112 高普考高考二級 電力工程 電力電子 考古題詳解

112 年・高普考・高考二級・電力工程
試題代碼 電力電子

第 一 題25 分

如圖一所示之整流器，假設所有元件皆為理想，輸入為弦波電壓。請計算以下參數：

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核心觀念

圖一是理想變壓器搭配中心抽頭、兩顆二極體的全波整流器。負載電壓為正弦波的全波整流波形：

vo(t)=Vm∣sin⁡ωt∣v_o(t)=V_m|\sin\omega t|

其中 VmV_m 是圖示次級半繞組電壓的峰值。每個週期內，兩顆二極體輪流導通，因此負載電壓每半週都保持同一極性。

所用定義如下：

  • 效率：η=Pdc/Pac\eta=P_{\mathrm{dc}}/P_{\mathrm{ac}}
  • 波形因數：FF=Vrms/VdcFF=V_{\mathrm{rms}}/V_{\mathrm{dc}}
  • 漣波因數：RF=Vac,rms/VdcRF=V_{\mathrm{ac,rms}}/V_{\mathrm{dc}}
  • 波峰因數：CF=Vpeak/VrmsCF=V_{\mathrm{peak}}/V_{\mathrm{rms}}
  • 功率因數：PF=Pin/(Vin,rmsIin,rms)PF=P_{\mathrm{in}}/(V_{\mathrm{in,rms}}I_{\mathrm{in,rms}})

解題方法

先求全波整流輸出電壓的平均值與有效值，再代入各項定義。假設負載為圖示電阻 RR，且二極體與變壓器皆理想。

輸出平均值為：

Vdc=12π∫02πVm∣sin⁡θ∣ dθ=2VmπV_{\mathrm{dc}} =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}V_m|\sin\theta|\,d\theta =\frac{2V_m}{\pi}

輸出有效值為：

Vrms=12π∫02πVm2sin⁡2θ dθ=Vm2V_{\mathrm{rms}} =\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}V_m^2\sin^2\theta\,d\theta} =\frac{V_m}{\sqrt{2}}

(a) 效率 η\eta

負載的直流功率為 Pdc=Vdc2/RP_{\mathrm{dc}}=V_{\mathrm{dc}}^2/R，整流波形在負載上的平均功率為 Pac=Vrms2/RP_{\mathrm{ac}}=V_{\mathrm{rms}}^2/R，所以：

η=PdcPac=Vdc2Vrms2=(2Vm/π)2(Vm/2)2=8π2≈0.811\eta =\frac{P_{\mathrm{dc}}}{P_{\mathrm{ac}}} =\frac{V_{\mathrm{dc}}^2}{V_{\mathrm{rms}}^2} =\frac{(2V_m/\pi)^2}{(V_m/\sqrt{2})^2} =\frac{8}{\pi^2} \approx 0.811 η≈81.1%\boxed{\eta\approx 81.1\%}

(b) 波形因數 FFFF

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第 二 題25 分

如圖二所示之電源轉換器，假設所有元件皆為理想，各元件值如圖二所標示。若開關 SS 之操作頻率 f=20 kHzf=20\ \mathrm{kHz}，責任週期（duty cycle）D=0.4D=0.4，且操作於邊界導通模式（boundary conduction mode, BCM）。請計算以下參數：

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核心觀念

圖二是反相升降壓轉換器（inverting buck-boost converter），輸出端的正端在下方，因此 VoV_o 是輸出電壓的正值大小。理想元件下，電感在開關導通時儲能，關斷時經二極體向輸出端放能。

連續導通或邊界導通時，電感伏秒平衡給出：

Vo=D1−DVinV_o=\frac{D}{1-D}V_{\mathrm{in}}

電感導通期間的電流變化量為：

ΔIL=VinLDTs,Ts=1f\Delta I_L=\frac{V_{\mathrm{in}}}{L}DT_s,\qquad T_s=\frac{1}{f}

在邊界導通模式（BCM）下，電感電流由零上升至峰值，再下降至零，因此：

ILmin⁡=0,ILmax⁡=ΔILI_{L\min}=0,\qquad I_{L\max}=\Delta I_L

輸出電容在開關導通期間供應負載，故輸出漣波比為：

ΔVoVo=DRCf\frac{\Delta V_o}{V_o}=\frac{D}{RCf}

解題方法與計算

已知 Vin=24 VV_{\mathrm{in}}=24\ \mathrm{V}、D=0.4D=0.4、f=20 kHzf=20\ \mathrm{kHz}、L=100 μHL=100\ \mu\mathrm{H}、C=400 μFC=400\ \mu\mathrm{F}、R=5 ΩR=5\ \Omega。

(a) 輸出電壓 VoV_o

由電感伏秒平衡：

Vo=0.41−0.4×24=16 VV_o=\frac{0.4}{1-0.4}\times24=16\ \mathrm{V}

(b) 電感電流變化量 ΔIL\Delta I_L

Ts=120 000=50 μsT_s=\frac{1}{20\,000}=50\ \mu\mathrm{s} ΔIL=24100 μH×0.4×50 μs=1.92 A\Delta I_L =\frac{24}{100\ \mu\mathrm{H}}\times0.4\times50\ \mu\mathrm{s} =1.92\ \mathrm{A}

