114 高普考高考二級 電力工程 電力系統 考古題詳解

114 年・高普考・高考二級・電力工程
試題代碼 電力系統

第 一 題25 分

某三相、420 kV420\ \mathrm{kV}、60 Hz60\ \mathrm{Hz}之輸電線，長300 km300\ \mathrm{km}，假設為無耗損，送電端電壓為420 kV420\ \mathrm{kV}。當受電端負載移除時，其受電端電壓為700 kV700\ \mathrm{kV}，且送電端每相電流為646.6∠90∘ A646.6\angle90^\circ\ \mathrm{A}。

(一) 試求每公里相移常數（phase constant）β\beta之數值，以及突波阻抗（surge impedance）ZcZ_c之歐姆值。（12分）

(二) 當負載移除時，在受電端各相至中性線間安裝一具理想電抗器（shunt reactor），使∣VS∣=∣VR∣=420 kV|V_S|=|V_R|=420\ \mathrm{kV}。試求每相電抗值，以及所需之三相 kvar。（13分）

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核心觀念

本題考查無耗損長輸電線的分布參數模型，以及空載受電端電壓上升的費蘭蒂效應。無耗損線的每相傳輸方程式為

[VSIS]=[cos⁡(βl)jZcsin⁡(βl)jsin⁡(βl)/Zccos⁡(βl)][VRIR],\begin{bmatrix}V_S\\ I_S\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\beta l) & jZ_c\sin(\beta l)\\ j\sin(\beta l)/Z_c & \cos(\beta l) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_R\\ I_R\end{bmatrix},

其中 ll 為線長、β\beta 為每單位長度相移常數，ZcZ_c 為突波阻抗。空載時 IR=0I_R=0，故

VS=VRcos⁡(βl),IS=jVRZcsin⁡(βl).V_S=V_R\cos(\beta l),\qquad I_S=j\frac{V_R}{Z_c}\sin(\beta l).

電壓與電流在公式中均採每相值；三相題目給定的線間電壓需先換算為相電壓。

解題方法

（一）求 β\beta 與 ZcZ_c

空載電壓比為

∣VS∣∣VR∣=420700=0.6=cos⁡(βl).\frac{|V_S|}{|V_R|} =\frac{420}{700}=0.6 =\cos(\beta l).

因此

βl=cos⁡−1(0.6)=0.9273 rad.\beta l=\cos^{-1}(0.6)=0.9273\ \mathrm{rad}.

線長 l=300 kml=300\ \mathrm{km}，所以

β=0.9273300=0.003091 rad/km.\boxed{\beta=\frac{0.9273}{300} =0.003091\ \mathrm{rad/km}}.

送電端空載電流大小為 646.6 A646.6\ \mathrm{A}，且電流相位為 90∘90^\circ，與受電端電壓同相位的參考方向相符。以每相電壓計算：

∣VR∣=7003 kV.|V_R|=\frac{700}{\sqrt{3}}\ \mathrm{kV}.

代入電流傳輸式：

646.6=(700/3)×103Zcsin⁡(0.9273).646.6 =\frac{(700/\sqrt{3})\times 10^3}{Z_c}\sin(0.9273).

因 sin⁡(0.9273)=0.8\sin(0.9273)=0.8，得到

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第 二 題25 分

有一電力系統網路單線圖如圖1所示，母線1（bus 1）是廣義母線（slack bus），且V1=1.0∠0∘V_1=1.0\angle0^\circ標么（pu）；母線2（bus 2）是負載母線，且S2=300 MW+j50 MvarS_2=300\ \mathrm{MW}+j50\ \mathrm{Mvar}。

輸電線阻抗以100 MVA100\ \mathrm{MVA}為基準，Z12=0.02+j0.04 puZ_{12}=0.02+j0.04\ \mathrm{pu}。

利用高斯–賽德法（Gauss-Seidel method），使用起始估計值V2(0)=1.0+j0.0 puV_2^{(0)}=1.0+j0.0\ \mathrm{pu}，執行三次疊代求V2(3)V_2^{(3)}。（25分）

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核心觀念

高斯–賽德法（Gauss–Seidel method）以最新計算出的母線電壓，依序更新負載母線電壓。母線 1 為廣義母線，電壓固定為 V1=1∠0∘V_1=1\angle0^\circ pu；母線 2 的負載需換算成標麼值，並以負號表示其為負的功率注入。

以 100 MVA100\ \mathrm{MVA} 為基準：

SL2=3+j0.5 pu,S2inj=−3−j0.5 pu.S_{L2}=3+j0.5\ \mathrm{pu},\qquad S_2^{\mathrm{inj}}=-3-j0.5\ \mathrm{pu}.

線路串聯導納為

y12=10.02+j0.04=10−j20 pu.y_{12}=\frac{1}{0.02+j0.04}=10-j20\ \mathrm{pu}.

因此 Y22=10−j20Y_{22}=10-j20、Y21=−10+j20Y_{21}=-10+j20。

解題方法

負載母線的高斯–賽德更新式為

V2(k+1)=1Y22((S2inj)∗(V2(k))∗−Y21V1).V_2^{(k+1)} =\frac{1}{Y_{22}} \left( \frac{(S_2^{\mathrm{inj}})^*}{(V_2^{(k)})^*} -Y_{21}V_1 \right).

代入本題數值，整理成方便逐次計算的形式：

V2(k+1)=1+−3+j0.5(V2(k))∗(0.02+j0.04).V_2^{(k+1)} =1+\frac{-3+j0.5}{(V_2^{(k)})^*}(0.02+j0.04).

