109 高普考高考二級 電力工程 電力系統 考古題詳解

核心觀念

本題考三相故障的對稱分量分析。$b'$、$c'$ 間發生線對線短路時，故障電流不含零序分量，故以正序與負序等效電路求解。圖中的電源中性點 $n$ 未接地；負載中性點 $n'$ 則經 $Z_g$ 接地。

令 $a=1\angle120^\circ$，相電流與序電流的關係為

解題方法

（一）序電路與故障條件

從故障端點看入，正序電路包含電源經線路阻抗 $Z$ 接至故障端，負載阻抗 $Z$ 則由故障端接至中性點參考端。故正序戴維寧電壓及阻抗為

負序沒有電壓源，且正、負序下負載中性點不流中性線電流，因此

零序時，電源中性點未接地，電源側零序電流無通路；負載側每相阻抗 $Z$ 與中性點接地阻抗的零序等效 $3Z_g$ 串聯，因此

以文字表示各序電路：

• 正序： $E_{1,\mathrm{th}}=0.5\angle0^\circ$ 串聯 $Z_1=0.1$，接至故障端。
• 負序： 無電壓源，$Z_2=0.1$ 接至故障端。
• 零序： 電源側開路；

核心觀念

1. 無耗損長程輸電線路模型（Long Lossless Line Model）： 輸電線路長度 $d = 200\ \mathrm{mile} \ge 150\ \mathrm{mile}$，屬於長程輸電線路，必須採用分佈參數（Distributed Parameters）模型。當線路電阻 $r=0$、電導 $g=0$ 時，線路特性阻抗（突波阻抗）與相位傳播常數簡化為純實數： $Z_c = \sqrt{\frac{l}{c}}$ $\beta = \omega\sqrt{lc}$ 傳輸矩陣參數（$ABCD$ 參數）轉為精確三角函數形式： $A = D = \cos(\beta d),\quad B = j Z_c \sin(\beta d),\quad C = j \frac{1}{Z_c}\sin(\beta d)$

2. 突波阻抗承載（Surge Impedance Loading, SIL）： 線路工作於額定線電壓 $V_{L,\text{rated}}$ 且負載阻抗等於特性阻抗 $Z_c$ 時所傳輸之三相平衡有效功率： $\mathrm{SIL} = \frac{V_{L,\text{rated}}^2}{Z_c}$

3. 無耗損線路之能量守恆與輸電效率： 因線路無電阻與電導，線路本身不消耗任何有效功率（$P_{\text{loss}} = 0$）。因此送電端有效功率必然嚴格等於負載端有效功率（$P_S = P_R$），輸電效率必定為 $100\%$。

4. 系統電壓慣例與題意辨析： 在三相電力系統中，標稱額定電壓（$161\ \mathrm{kV}$）均指「線電壓」（線對線）。題目所述「負載端相電壓為 $159\ \mathrm{kV}$」，在工程實際與國家考試中有兩種考量：

• 標準工程意涵（解法一，主解）：命題者依習慣將運轉線電壓稱呼為相電壓（$159\ \mathrm{kV} \approx 0.988\ \mathrm{pu}$，符合實際電壓降落），或負載採單相平衡 Y 接等效分析，此時負載端真實線電壓為 $V_{R,L} = 159\ \mathrm{kV}$，對應相電壓（線對中性線）為 $V_{R,p} = \frac{159}{\sqrt{3}}\ \mathrm{kV} \approx 91.80\ \mathrm{kV}$。
• 純字面文義（解法二，備載）：若閱卷委員完全不考慮 $161\ \mathrm{kV}$ 系統常態，逕依文字將 $159\ \mathrm{kV}$ 視為單相對地相電壓代入。

解題方法

線路基本參數推導

角頻率： $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 60 \approx 376.991\ \mathrm{rad/s}$

單位長度串聯阻抗與並聯導納： $z = j\omega l = j (376.991 \times 2.0 \times 10^{-3}) = j 0.75398\ \Omega/\mathrm{mile}$ $y = j\omega c = j (376.991 \times 0.015 \times 10^{-6}) = j 5.65487 \times 10^{-6}\ \mathrm{S/mile}$

相位常數 $\beta$： $\beta = \omega\sqrt{lc} = 376.991 \times \sqrt{2.0 \times 10^{-3} \times 0.015 \times 10^{-6}} = 2.06486 \times 10^{-3}\ \mathrm{rad/mile}$

