111 高普考高考二級 電力工程 電力系統 考古題詳解

核心觀念

以「發電機注入匯流排的功率減去負載功率」作為匯流排淨注入功率。兩匯流排間只有純電抗線路，因此有功功率由相角差決定，無功功率則由電壓大小與相角差決定。

令 $V_1=1.2\angle 0^\circ$、$V_2=1.2\angle-\delta$，線路電抗 $X=0.072$ p.u.。由匯流排流入線路的功率為

解題方法

1. 由二號匯流排有功功率求相角差

二號匯流排的淨有功注入為

這等於二號匯流排流入線路的有功功率：

因此

2. 求二號匯流排發電機無功功率

兩端電壓大小相同，因此二號匯流排流入線路的無功功率為

核心觀念

1. 中距離輸電線路模型（Medium-length Line Model）： 輸電線路長度介於 $80\ \mathrm{km}$ 至 $250\ \mathrm{km}$ 之間（本題長度 $l = 120\ \mathrm{km}$），線路之並聯電容納不可忽略，工程上通常採用集總參數之**名義 T 型模型（Nominal-T Model）或名義 $\pi$ 型模型（Nominal-$\pi$ Model）**進行單相平衡等效電路分析。
2. 名義 T 型等效電路結構：

• 將線路之總串聯阻抗 $Z$ 均分為兩半（各為 $Z/2$），分別置於送電端側與受電端側。
• 將線路之總並聯導納 $Y$ 集中於電路中央節點。
• 中央節點電壓令為 $V_C$，流經中央分路導納之電流為 $I_C$。

3. 單相平衡相量分析與基準量：

• 三相平衡系統採單相等效電路分析，所有電壓計算基準先化為相電壓（Y 接中性點電壓），並取受電端相電壓為參考相量（$\angle 0^\circ$）。
• 受電端相電壓：$V_R = \dfrac{V_{R,LL}}{\sqrt{3}}\angle 0^\circ$。
• 受電端線電流：$I_R = \dfrac{S_{R,3\phi}^*}{\sqrt{3}V_{R,LL}^*}$。

4. 電源端電氣量推導關係式：

• 中央節點電壓：$V_C = V_R + I_R\left(\dfrac{Z}{2}\right)$
• 中央分路電流：$I_C = V_C \cdot Y$
• 電源端電流：$I_S = I_R + I_C$
• 電源端相電壓：$V_S = V_C + I_S\left(\dfrac{Z}{2}\right)$
• 電源端三相複數功率：$S_S = 3 V_S I_S^* = \sqrt{3} V_{S,LL} I_S^*$

解題方法

步驟一：計算線路總參數

線路長度 $l = 120\ \mathrm{km}$：

• 總串聯阻抗 $Z$： $z = r + jx = 0.12 + j0.45\ \Omega/\mathrm{km}$ $Z = z \cdot l = (0.12 + j0.45) \times 120 = 14.4 + j54.0\ \Omega = 55.887\angle 75.07^\circ\ \Omega$ 每半段串聯阻抗為： $\frac{Z}{2} = 7.2 + j27.0\ \Omega$

• 總並聯導納 $Y$（本題僅有電容納，電導 $g = 0$）： $y = jb = j2.28 \times 10^{-6}\ \mathrm{S/km}$ $Y = y \cdot l = j(2.28 \times 10^{-6} \times 120) = j2.736 \times 10^{-4}\ \mathrm{S} = 2.736 \times 10^{-4}\angle 90^\circ\ \mathrm{S}$

步驟二：計算受電端電壓與電流相量

• 受電端額定線電壓 $V_{R,LL} = 75\ \mathrm{kV}$，設受電端相電壓為參考相量： $V_R = \frac{75\ \mathrm{kV}}{\sqrt{3}}\angle 0^\circ \approx 43.3013\angle 0^\circ\ \mathrm{kV} = 43301.27\angle 0^\circ\ \mathrm{V}$

• 受電端三相負載 $S_R = 20000\ \mathrm{kVA}$，功率因數 $\mathrm{pf} = 0.8$（依國考慣例為落後，電流角度落後電壓 $\theta = -\cos^{-1}(0.8) = -36.87^\circ$）： $|I_R| = \frac{S_{R,3\phi}}{\sqrt{3}V_{R,LL}} = \frac{20000\ \mathrm{kVA}}{\sqrt{3} \times 75\ \mathrm{kV}} = \frac{800}{3\sqrt{3}} \approx 153.96\ \mathrm{A}$ $I_R = 153.96\angle -36.87^\circ\ \mathrm{A} = 153.96(0.8 - j0.6) = 123.168 - j92.376\ \mathrm{A}$

步驟三：計算中央節點電壓 $V_C$ 與分路電流 $I_C$

• 中央節點電壓 $V_C$： $V_C = V_R + I_R\left(\frac{Z}{2}\right)$ 其中受電端半段阻抗壓降為： $I_R\left(\frac{Z}{2}\right) = (123.168 - j92.376)(7.2 + j27.0)$ $= (123.168 \times 7.2 + 92.376 \times 27.0) + j(123.168 \times 27.0 - 92.376 \times 7.2)$ $= (886.81 + 2494.15) + j(3325.54 - 665.11) = 3380.96 + j2660.43\ \mathrm{V}$

因此： $V_C = 43301.27 + (3380.96 + j2660.43) = 46682.23 + j2660.43\ \mathrm{V} = 46.758\angle 3.26^\circ\ \mathrm{kV}$

• 中央並聯支路電流 $I_C$： $I_C = V_C \cdot Y = (46682.23 + j2660.43) \times (j2.736 \times 10^{-4})$ $= -2660.43 \times (2.736 \times 10^{-4}) + j\left(46682.23 \times 2.736 \times 10^{-4}\right)$ $= -0.728 + j12.772\ \mathrm{A}$

