111 高普考高考二級 電力工程 電力電子 考古題詳解

111 年・高普考・高考二級・電力工程
試題代碼 電力電子

第 一 題25 分

某負載電路如圖一所示，假設為理想二極體元件。（每小題 5 分，共 25 分）

電源電壓為 vs=160sin⁡(100πt) Vv_s=160\sin(100\pi t)\ \mathrm{V}

負載為 20 A20\ \mathrm{A} 直流電流源。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 請計算負載電流 is(t)i_s(t) 之有效值。

(二) 請計算負載電流 is(t)i_s(t) 之三次諧波成分 is3(t)i_{s3}(t)。

(三) 請計算負載電流 is(t)i_s(t) 之總諧波失真率（Total Harmonic Distortion, THD）。

(四) 請計算該負載之功率因數（Power Factor, PF）。

(五) 請計算該負載之平均功率。

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核心觀念

圖一為單相二極體全橋整流器，直流側接 20 A20\ \mathrm{A} 電流源。理想二極體會依交流電壓極性切換導通路徑，因此交流側電流是幅值 20 A20\ \mathrm{A}、與電源電壓同號的方波：

is(t)=20 sgn⁡ ⁣[sin⁡(100πt)] A.i_s(t)=20\,\operatorname{sgn}\!\left[\sin(100\pi t)\right]\ \mathrm{A}.

本題使用方波有效值、傅立葉諧波、總諧波失真率與功率因數的定義：

Irms=1T∫0Tis2(t) dt,THD=∑n=2∞Isn,rms2Is1,rms,PF=PVs,rmsIs,rms.I_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T i_s^2(t)\,dt}, \qquad \mathrm{THD}=\frac{\sqrt{\sum_{n=2}^{\infty}I_{sn,\mathrm{rms}}^2}}{I_{s1,\mathrm{rms}}}, \qquad \mathrm{PF}=\frac{P}{V_{s,\mathrm{rms}}I_{s,\mathrm{rms}}}.

解題方法與計算

(一) 負載電流 is(t)i_s(t) 的有效值

電流方波在整個週期內的幅值皆為 20 A20\ \mathrm{A}，所以

Is,rms=1T∫0T202 dt=20 A.I_{s,\mathrm{rms}} =\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T 20^2\,dt} =20\ \mathrm{A}.

(二) 三次諧波成分 is3(t)i_{s3}(t)

幅值為 II 的對稱方波，其傅立葉級數為

is(t)=4Iπ[sin⁡(ωt)+13sin⁡(3ωt)+15sin⁡(5ωt)+⋯ ].i_s(t)=\frac{4I}{\pi} \left[ \sin(\omega t)+\frac{1}{3}\sin(3\omega t) +\frac{1}{5}\sin(5\omega t)+\cdots \right].

本題 I=20 AI=20\ \mathrm{A}、ω=100π rad/s\omega=100\pi\ \mathrm{rad/s}，因此

is3(t)=4(20)3πsin⁡(3⋅100πt)=803πsin⁡(300πt) A.i_{s3}(t)=\frac{4(20)}{3\pi}\sin(3\cdot100\pi t) =\frac{80}{3\pi}\sin(300\pi t)\ \mathrm{A}.

(三) 總諧波失真率 THD

基波有效值為

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第 二 題25 分

某電力電子電路如圖二所示。電路中皆為理想元件，電感值為 2.5 mH2.5\ \mathrm{mH}，電容值為 1000 μF1000\ \mu\mathrm{F}，為固定功率負載（Constant Power Load），開關（SW）切換頻率為 10 kHz10\ \mathrm{kHz}，開關導通時間為 50 μs50\ \mu\mathrm{s}。（每小題 5 分，共 25 分）

輸入電壓為 100 V100\ \mathrm{V}，負載功率為 1 kW1\ \mathrm{kW}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 穩態下，請計算電路電感電流 iL(t)i_L(t) 之平均值（A）。

(二) 穩態下，請計算電路電感電流 iL(t)i_L(t) 之峰對峰值（A）。

(三) 穩態下，請計算電路輸出電壓 vo(t)v_o(t) 之平均值（V）。

(四) 穩態下，請計算電路輸出電壓 vo(t)v_o(t) 之峰對峰值（V）。

(五) 降低負載功率，直至穩態電感電流操作於邊界模式（Boundary Condition）。請計算此時負載功率值（W）。

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核心觀念

圖二是升壓型轉換器（Boost Converter），工作週期為

Ts=1fs=100 μs,D=TonTs=50100=0.5T_s=\frac{1}{f_s}=100\ \mu\text{s},\qquad D=\frac{T_{\text{on}}}{T_s}=\frac{50}{100}=0.5