線路總電氣角度 $\theta = \beta d$： $\beta d = 2.06486 \times 10^{-3} \times 200 = 0.41297\ \mathrm{rad} \approx 23.6617^\circ$

計算雙曲函數簡化之三角函數值： $\cos(\beta d) = \cos(23.6617^\circ) = 0.91593$ $\sin(\beta d) = \sin(23.6617^\circ) = 0.40135$

長程傳輸線 $ABCD$ 參數： $A = D = \cos(\beta d) = 0.91593$ $B = j Z_c \sin(\beta d) = j (365.15 \times 0.40135) = j 146.55\ \Omega$ $C = j \frac{\sin(\beta d)}{Z_c} = j \frac{0.40135}{365.15} = j 1.0991 \times 10^{-3}\ \mathrm{S}$

(一) 求該輸電線路之突波阻抗承載（SIL）

特性阻抗（突波阻抗）$Z_c$： $Z_c = \sqrt{\frac{l}{c}} = \sqrt{\frac{2.0 \times 10^{-3}}{0.015 \times 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{400000}{3}} \approx 365.15\ \Omega$

以系統額定線電壓 $V_{L,\text{rated}} = 161\ \mathrm{kV}$ 計算三相總突波阻抗承載： $\mathrm{SIL} = \frac{V_{L,\text{rated}}^2}{Z_c} = \frac{(161 \times 10^3)^2}{365.15} \approx 70.99 \times 10^6\ \mathrm{W} = 70.99\ \mathrm{MW}$ （若以單相表示，則為 $\mathrm{SIL}_{1\phi} = \frac{70.99}{3} \approx 23.66\ \mathrm{MW/相}$）

(二) 求負載端之相電流

【標準解法（系統運轉線電壓為 $159\ \mathrm{kV}$，Y 接等效分析）】： 負載端相電壓（線對中性線）： $V_{R,p} = \frac{159\ \mathrm{kV}}{\sqrt{3}} \approx 91.80\ \mathrm{kV}$

負載每相消耗之有效功率： $P_{R,1\phi} = \frac{P_R}{3} = \frac{40\ \mathrm{MW}}{3} \approx 13.333\ \mathrm{MW}$

由 $P_{R,1\phi} = V_{R,p} I_{R,p} \cos\theta$（功因落後 $\cos\theta = 0.95$）： $I_{R,p} = \frac{P_{R,1\phi}}{V_{R,p} \cos\theta} = \frac{40 \times 10^6}{\sqrt{3} \times (159 \times 10^3) \times 0.95} \approx 152.89\ \mathrm{A}$

取負載端相電壓為參考相量 $V_{R,p} = 91.80 \angle 0^\circ\ \mathrm{kV}$，落後角 $\theta = \cos^{-1}(0.95) \approx 18.195^\circ$： $I_{R,p} = 152.89 \angle -18.195^\circ\ \mathrm{A} = (145.24 - j 47.74)\ \mathrm{A}$

〔備註：若依字面嚴格視相電壓為 $159\ \mathrm{kV}$〕： $I_{R,p} = \frac{40 \times 10^6 / 3}{(159 \times 10^3) \times 0.95} \approx 88.27\ \mathrm{A}$

(三) 求送電端每相傳輸之有效功率

因輸電線路之電阻 $r=0$、電導 $g=0$，為無耗損線路（Lossless Line），線上並無任何有效功率耗損（$P_{\text{loss}} = 0$）。 依據能量守恆定律，送電端總有效功率等於負載端總有效功率： $P_{S,\text{三相}} = P_{R,\text{三相}} = 40\ \mathrm{MW}$

核心觀念

本題評量電力系統中「同步發電機調速機之一時頻率控制（Primary Frequency Control）」與「速度－下垂特性（Speed-Droop Characteristic）」。涉及之核心定義與公式如下：

1. 速度－下垂率（Speed-Droop Characteristic, $R$）： 原動機調速機特性使發電機出力隨頻率上升而減少，其下垂常數 $R$（工程慣例取正值）定義為頻率變動量與發電機出力變動量之比值大小： $R = -\frac{\Delta f}{\Delta P} \quad [\mathrm{Hz/MW}]$ 發電機之功率調整量可表示為： $\Delta P = -\frac{1}{R}\Delta f$