每次疊代都使用前一次的電壓作為分母，並將新電壓代入下一次計算。

由起始值 V2(0)=1+j0V_2^{(0)}=1+j0：

V2(1)=1+(−3+j0.5)(0.02+j0.04)=0.920000−j0.110000 pu.\begin{aligned} V_2^{(1)} &=1+(-3+j0.5)(0.02+j0.04)\\ &=0.920000-j0.110000\ \mathrm{pu}. \end{aligned}
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第 三 題25 分

兩部發電機以一個X=0.4X=0.4標么之純電抗相連，其中同步發電機係以定電壓源後串接暫態電抗表示，如圖2所示。

發電機慣量常數H1=4.0 MJ/MVAH_1=4.0\ \mathrm{MJ/MVA}、H2=6 MJ/MVAH_2=6\ \mathrm{MJ/MVA}，暫態電抗X1′=0.16X'_1=0.16標么和X2′=0.1X'_2=0.1標么。

系統穩態運轉時，E1′=1.2E'_1=1.2標么、Pm1=1.5P_{m1}=1.5標么、E2′=1.1E'_2=1.1標么、Pm2=1.0P_{m2}=1.0標么。以δ=δ1−δ2\delta=\delta_1-\delta_2表示兩發電機之相對電力角，請簡化兩機系統成一個等效單機連結到一個無限匯流排。

試求等效發電機的慣量常數、等效機械輸入功率，和等效電力角曲線的振幅，並以δ\delta求得等效之搖擺方程式。（25分）

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核心觀念

本題考兩部同步發電機的相對轉子角化簡。令 δ=δ1−δ2\delta=\delta_1-\delta_2，將兩機擺動方程相減，可把兩機系統寫成一部等效機的擺動方程。

以下依題意採共同標麼基準，並以兩機內電勢之間的功率傳輸為正方向：

P12=Pmax⁡sin⁡δ,Pmax⁡=E1′E2′X1′+X+X2′P_{12}=P_{\max}\sin\delta,\qquad P_{\max}=\frac{E'_1E'_2}{X'_1+X+X'_2}

解題方法

兩部發電機之間的總串聯電抗為

Xeq=X1′+X+X2′=0.16+0.4+0.1=0.66 puX_{\mathrm{eq}}=X'_1+X+X'_2 =0.16+0.4+0.1=0.66\ \text{pu}

因此等效電力角曲線的振幅為

Pmax⁡=1.2×1.10.66=2.0 puP_{\max}=\frac{1.2\times1.1}{0.66} =2.0\ \text{pu}

兩機的擺動方程分別為

2H1ωsδ¨1=Pm1−P12\frac{2H_1}{\omega_s}\ddot{\delta}_1=P_{m1}-P_{12} 2H2ωsδ¨2=Pm2+P12\frac{2H_2}{\omega_s}\ddot{\delta}_2=P_{m2}+P_{12}

第二式中的電氣功率取 −P12-P_{12}，因為對第二部發電機而言，沿相同方向定義的傳輸功率符號相反。兩式相減，並定義等效慣量常數

Heq=H1H2H1+H2=4×64+6=2.4 MJ/MVAH_{\mathrm{eq}}=\frac{H_1H_2}{H_1+H_2} =\frac{4\times6}{4+6} =2.4\ \mathrm{MJ/MVA}

可得等效機械輸入功率

Pm,eq=Heq(Pm1H1−Pm2H2)=H2Pm1−H1Pm2H1+H2P_{m,\mathrm{eq}} =H_{\mathrm{eq}}\left(\frac{P_{m1}}{H_1}-\frac{P_{m2}}{H_2}\right) =\frac{H_2P_{m1}-H_1P_{m2}}{H_1+H_2}

代入數值：

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第 四 題25 分

二部額定為250 MW250\ \mathrm{MW}及500 MW500\ \mathrm{MW}的發電機組，其調速機之速率調整率，以各自額定為基準時，從無載至全載，分別為5.0%5.0\%及6.0%6.0\%。

二機並聯運轉，且供應負載500 MW500\ \mathrm{MW}，假設調速機自由運作，試求每一機組各分擔若干負載？（25分）

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核心觀念

調速機的速率調整率表示機組由無載到全載時，頻率（或調速機速度設定值）的變化比例。機組並聯且調速機自由運作時，各機組具有共同的頻率變化；因此，機組出力變化量與其「每單位出力變化所需的頻率變化」成反比。

以機組額定容量為基準，速率調整率為 RR 時，出力改變 ΔP\Delta P 所對應的頻率變化量可寫成：

Δf∝RΔPPrated\Delta f \propto R\frac{\Delta P}{P_{\mathrm{rated}}}

兩部機組並聯時頻率變化相同，因此：

R1ΔP1P1,rated=R2ΔP2P2,ratedR_1\frac{\Delta P_1}{P_{1,\mathrm{rated}}} = R_2\frac{\Delta P_2}{P_{2,\mathrm{rated}}}

解題方法

題目未給負載變動前的出力分配，故依調速機自由運作的穩態負載分配，令兩機的出力相對額定容量比例，依其調速特性分配；再以總出力等於負載求解。

令第一部 250 MW250\ \mathrm{MW} 機組出力為 P1P_1，第二部 500 MW500\ \mathrm{MW} 機組出力為 P2P_2。兩機速率調整率分別為 R1=0.05R_1=0.05、R2=0.06R_2=0.06，共同頻率偏移下有：

0.05P1250=0.06P25000.05\frac{P_1}{250} = 0.06\frac{P_2}{500}

整理得：

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