total}}&=1{,}680+3{,}902.5 =\boxed{5{,}582.5\ \$/\mathrm{小時}} \end{aligned}

（二）總負載需求 1500 MW1500\ \mathrm{MW}

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題

考慮如圖二的三相交流電力系統單線圖。圖中顯示之線路阻抗、負載功率與電壓振幅值，均為標么值。其中匯流排 1 是無限大匯流排，匯流排 2 是負載匯流排，匯流排 3 是電壓控制匯流排。

(一) 求出該系統之導納（Admittance）矩陣。（5 分）

(二) 列出此系統之電力潮流方程式，並說明哪些變數是需要求解之未知數。（10 分）

(三) 假設匯流排 2 之初始電壓為 1∠0∘1\angle 0^\circ。請以高斯－塞德爾（Gauss-Seidel）演算法一次疊代，估算各匯流排之電壓振幅值與相角大小。（10 分）

【圖二】 三相交流電力系統單線圖之參數如下：

  • 匯流排 1：V1=1.04∠0∘V_1=1.04\angle 0^\circ。
  • 匯流排 1 與匯流排 2 之間的線路阻抗：j0.4j0.4。
  • 匯流排 1 與匯流排 3 之間的線路阻抗：j0.2j0.2。
  • 匯流排 2 與匯流排 3 之間的線路阻抗：j0.25j0.25。
  • 匯流排 2：PL2=1.0P_{L2}=1.0 p.u.、QL2=0.8Q_{L2}=0.8 p.u.。
  • 匯流排 3：PG3=1.0P_{G3}=1.0 p.u.、∣V3∣=1.005|V_3|=1.005 p.u.。
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查三匯流排潮流分析，重點是由線路阻抗建立導納矩陣，依匯流排類型列出潮流方程式，並用高斯－塞德爾法更新 PQ 匯流排與 PV 匯流排電壓。

發電功率以注入系統為正，負載則以負值表示。因此匯流排 2 的指定功率為 P2=−1.0P_2=-1.0 p.u.、Q2=−0.8Q_2=-0.8 p.u.；匯流排 3 為 PV 匯流排，指定 P3=1.0P_3=1.0 p.u.、∣V3∣=1.005|V_3|=1.005 p.u.

（一）導納矩陣

各線路導納為

y12=1j0.4=−j2.5,y13=1j0.2=−j5,y23=1j0.25=−j4.y_{12}=\frac{1}{j0.4}=-j2.5,\qquad y_{13}=\frac{1}{j0.2}=-j5,\qquad y_{23}=\frac{1}{j0.25}=-j4.

對角元素為連接該匯流排的線路導納總和，非對角元素為兩匯流排間導納的負值，因此

Ybus=[−j7.5j2.5j5j2.5−j6.5j4j5j4−j9] p.u.\mathbf{Y}_{\text{bus}}= \begin{bmatrix} -j7.5 & j2.5 & j5\\ j2.5 & -j6.5 & j4\\ j5 & j4 & -j9 \end{bmatrix} \ \text{p.u.}

（二）潮流方程式與未知數

一般潮流方程式為

Pi=∣Vi∣∑k=1n∣Vk∣(Gikcos⁡θik+Biksin⁡θik),P_i=|V_i|\sum_{k=1}^{n}|V_k| \left(G_{ik}\cos\theta_{ik}+B_{ik}\sin\theta_{ik}\right), Qi=∣Vi∣∑k=1n∣Vk∣(Giksin⁡θik−Bikcos⁡θik),Q_i=|V_i|\sum_{k=1}^{n}|V_k| \left(G_{ik}\sin\theta_{ik}-B_{ik}\cos\theta_{ik}\right),

其中 θik=θi−θk\theta_{ik}=\theta_i-\theta_k，且 Yik=Gik+jBikY_{ik}=G_{ik}+jB_{ik}。本題線路為純電抗，故 Gik=0G_{ik}=0。

三個匯流排的類型與規格如下：

  • 匯流排 1 為平衡匯流排：V1=1.04∠0∘V_1=1.04\angle0^\circ 已知。
  • 匯流排 2 為 PQ 匯流排：P2=−1.0P_2=-1.0、Q2=−0.8Q_2=-0.8 已知。
  • 匯流排 3 為 PV 匯流排：P3=1.0P_3=1.0、∣V3∣=1.005|V_3|=1.005 已知。

因此需要求解的狀態變數為

∣V2∣,θ2,θ3.|V_2|,\quad \theta_2,\quad \theta_3.

對應的三個方程式是匯流排 2 的 P2P_2、Q2Q_2 方程式，以及匯流排 3 的 P3P_3 方程式。匯流排 3 的 Q3Q_3 是計算過程中的相依量，不是指定值。

（三）高斯－塞德爾法一次疊代

取初始電壓

V1=1.04∠0∘,V2(0)=1∠0∘,V3(0)=1.005∠0∘.V_1=1.04\angle0^\circ,\qquad V_2^{(0)}=1\angle0^\circ,\qquad V_3^{(0)}=1.005\angle0^\circ.

匯流排 2 為 PQ 匯流排，使用高斯－塞德爾更新式：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

電力工程《電力系統》其他年度

114112111110109