2. 多機並聯系統之功率平衡： 在忽略線路傳輸損失與負載頻率阻尼效應（$D = 0$）之前提下，系統總負載變動量 $\Delta P_L$ 必須由各發電機之出力變動量總和共同分攤： $\Delta P_{\text{total}} = \sum_{i=1}^{n} \Delta P_i = \Delta P_L$ 各機組並聯運轉時頻率變化量 $\Delta f$ 相同，故系統等效調速增益為各機組調速斜率倒數之代數和： $\Delta P_L = -\Delta f \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_i}$

解題方法

初始運轉狀態（基準態 $T_0$）

• 發電機 1 額定容量 $S_{R1} = 200\ \mathrm{MW}$，出力為額定之 $50\%$： $P_{1,0} = 0.5 \times 200 = 100\ \mathrm{MW}$
• 發電機 2 額定容量 $S_{R2} = 300\ \mathrm{MW}$，出力為額定之 $50\%$： $P_{2,0} = 0.5 \times 300 = 150\ \mathrm{MW}$
• 系統初始總負載： $P_{L,0} = P_{1,0} + P_{2,0} = 100 + 150 = 250\ \mathrm{MW}$
• 初始系統頻率： $f_0 = 60\ \mathrm{Hz}$

(一) 計算兩部發電機之速度－下垂率（$R_1, R_2$）

1. 求各發電機於時間 $T_1$ 之出力變動量： 在時間 $T_1$，總負載減少 $150\ \mathrm{MW}$（$\Delta P_L = -150\ \mathrm{MW}$）。題目指定「各發電機依其額定容量比例減少出力」，額定容量比為 $S_{R1} : S_{R2} = 200 : 300 = 2 : 3$： $\Delta P_1 = -150 \times \frac{200}{200 + 300} = -60\ \mathrm{MW}$ $\Delta P_2 = -150 \times \frac{300}{200 + 300} = -90\ \mathrm{MW}$

2. 計算速度－下垂率： 已知頻率增加 $\Delta f = +0.5\ \mathrm{Hz}$。

• 發電機 1 之速度－下垂率： $R_1 = -\frac{\Delta f}{\Delta P_1} = -\frac{0.5\ \mathrm{Hz}}{-60\ \mathrm{MW}} = \frac{1}{120}\ \mathrm{Hz/MW} \approx 0.00833\ \mathrm{Hz/MW}$
• 發電機 2 之速度－下垂率： $R_2 = -\frac{\Delta f}{\Delta P_2} = -\frac{0.5\ \mathrm{Hz}}{-90\ \mathrm{MW}} = \frac{1}{180}\ \mathrm{Hz/MW} \approx 0.00556\ \mathrm{Hz/MW}$

(二) 計算時間 $T_2$ 之系統頻率與各發電機出力

1. 確定功率變動量： 時間 $T_2$ 時，總負載變為 $P_{L,2} = 275\ \mathrm{MW}$。 以初始狀態 $T_0$（$P_{L,0} = 250\ \mathrm{MW}, f_0 = 60\ \mathrm{Hz}$）為基準，總負載變動量為： $\Delta P_L = P_{L,2} - P_{L,0} = 275 - 250 = +25\ \mathrm{MW}$

2. 計算系統頻率偏差 $\Delta f$ 與新頻率 $f_2$： 兩部發電機之並聯響應關係式為：

核心觀念

本題考同步發電機連接無限大匯流排的暫態穩定度。先由匯流排功率求線路電流與送電端電壓，再計算發電機內部暫態電勢 $E'$，最後以等面積法求故障清除後的最大轉子電角。

全程採用題目給定的標麼值，忽略電阻與損失。發電機輸出無效功率以發電機端為計算位置；因此需計入傳輸線與變壓器的電抗吸收，直軸次同步電抗 $X'_d$ 則用於計算內部暫態電勢。

（一）傳輸線送電端電壓

無限大匯流排電壓為 $V_B=1\angle0^\circ$。由題目給定實功率 $P=0.8$ pu、功因 $0.8$ 滯後，可得匯流排無效功率：

因此匯流排收到的複功率為 $S_B=0.8+j0.6$ pu。由 $S=VI^*$：

線路電抗為 $j0.15$ pu，故線路送電端電壓為：

（二）發電機無效功率輸出

無損電抗只吸收無效功率，其吸收量為 $|I|^2X$。電流平方值為：

從發電機端至無限大匯流排，計入傳輸線與變壓器電抗 $X+X_t=0.15+0.2=0.35$ pu。因此發電機端需供應：

（三）故障後最大轉子電角

故障前及故障清除後的等效電抗為：

以無限大匯流排為相角參考，內部暫態電勢為：

故障前轉子電角：