110 高普考高考二級 電力工程 電力系統 考古題詳解

核心觀念

本題考同步發電機的轉子運動方程式，以及慣性常數 $H$ 與轉子動能 $W_k$ 的關係。

機械輸入功率扣除旋轉損失後，與電功率的差為加速功率：

$$P_a=P_m-P_e$$

依轉子運動方程式：

$$P_a=J\omega_m\alpha_m$$

其中 $J$ 為轉子轉動慣量，$\omega_m$ 為機械角速度，$\alpha_m$ 為機械角加速度。同步轉速下的轉子動能為：

$$W_k=\frac{1}{2}J\omega_m^2$$

慣性常數定義為額定容量基準下的動能：

$$H=\frac{W_k}{S_{\text{rated}}}$$

因此可用 $W_k=HS_{\text{rated}}$ 求動能，再由運動方程式求角加速度。

解題方法

1. 求加速功率

將機械輸入由馬力換算為瓦特：

$$P_m=750000\times746 =559500000\ \mathrm{W} =559.5\ \mathrm{MW}$$

題目已說明此數值為扣除旋轉損失後的機械功率，因此：

$$P_a=P_m-P_e=559.5-450=109.5\ \mathrm{MW}$$

2. 求同步機械角速度

同步轉速為：

$$n_s=\frac{120f}{P} =\frac{120\times60}{2} =3600\ \mathrm{rpm}$$

換算為機械角速度：

$$\omega_m=\frac{2\pi n_s}{60} =\frac{2\pi\times3600}{60} =120\pi\ \mathrm{rad/s} \approx376.99\ \mathrm{rad/s}$$

3. 求同步轉速下的轉子動能

核心觀念

本題考查導體電阻與溫度的線性關係、電阻率換算成電阻，以及交流集膚效應修正。導體電阻為

$$R=\rho\frac{L}{A}$$

其中 $\rho$ 為電阻率、$L$ 為導體長度、$A$ 為截面積。題目給定電阻在 $-228^\circ\mathrm{C}$ 時為零，因此可用該溫度作為線性電阻—溫度關係的零點，再計算 $50^\circ\mathrm{C}$ 時的電阻。

解題方法

先以 $20^\circ\mathrm{C}$ 的電阻率求出直流電阻，再依溫度比例換算至 $50^\circ\mathrm{C}$，最後乘上集膚效應修正因數 $1.02$。

圓密爾與平方公尺的換算為

$$1\ \text{circular mil} =\frac{\pi}{4}(0.001\ \text{in})^2 =5.0671\times10^{-10}\ \mathrm{m^2}$$

所以導體截面積為

$$A=36\times10^4\times5.0671\times10^{-10} =1.8242\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$$

在 $20^\circ\mathrm{C}$ 時，長度 $L=50\ \mathrm{km}=5.0\times10^4\ \mathrm{m}$，直流電阻為

核心觀念

遞增燃料成本是發電機輸出功率增加一個微小單位時，燃料成本的變化率。先將燃料熱值函數乘上每單位熱值的價格，得到燃料成本函數，再對發電功率 $P_G$ 微分。

題目中的 $H_F$ 單位為百萬 $\mathrm{Btu/h}$，燃料單價為 $2.5$ 美元／百萬 $\mathrm{Btu}$，因此燃料成本率的單位是美元／小時。對 $P_G$ 微分後，遞增燃料成本的單位為美元／$\mathrm{MWh}$。

解題方法

燃料成本率函數為

$$C_F(P_G)=2.5H_F =2.5\left[0.03P_G^2+5P_G+100\right]$$

整理得

$$C_F(P_G)=0.075P_G^2+12.5P_G+250 \quad(\text{美元／小時})$$

遞增燃料成本為成本率對輸出功率的導數：

$$\frac{dC_F}{dP_G} =0.15P_G+12.5 \quad(\text{美元／MWh})$$

因此，發電廠的遞增燃料成本函數為

$$\boxed{\lambda_F(P_G)=0.15P_G+12.5\ \text{美元／MWh}}$$

當輸出由 $200\ \mathrm{MW}$ 增加至 $201\ \mathrm{MW}$ 時，功率增量 $\Delta P_G=1\ \mathrm{MW}$。

近似額外燃料成本

以初始輸出點的遞增燃料成本乘上功率增量：

核心觀念

本題考變壓器的自耦變壓器接法與繞組電流額定限制。將 $90/120\ \mathrm{V}$ 的雙繞組變壓器串接成升壓自耦變壓器，供電電壓由 $120\ \mathrm{V}$ 升至 $210\ \mathrm{V}$；計算可用容量時，必須確認兩個繞組的電流都不超過各自額定值。

雙繞組變壓器的額定容量為 $9\ \mathrm{kVA}$，因此兩側繞組額定電流為

$$I_{90,\mathrm{額}}=\frac{9000}{90}=100\ \mathrm{A}, \qquad I_{120,\mathrm{額}}=\frac{9000}{120}=75\ \mathrm{A}.$$

解題方法

將 $90\ \mathrm{V}$ 繞組與 $120\ \mathrm{V}$ 繞組串聯同相，形成 $210\ \mathrm{V}$ 總電壓。負載接於 $210\ \mathrm{V}$ 與 $120\ \mathrm{V}$ 端之間，因此負載電壓為 $120\ \mathrm{V}$，電源電壓為 $210\ \mathrm{V}$。

設 $I_L$ 為負載電流。由理想變壓器的功率守恆：

$$210I_{\mathrm{in}}=120I_L \quad\Rightarrow\quad I_{\mathrm{in}}=\frac{120}{210}I_L=\frac{4}{7}I_L.$$

串聯的 $90\ \mathrm{V}$ 繞組承受電源與負載電流的差，因此其電流大小為

$$I_{90}=I_L-I_{\mathrm{in}} =\left(1-\frac{4}{7}\right)I_L =\frac{3}{7}I_L.$$

$120\ \mathrm{V}$ 繞組承受輸入電流：

$$I_{120}=I_{\mathrm{in}}=\frac{4}{7}I_L.$$

分別套用繞組電流額定：