穩態下，電感伏秒平衡；理想轉換器的平均輸入功率等於負載功率。電容電壓漣波則由電容電流的充、放電量計算。

解題方法

開關導通時，二極體截止，電感兩端電壓為 VinV_{\text{in}}；開關關斷時，電感經二極體向負載與電容供電。依題目數值，將輸出漣波視為小漣波，計算負載電流時以平均輸出電壓估算。

（一）電感電流平均值

理想穩態下，輸入功率等於負載功率：

Pin=Pload=VinIL,avgP_{\text{in}}=P_{\text{load}}=V_{\text{in}}I_{L,\text{avg}}

因此

IL,avg=1000100=10 AI_{L,\text{avg}}=\frac{1000}{100}=10\ \text{A}

（二）電感電流峰對峰值

開關導通期間，電感電流上升量為

ΔiL=VinLTon=1002.5×10−3(50×10−6)=2 A\Delta i_L =\frac{V_{\text{in}}}{L}T_{\text{on}} =\frac{100}{2.5\times10^{-3}}\left(50\times10^{-6}\right) =2\ \text{A}

所以電感電流峰對峰值為 2 A2\ \text{A}。

（三）輸出電壓平均值

穩態電感伏秒平衡：

VinD+(Vin−Vo,avg)(1−D)=0V_{\text{in}}D+(V_{\text{in}}-V_{o,\text{avg}})(1-D)=0

整理得

Vo,avg=Vin1−D=1001−0.5=200 VV_{o,\text{avg}}=\frac{V_{\text{in}}}{1-D} =\frac{100}{1-0.5}=200\ \text{V}
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第 三 題25 分

某電力電子電路，其開關信號產生方式與開關信號波形如圖三所示。vao(t)v_{ao}(t)、vbo(t)v_{bo}(t)、vco(t)v_{co}(t) 稱為三相輸出電壓；van(t)v_{an}(t)、vbn(t)v_{bn}(t)、vcn(t)v_{cn}(t) 稱為三相負載電壓。TsT_s 為開關切換週期，也是三角波信號 vtriv_{tri} 的週期。（每小題 5 分，共 25 分）

直流電源為上下各 200 V200\ \mathrm{V} 的分裂電源，負載為三相平衡星形負載，每相包含電感 LL 與電阻 rr。三角載波電壓範圍為 −1 V-1\ \mathrm{V} 至 +1 V+1\ \mathrm{V}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 根據波形，計算控制信號 vcont,av_{cont,a} 之電壓大小（V）。

(二) 根據波形，計算輸出電壓 vbo(t)v_{bo}(t) 之平均值（V）。

(三) 根據波形，計算負載電壓 vcn(t)v_{cn}(t) 之平均值（V）。

(四) 請畫出具有最少開關切換次數之開關信號 Ga+∼Gc−G_a^+ \sim G_c^-，可產生上述相同平均三相負載電壓。

(五) 在不產生低次諧波電壓情況下，該電路所能產生最大三相輸出電壓之基本波電壓成分大小為何（V）？

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核心觀念

本題考查三相電壓源型變流器的載波比較式 PWM、分裂直流電源的輸出電壓，以及星形負載中性點電位。

直流母線相對中點 oo 為 +200 V+200\text{ V} 與 −200 V-200\text{ V}，所以每相輸出電壓 vxov_{xo} 的瞬時值為 +200 V+200\text{ V} 或 −200 V-200\text{ V}。若上臂開關的導通占空比為 DxD_x，則

vxo‾=200Dx−200(1−Dx)=400Dx−200.\overline{v_{xo}}=200D_x-200(1-D_x)=400D_x-200.

比較器在 vcont,x>vtriv_{cont,x}>v_{tri} 時使上臂導通。三角載波範圍為 −1 V-1\text{ V} 至 +1 V+1\text{ V}，因此

Dx=vcont,x+12,vxo‾=200vcont,x.D_x=\frac{v_{cont,x}+1}{2}, \qquad \overline{v_{xo}}=200v_{cont,x}.

解題方法與計算

由圖中各上臂開關的導通時間，可讀出

Da=13,Db=12,Dc=23.D_a=\frac{1}{3},\qquad D_b=\frac{1}{2},\qquad D_c=\frac{2}{3}.

（一）控制信號 vcont,av_{cont,a}

代入 Da=(vcont,a+1)/2D_a=(v_{cont,a}+1)/2：

vcont,a=2Da−1=2(13)−1=−13 V.v_{cont,a}=2D_a-1 =2\left(\frac13\right)-1 =-\frac13\text{ V}.

（二）輸出電壓 vbo(t)v_{bo}(t) 的平均值

vbo‾=400Db−200=400(12)−200=0 V.\overline{v_{bo}} =400D_b-200 =400\left(\frac12\right)-200 =0\text{ V}.