步驟四：計算電源端電流 $I_S$

根據 KCL： $I_S = I_R + I_C$ $I_S = (123.168 - j92.376) + (-0.728 + j12.772) = 122.440 - j79.604\ \mathrm{A}$

轉換為極座標： $|I_S| = \sqrt{122.440^2 + (-79.604)^2} = \sqrt{14991.55 + 6336.80} \approx 146.04\ \mathrm{A}$ $\angle I_S = \tan^{-1}\left(\frac{-79.604}{122.440}\right) \approx -33.03^\circ$ $I_S = 146.04\angle -33.03^\circ\ \mathrm{A}$

步驟五：計算電源端電壓 $V_S$

根據 KVL，電源端相電壓為： $V_S = V_C + I_S\left(\frac{Z}{2}\right)$ 其中電源端半段阻抗壓降為： $I_S\left(\frac{Z}{2}\right) = (122.440 - j79.604)(7.2 + j27.0)$

核心觀念

本題測驗「電力系統」中經典的負載功率因數改善（Power Factor Correction）與並聯電容器容量計算。核心觀念涵蓋以下三項：

1. 功率三角形與有效功率守恆： 並聯電容器只提供超前無效功率（Capacitive Reactive Power）以抵消負載原有的落後無效功率，負載所消耗的有效功率 $P$ 維持不變。

• 視在功率：$S = \sqrt{P^2 + Q^2}$
• 有效功率：$P = S \cos\theta$
• 原始無效功率：$Q_1 = P \tan\theta_1$
• 改善後無效功率：$Q_2 = P \tan\theta_2$

2. 所需電容器無效功率容量（$\mathrm{kVAR}$）： $Q_C = Q_1 - Q_2 = P(\tan\theta_1 - \tan\theta_2)$

3. 電容量（$C$）之計算： 工廠供電電壓 $11.4\ \mathrm{kV}$ 在台灣配電系統為標準的三相線電壓（$V_L = 11.4\ \mathrm{kV}$，系統頻率 $f = 60\ \mathrm{Hz}$，角頻率 $\omega = 2\pi f \approx 377\ \mathrm{rad/s}$）。電容量計算依電容器組接線方式分為：

• 三相 $\Delta$ 接法（每相電容端電壓為線電壓 $V_L$）： $Q_C = 3\omega C_{\Delta} V_L^2 \implies C_{\Delta} = \frac{Q_C}{3\omega V_L^2}$
• 三相 $\mathrm{Y}$ 接法（每相電容端電壓為相電壓 $V_P = \frac{V_L}{\sqrt{3}}$）： $Q_C = 3\omega C_{\mathrm{Y}} \left(\frac{V_L}{\sqrt{3}}\right)^2 = \omega C_{\mathrm{Y}} V_L^2 \implies C_{\mathrm{Y}} = \frac{Q_C}{\omega V_L^2}$
• （若視為單相系統，其等效電容量計算式與三相 $\mathrm{Y}$ 接之每相數值相同。）

解題方法

步驟一：計算負載有效功率 $P$ 與改善前之無效功率 $Q_1$

已知原始負載容量 $S_1 = 400\ \mathrm{kVA}$，功率因數 $\cos\theta_1 = 0.6$（落後）：

• $\sin\theta_1 = \sqrt{1 - 0.6^2} = 0.8$
• 有效功率： $P = S_1 \cos\theta_1 = 400 \times 0.6 = 240\ \mathrm{kW}$
• 改善前無效功率： $Q_1 = S_1 \sin\theta_1 = 400 \times 0.8 = 320\ \mathrm{kVAR}$ （亦可由 $\tan\theta_1 = \frac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1} = \frac{0.8}{0.6} = \frac{4}{3}$ 求得：$Q_1 = P \tan\theta_1 = 240 \times \frac{4}{3} = 320\ \mathrm{kVAR}$）

步驟二：計算改善後之目標無效功率 $Q_2$

目標功率因數提高至 $\cos\theta_2 = 0.8$（落後）：

• $\sin\theta_2 = \sqrt{1 - 0.8^2} = 0.6$
• $\tan\theta_2 = \frac{\sin\theta_2}{\cos\theta_2} = \frac{0.6}{0.8} = 0.75 = \frac{3}{4}$
• 改善後系統無效功率： $Q_2 = P \tan\theta_2 = 240 \times \frac{3}{4} = 180\ \mathrm{kVAR}$

步驟三：求電容器所需之 $\mathrm{kVAR}$ 容量 $Q_C$

並聯電容器需補償之無效功率為： $Q_C = Q_1 - Q_2 = 320 - 180 = 140\ \mathrm{kVAR}$

核心觀念

自耦變壓器的部分繞組以導電方式直接傳送功率，其容量會大於原雙繞組變壓器。題圖中，$250\ \mathrm{V}$ 繞組作為串聯繞組，與 $1250\ \mathrm{V}$ 繞組串聯相加，形成 $1500/1250\ \mathrm{V}$ 降壓自耦變壓器。

雙繞組變壓器的額定電流為：

解題方法

（一）自耦變壓器 kVA 額定值

自耦變壓器的 $250\ \mathrm{V}$ 串聯繞組承受輸入電流，其額定電流為 $200\ \mathrm{A}$。理想變壓器下，輸入與輸出實功率相等：

因此：

輸出額定容量為：

此時公共繞組電流為 $I_L-I_1=240-200=40\ \mathrm{A}$，也正好等於原 $1250\ \mathrm{V}$ 繞組額定電流。

（二）自耦變壓器效率

先由原雙繞組變壓器額定負載、功率因數 $0.7$ 落後時的效率，求其總損失：