114 年高普考高考二級電力工程考古題與詳解

Question 1

某電力轉換器電路，其輸入電壓 $vi(t)$、輸入電流 $ii(t)$ 波形如圖一所示，其輸出電壓 $vo(t)$、輸出電流 $io(t)$ 波形如圖二所示。其中輸入電壓 $vi(t)$ 峰值為 $150\ \mathrm{V}$，輸入電流 $ii(t)$ 峰值為 $8\sqrt{3}\ \mathrm{A}$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖一、圖二】 (一) 請計算平均輸入功率（W）。 (二) 請計算輸入側功率因數。 (三) 請計算輸出電壓有效值（$V{\mathrm{rms}}$）。 (四) 請計算該電路轉換器的效率。 (五) 如何提高輸入側功率因數，而不改變轉換器輸入電流波形？

Accepted Answer

核心觀念

本題考查非正弦輸入電流下的平均功率、有效值與真功率因數。真功率因數定義為

\mathrm{PF}=\frac{P_{\mathrm{in}}}{V_{\mathrm{in,rms}}I_{\mathrm{in,rms}}}

不能只用電壓與電流基波的相位差來代替，因為輸入電流有失真。

依圖一，令 $\theta=\omega t$ ，輸入電流在每半週的 $30^\circ$ 至 $150^\circ$ 間為正弦脈波，其餘時間為零；下一個半週在 $210^\circ$ 至 $330^\circ$ 間為負脈波。峰值為 $I_m=8\sqrt{3}\ \mathrm{A}$ 。輸入電壓為峰值 $V_m=150\ \mathrm{V}$ 的正弦波。

解題方法

（一）平均輸入功率

平均輸入功率為一週期內 $v_i(t)i_i(t)$ 的平均值。因電壓與電流脈波在正、負半週對應，兩段積分相同：

\begin{aligned} P_{\mathrm{in}} &=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}v_i(\theta)i_i(\theta)\,d\theta\\ &=\frac{V_m I_m}{2\pi} \left(2\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\sin^2\theta\,d\theta\right). \end{aligned}

其中

\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\sin^2\theta\,d\theta =\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}.

因此

\begin{aligned} P_{\mathrm{in}} &=V_mI_m\left(\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4\pi}\right)\\ &=150(8\sqrt{3})\left(\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4\pi}\right)\\ &\approx 979.3\ \mathrm{W}. \end{aligned}

（二）輸入側功率因數

先由電流波形求有效值。電流脈波在一週期內的兩段平方積分相同，所以

Question 2

某電路如圖三所示。假設電路中皆為理想元件，且電容值夠大，可忽略輸出電壓漣波。輸入電壓為 $25\ \mathrm{V}$ ，變壓器匝數比為 $N_1:N_2=1:3$ 。該開關（SW）切換頻率 $250\ \mathrm{kHz}$ ，且導通時間比例為 $1/3$ 。其穩態輸入電流波形如圖四所示。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖三、圖四】