（三）負載電壓 vcn(t)v_{cn}(t) 的平均值

三相輸出電壓平均值為

vao‾=−2003 V,vbo‾=0,vco‾=2003 V.\overline{v_{ao}}=-\frac{200}{3}\text{ V},\qquad \overline{v_{bo}}=0,\qquad \overline{v_{co}}=\frac{200}{3}\text{ V}.

平衡星形負載的中性點電位，是三相輸出電壓平均值的平均，因此

vno‾=vao‾+vbo‾+vco‾3=0.\overline{v_{no}} =\frac{\overline{v_{ao}}+\overline{v_{bo}}+\overline{v_{co}}}{3} =0.

故

vcn‾=vco‾−vno‾=2003≈66.7 V.\overline{v_{cn}} =\overline{v_{co}}-\overline{v_{no}} =\frac{200}{3} \approx 66.7\text{ V}.

（四）最少開關切換次數的開關信號

負載電壓只取決於相間電壓；三相輸出電壓同時加上相同的共模電壓，不會改變負載電壓。將原占空比 (1/3,1/2,2/3)(1/3,1/2,2/3) 同減 1/31/3，可得等效占空比

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第 四 題25 分

某電力電子電路及關鍵波形如圖四所示。假設電路中皆為理想元件，電容值為 400 μF400\ \mu\mathrm{F}，各開關切換頻率為 100 kHz100\ \mathrm{kHz}。（每小題 5 分，共 25 分）

電池電壓為 48 V48\ \mathrm{V}，電池側電感值為 2 mH2\ \mathrm{mH}；交流側各電感值為 0.2 mH0.2\ \mathrm{mH}。

關鍵波形中，vsv_s 峰值為 160 V160\ \mathrm{V}，isi_s 峰值為 12 A12\ \mathrm{A}，圖中時間標示為 10 ms10\ \mathrm{ms}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 驅動此電路，最少需要幾組隔離電源？

(二) 根據開關元件的電路符號，寫出其名稱（可寫英文）。

(三) 直流鏈電壓 vdcv_{dc} 被穩定控制在電池電壓 48 V48\ \mathrm{V} 的整數倍。請問此整數倍最小應為幾倍？

(四) 根據波形，計算電池電流 iB(t)i_B(t) 之平均值（A）。

(五) 根據波形，計算直流鏈電壓 vdc(t)v_{dc}(t) 之鏈波頻率（Hz）。

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核心觀念

本題考查單相全橋逆變器的閘極驅動隔離、開關元件辨識、直流鏈電壓需求，以及交流側功率與直流鏈漣波頻率。

交流側電流與電壓由圖形可判斷為同相，基頻為 50 Hz50\ \mathrm{Hz}。圖中交流側兩個電感各為 0.2 mH0.2\ \mathrm{mH}，其迴路總電感為 0.4 mH0.4\ \mathrm{mH}。理想電路下，平均功率守恆。

解題方法

（一）隔離電源數量

閘極驅動電源須依開關的參考端電位分組。三個上臂開關 Ta+T_a^+、Tb+T_b^+、Tc+T_c^+ 的參考端各接不同的浮動開關節點，須各自使用隔離電源；三個下臂開關 Ta−T_a^-、Tb−T_b^-、Tc−T_c^- 的參考端共接直流負端，可共用一組隔離電源。

因此最少需要 3+1=43+1=4 組隔離電源。

（二）開關元件名稱

圖中的開關符號為絕緣閘雙極性電晶體，英文為 IGBT；旁邊並聯的二極體是反並聯續流二極體。

（三）直流鏈電壓的最小整數倍

全橋逆變器輸出電壓的峰值上限為 vdcv_{dc}。除了提供交流電壓，逆變器也須補足交流側電感上的電壓：

vinv(t)=vs(t)+Lloopdis(t)dtv_{\mathrm{inv}}(t)=v_s(t)+L_{\mathrm{loop}}\frac{di_s(t)}{dt}

由圖可知電壓、電流同相，且 ω=2π(50) rad/s\omega=2\pi(50)\ \mathrm{rad/s}。所需逆變器電壓峰值為

Vinv,pk=1602+[ω(0.4×10−3)(12)]2≈160.007 VV_{\mathrm{inv,pk}} =\sqrt{160^2+\left[\omega(0.4\times10^{-3})(12)\right]^2} \approx160.007\ \mathrm{V}

因此 vdcv_{dc} 至少須大於此值。以電池電壓 48 V48\ \mathrm{V} 的整數倍表示：

n=⌈160.00748⌉=4n=\left\lceil\frac{160.007}{48}\right\rceil=4

最小直流鏈電壓為 4×48=192 V4\times48=192\ \mathrm{V}。

（四）電池電流平均值

交流側平均輸出功率為

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