111 高普考高考二級 電力工程 電機機械 考古題詳解

核心觀念

本題考直流機氣隙磁通密度的空間分布，以及轉子線圈導體切割磁通時的感應電壓。主要公式為：

$e_{\text{導體}}=Blv$

其中 $v=r\omega$。線圈兩側導體串聯，且感應電壓相加，因此線圈端電壓大小為：

$e=2Blr\omega$

（一）氣隙磁通密度 $B$ 對角度 $\theta$ 的波形

以圖中的 $x$ 軸為 $\theta=0^\circ$，沿逆時針方向增加角度，因此上方為 $90^\circ$、左方為 $180^\circ$、下方為 $270^\circ$。

以下以徑向向外為正方向表示 $B$：磁通由 N 極穿過氣隙進入轉子，在 N 極下方徑向向內，故為負；磁通由轉子進入 S 極，在 S 極下方徑向向外，故為正。理想化波形如下，圖示未標示極弧角，轉換位置以示意圖為準：

 B (T)
 +0.8 ┌──────────┐
 │ S 極下 │
 0 ────────┐ ┌─────────┘ └───────┐ ┌────→ θ
 │ │ │ │
 -0.8 └──────┘ └──────┘
 N 極下 N 極下
 0° 90° 180° 270° 360°

依圖示，N 極大致位於上半部、S 極大致位於下半部；兩極間的插極區磁通密度理想化為 $0$。若以磁通密度大小作圖，則兩極下皆為 $0.8\ \mathrm{T}$；上圖的正負號反映徑向方向。

（二）轉速 $2000\ \mathrm{rpm}$ 時的感應電壓

轉速換算為角速度：

核心觀念

本題考同步馬達的相量關係、功率與轉矩，以及固定機械負載時改變激磁電流對電樞電流和功率因數的影響。採用每相等效電路，忽略電樞電阻，故同步阻抗 $1.68\ \Omega$ 視為同步電抗 $X_s$；另假設磁路未飽和，內部感應電勢 $E$ 與場電流 $I_f$ 成正比。題目未提供電樞電阻、損失或磁化曲線，因此以下依同步馬達常用理想模型計算。

Y 接時：

馬達相量式及同步轉速為：

解題方法

（一）輸出力矩

功率因數 $0.95$ 落後，故電流落後端電壓，且其同相分量為：

忽略損失時，馬達輸出功率等於輸入有功功率：

同步角速度為：

因此輸出力矩：

（二）場電流調為 $60\ \mathrm{A}$

先由原操作點求內部感應電勢。令端電壓為參考相位，電流角為 $-\phi$，其中 $\cos\phi=0.95$：

因此：

依 $E\propto I_f$，場電流增至 $60\ \mathrm{A}$ 時：

核心觀念

本題考查變壓器的標麼值換算、開路測試求鐵損與激磁支路參數，以及短路測試求等效串聯阻抗並計算電壓調整率。

額定容量為 $25\ \mathrm{kVA}$，高、低壓側額定電壓分別為 $440\ \mathrm{V}$、$220\ \mathrm{V}$。各側的基準電流為

功率基準為 $25{,}000\ \mathrm{VA}$。開路測試時，高壓側開路、低壓側施加額定電壓；短路測試時，低壓側短路、高壓側施加測試電壓。

（一）換算為實質單位

電壓與電流分別乘上該側基準值；功率乘上額定容量。

開路測試

低壓側施加 $1.0\ \mathrm{pu}$ 電壓，因此低壓側電壓為 $220\ \mathrm{V}$，高壓側開路端感應電壓為 $440\ \mathrm{V}$。開路側電流為零；低壓側電流為