(一) 請計算開關電流 $i_{\mathrm{sw}}$ 之峰值（A）。

(二) 請計算平均輸入功率（W）。

(三) 請計算該變壓器之激磁電感（H）。

(四) 請計算平均二極體電流 $I_D$ （A）。

(五) 請計算開關電壓 $v_{\mathrm{sw}}$ 之峰值（V）。

Accepted Answer

核心觀念 圖三是理想返馳式轉換器。開關導通時，輸入電壓加在變壓器一次側，激磁電流線性上升；開關關斷時，二次側二極體導通，激磁能量送至負載。圖四中導通期間的電流由 $1.2\ \mathrm{A}$ 上升至 $1.8\ \mathrm{A}$，漣波峰對峰值為 $0.6\ \mathrm{A}$，導通期間平均值為 $1.5\ \mathrm{A}$；關斷期間輸入電流為零。 使用的關係式如下： $$ Ts=\frac{1}{fs},\qquad \Delta im=\frac{Vd t{\mathrm{on}}}{Lm} $$ $$ VdD=\frac{N1}{N2}Vo(1-D) $$ 其中 $Lm$ 為一次側激磁電感，$D$ 為開關導通時間比例。 解題方法 已知 $fs=250\ \mathrm{kHz}$、$D=1/3$，因此 $$ Ts=\frac{1}{250	imes10^3}=4\ \mu\mathrm{s} $$ $$ t{\mathrm{on}}=DTs=\frac{1}{3}(4\ \mu\mathrm{s}) =\frac{4}{3}\ \mu\mathrm{s} $$ （一）開關電流峰值 開關導通時，開關電流等於一次側激磁電流。依圖四，電流由 $1.2\ \mathrm{A}$ 上升至 $1.8\ \mathrm{A}$，所以 $$ i{\mathrm{sw,peak}}=1.5+\frac{0.6}{2} =\boxed{1.8\ \mathrm{A}} $$ （二）平均輸入功率 圖四所示的 $1.5\ \mathrm{A}$ 是導通期間的平均輸入電流。由於關斷期間輸入電流為零，整個週期的平均輸入電流為 $$ I{d,\mathrm{avg}}=D(1.5) =\frac{1}{3}(1.5)=0.5\ \mathrm{A} $$ 因此平均輸入功率為

Question 3

某電路如圖五所示，輸入電壓 $Vd$ 為 $25\ \mathrm{V}$，電感為 $0.5\ \mathrm{mH}$，負載電阻為 $RL=10\ \Omega$。該電路採用具斜率補償（Slope Compensation）之固定頻率型峰值電流控制（Peak-Current Constant Frequency Control），切換頻率為 $12\ \mathrm{kHz}$，電流信號轉換比例為 $1\ \mathrm{V}/2\ \mathrm{A}$。假設電容值夠大，可以忽略輸出電壓漣波。輸出電壓穩定控制在 $15\ \mathrm{V}$。 圖五中的斜率補償為 $5\ \mathrm{mV}/\mu\mathrm{s}$，電流感測器轉換比例為 $1\ \mathrm{V}\leftrightarrow2\ \mathrm{A}$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖五】 (一) 請計算平均電感電流 $IL$（A）。 (二) 請計算開關之導通時間比例。 (三) 請計算電感電流回授信號 $i'L$ 之峰值（V）。 (四) 請計算控制信號 $vc$ 之峰對峰值（V）。 (五) 請計算控制命令 $vc(t)$ 之值（V）。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查降壓型轉換器的穩態電感伏秒平衡、電感電流漣波，以及峰值電流控制中的電流感測與斜率補償。

圖五的電流感測比例為 $1\ \mathrm{V}\leftrightarrow2\ \mathrm{A}$ ，因此感測電壓為 $i'_L=0.5i_L$ 。斜率補償斜率為 $m_a=5\ \mathrm{mV}/\mu\mathrm{s}$ 。依圖中斜率補償位於控制命令路徑，令補償後命令為 $v'_c(t)=v_c+m_at$ 。

解題方法

（一）平均電感電流

輸出電流為

I_o=\frac{V_o}{R_L}=\frac{15}{10}=1.5\ \mathrm{A}

理想降壓型轉換器的平均電感電流等於輸出電流，因此

\boxed{I_L=1.5\ \mathrm{A}}

（二）開關導通時間比例

穩態時電感伏秒平衡：

D V_d+(1-D)(-V_o)=0

解得

D=\frac{V_o}{V_d}=\frac{15}{25}=0.6

因此開關導通時間比例為 $\boxed{60\%}$ 。切換週期為

T_s=\frac{1}{12\ \mathrm{kHz}}=83.33\ \mu\mathrm{s}

導通時間為 $t_{\mathrm{on}}=DT_s=50\ \mu\mathrm{s}$ 。

（三）電感電流回授信號峰值

導通期間電感電流上升量為

\Delta i_L =\frac{V_d-V_o}{L}t_{\mathrm{on}} =\frac{25-15}{0.5\ \mathrm{mH}}(50\ \mu\mathrm{s}) =1\ \mathrm{A}