輸入功率為

短路測試

高壓側施加電壓為

低壓側短路，端電壓為 $0\ \mathrm{V}$。兩側電流為

短路輸入功率為

（二）求 $R_{c1}$ 與 $X_{m1}$

開路測試的電壓為 $1.0\ \mathrm{pu}$，功率為 $0.026\ \mathrm{pu}$。鐵心電阻的標麼值為

開路電流分量中，鐵損電流為 $I_c=0.026\ \mathrm{pu}$；激磁電流為

核心觀念

1. 感應馬達之極數、同步轉速與轉差率：

• 三相感應馬達之同步轉速由電源頻率 $f$ 與磁極數 $P$ 決定： $n_s = \frac{120f}{P}\ (\mathrm{rpm})$
• 轉差率（Slip）定義為同步轉速與轉子實體轉速 $n_r$ 之差相對同步轉速之比值： $s = \frac{n_s - n_r}{n_s}$

2. 轉矩方程式與戴維寧等效電路之關聯：

• 由題目提示之感應馬達戴維寧等效電路導出之機械轉矩公式： $T_{\mathrm{mech}} = \frac{1}{\omega_s} \left[ \frac{3V_{1,\mathrm{eq}}^2\left(\dfrac{R_2}{s}\right)}{\left(R_{1,\mathrm{eq}}+\dfrac{R_2}{s}\right)^2+\left(X_{1,\mathrm{eq}}+X_2\right)^2} \right]$ 將分母展開並整理為轉差率 $s$ 的有理分式，即對應題幹所給定之具體數值方程式： $T_{\mathrm{mech}} = \frac{207.63s}{s^2+0.0925s+0.0382}\ \mathrm{N\cdot m}$

3. 運轉工況之轉差率特徵：

• 起動瞬間：轉子尚未轉動，轉速 $n_r = 0$，轉差率 $s = 1$。
• 額定運轉：工作於額定轉速 $n_r = 1740\ \mathrm{rpm}$，轉差率極小且轉矩與轉差率近乎呈線性關係。
• 最大轉矩（崩潰轉矩）：利用函數極值條件或算幾不等式求得使轉矩達最大之對應轉差率 $s_{T\max}$。

解題方法

（一）求起動轉矩（$T_{\mathrm{start}}$）

馬達起動瞬間轉子靜止（$n_r = 0$），此時轉差率為： $s = \frac{n_s - 0}{n_s} = 1$

將 $s = 1$ 代入生成轉矩方程式： $T_{\mathrm{start}} = T_{\mathrm{mech}}(s=1) = \frac{207.63 \times 1}{1^2 + 0.0925 \times 1 + 0.0382} = \frac{207.63}{1.1307} \approx 183.63\ \mathrm{N\cdot m}$

（二）求額定轉速下的輸出轉矩（$T_{\mathrm{rated}}$）

1. 求極數 $P$ 與同步轉速 $n_s$： 電源頻率 $f = 60\ \mathrm{Hz}$，額定轉速 $n_r = 1740\ \mathrm{rpm}$。感應電動機正常運轉時，$n_r$ 必然略小於同步轉速 $n_s$：

• 若 $P = 2$，則 $n_s = \frac{120 \times 60}{2} = 3600\ \mathrm{rpm}$（轉差過大，非正常額定設計）；
• 若 $P = 4$，則 $n_s = \frac{120 \times 60}{4} = 1800\ \mathrm{rpm}$（略高於 $1740\ \mathrm{rpm}$，合理）；
• 若 $P = 6$，則 $n_s = \frac{120 \times 60}{6} = 1200\ \mathrm{rpm} < 1740\ \mathrm{rpm}$（不可能）。

因此，此馬達之極數為 $P = 4$ 極，同步轉速為 $n_s = 1800\ \mathrm{rpm}$。

2. 計算額定轉差率 $s_{\mathrm{rated}}$： $s_{\mathrm{rated}} = \frac{n_s - n_r}{n_s} = \frac{1800 - 1740}{1800} = \frac{60}{1800} = \frac{1}{30} \approx 0.03333$

3. 計算額定輸出轉矩（題意未列機械損與旋轉損耗，輸出轉矩即為生成電磁轉矩）：

• 分子： $207.63 \times \frac{1}{30} = 6.921$
• 分母： $\left(\frac{1}{30}\right)^2 + 0.0925\left(\frac{1}{30}\right) + 0.0382 = \frac{1}{900} + \frac{0.0925}{30} + 0.0382 \approx 0.001111 + 0.003083 + 0.0382 = 0.042394$