電感電流漣波峰對峰值為 $1\ \mathrm{A}$ ，故峰值電流為

i_{L,\mathrm{pk}}=I_L+\frac{\Delta i_L}{2} =1.5+0.5=2\ \mathrm{A}

感測比例為每 $2\ \mathrm{A}$ 對應 $1\ \mathrm{V}$ ，所以

Question 4

如圖六所示，永磁同步風機發電機（Permanent Magnet Synchronous Generator, PMSG）接入三相整流子電路與 $LC$ 濾波器後，連接於一穩定直流鏈電壓 $V_{dc}$ ，再經六臂開關電路，連接於三相電網 $220\ \mathrm{V_{rms}}$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖六】

(一) 若不考慮低頻諧波成分對三相電網的影響，直流鏈電壓命令 $V_{dc}^{*}$ 最少應設為多少伏特？

(二) 若考慮低頻諧波成分對三相電網的影響，直流鏈電壓命令 $V_{dc}^{*}$ 最少應設為多少伏特？

(三) 簡要畫出控制器 A 內各方塊圖。

(四) 在何種狀況下，開關 SW 需要投入，使電阻 $R$ 跨接於電壓 $V_{dc}$ ？

(五) 若直流鏈電壓命令 $V_{dc}^{*}=400\ \mathrm{V}$ ，穩態下控制信號 $v_{\mathrm{cont}}$ 峰值與三角波信號 $v_{\mathrm{tri}}$ 峰值之比例約為？

Accepted Answer

核心觀念

本題考查三相電壓源型逆變器的直流鏈電壓需求、載波式 PWM 調變，以及併網逆變器的電流控制與直流鏈過電壓保護。

以下將圖中的 $3\phi\ 220\ \mathrm{V_{rms}}$ 視為三相線間有效值。第（二）小題未指定諧波規格或調變法，以下採用三次諧波注入 PWM 作為「考慮低頻諧波」的合理假設；三次諧波是三相共模分量，會在線間電壓相減時抵消。

解題方法

（一）不採用三次諧波注入

正弦 PWM 的線性區中，調變訊號峰值不能超過三角載波峰值，最大調變比為 $m=1$ 。此時逆變器相電壓基波峰值為 $V_{dc}/2$ ，因此線間電壓基波有效值為

V_{LL,\mathrm{rms}} =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\frac{V_{dc}}{2} =\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}V_{dc}.

令線間電壓達到電網的 $220\ \mathrm{V_{rms}}$ ：

V_{dc,\min} =\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times220 \approx359.3\ \mathrm{V}.

因此直流鏈命令至少約為 $359\ \mathrm{V}$ 。

（二）採用三次諧波注入 PWM

三次諧波注入可提高線性調變區的基波電壓利用率。最大相電壓基波峰值可達 $V_{dc}/\sqrt{3}$ ，故線間電壓有效值為

V_{LL,\mathrm{rms}} =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\frac{V_{dc}}{\sqrt{3}} =\frac{V_{dc}}{\sqrt{2}}.

因此

V_{dc,\min} =\sqrt{2}\times220 \approx311.1\ \mathrm{V}.

所以在上述假設下，直流鏈命令至少約為 $311\ \mathrm{V}$ 。注入的三次諧波屬於共模分量，會在線間電壓中抵消；若題目另要求限制特定低頻諧波，則仍須依該諧波規格重新設計。

（三）控制器 A 的方塊圖

可用下列串級控制架構表示：

V_{dc}^{*}-V_{dc} \longrightarrow \text{直流電壓 PI} \longrightarrow i_d^{*}, \qquad i_q^{*}=0

(v_{an},v_{bn})\longrightarrow \text{PLL}\longrightarrow\theta

114 高普考高考二級電力工程電力電子考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

解題方法

（一）平均輸入功率

（二）輸入側功率因數

第二題25 分

第三題25 分

核心觀念

解題方法

第四題25 分

核心觀念

解題方法

其他考古題

114 年電力工程的其他科目

電力工程《電力電子》其他年度

114 高普考高考二級 電力工程 電力電子 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念

解題方法

（一）平均輸入功率

（二）輸入側功率因數

第 二 題25 分

第 三 題25 分

核心觀念

解題方法

第 四 題25 分

核心觀念

解題方法

其他考古題

114 年電力工程的其他科目

電力工程《電力電子》其他年度

114 高普考高考二級電力工程電力電子考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分