(c)、(d) 電感電流最大值與最小值

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第 三 題25 分

圖三之上圖為一具有柔性切換之電源轉換器，假設所有元件皆為理想，不考慮損失及雜散特性，灰色底範圍所有元件皆可簡化為一負載電流 IoI_o（如虛線處），亦即 LoL_o 及 CoC_o 並不參與諧振。圖三之下圖所示為此電源轉換器在一操作週期內可區分之 4 個狀態之時序關係。請回答以下問題：

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核心觀念

本題考查以諧振電感 LrL_r、諧振電容 CrC_r 協助主開關 SS 柔性切換。判讀四個狀態時，依序追蹤 SS、二極體 DD 的導通情形，以及 iLri_{L_r}、vCrv_{C_r}、vDSv_{DS} 的變化。

圖中灰色區域以負載電流源 IoI_o 取代；LoL_o、CoC_o 不參與諧振。定義諧振特性阻抗與角頻率：

Zo=LrCr,ωo=1LrCrZ_o=\sqrt{\frac{L_r}{C_r}},\qquad \omega_o=\frac{1}{\sqrt{L_rC_r}}

解題方法

依圖中時序，狀態 1、2 為 SS 導通期間，狀態 3、4 為 SS 截止期間。再用電感電流不能突變、電容電壓不能突變，判斷各狀態的換相條件。

(a) 開關 SS 如何達到柔性切換

SS 在 t0t_0 開通時，諧振電感電流 iLr=0i_{L_r}=0；開通後由 LrL_r 限制電流上升率，使開通電流由零平順增加，形成零電流開通。

在 t2t_2，iLri_{L_r} 諧振降至零，SS 於零電流條件下截止，形成零電流截止。因此，本電路利用 LrL_r 的電流斜率限制及 LrL_r、CrC_r 的諧振，使 SS 達成零電流切換（ZCS）。

(b) 狀態 1：t0∼t1t_0\sim t_1

等效電路： SS 導通，DD 導通並將諧振節點箝位；CrC_r 電壓為零。VsV_s 經 SS、LrL_r 供應負載。

 S ON Lr
 +Vs ───閉合─────LLLL─────●── 負載 Io
 │
 Cr：vCr=0 │ D 導通、箝位
 0 V ─────────────────────┴────────

此時 vCr=0v_{C_r}=0，電感兩端近似承受 VsV_s，因此：

diLrdt=VsLr\frac{di_{L_r}}{dt}=\frac{V_s}{L_r}

iLri_{L_r} 從零線性上升；DD 的電流逐漸減少。到 t1t_1，iLri_{L_r} 達到負載電流 IoI_o，DD 電流降為零而截止。

(c) 狀態 2：t1∼t2t_1\sim t_2

等效電路： SS 導通、DD 截止；LrL_r 與 CrC_r 進行諧振，負載仍以電流源 IoI_o 表示。

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第 四 題25 分

如圖四所示之電源轉換器，假設二極體視為理想元件，變壓器之匝數比依序如圖所標示，其中一次側 N1N_1 之激磁電感 Lm=5 mHL_m=5\ \mathrm{mH}。若開關之操作頻率 f=35 kHzf=35\ \mathrm{kHz}，責任週期（duty cycle）D=0.4D=0.4。請計算以下參數：

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核心觀念

本題是具復位繞組的正激式轉換器。利用理想變壓器匝數比求次級電壓，再對輸出電感與激磁電感分別套用伏秒平衡與電流斜率公式。理想二極體導通壓降為零。

已知

Vin=48 V,N1:N3:N2=3:3:2,Lm=5 mH,Lx=0.4 mHV_{\mathrm{in}}=48\ \mathrm{V},\quad N_1:N_3:N_2=3:3:2,\quad L_m=5\ \mathrm{mH},\quad L_x=0.4\ \mathrm{mH} f=35 kHz,D=0.4,R=10 Ω,C=100 μFf=35\ \mathrm{kHz},\quad D=0.4,\quad R=10\ \Omega,\quad C=100\ \mu\mathrm{F}

開關週期為

Ts=1f=28.571 μsT_s=\frac{1}{f}=28.571\ \mu\mathrm{s}

解題方法

(a) 輸出電壓 VoV_o

開關導通時，次級電壓為

VN2,on=N2N1Vin=23(48)=32 VV_{N_2,\mathrm{on}} =\frac{N_2}{N_1}V_{\mathrm{in}} =\frac{2}{3}(48)=32\ \mathrm{V}

次級整流二極體導通，輸出電感電壓為 32−Vo32-V_o。開關關斷時，輸出電感經續流二極體放電，電感電壓為 −Vo-V_o。對輸出電感套用伏秒平衡：

D(32−Vo)+(1−D)(−Vo)=0D(32-V_o)+(1-D)(-V_o)=0

因此

Vo=D(N2N1Vin)=0.4(32)=12.8 VV_o=D\left(\frac{N_2}{N_1}V_{\mathrm{in}}\right) =0.4(32)=12.8\ \mathrm{V}

(b)、(c) 輸出電感電流最大值與最小值

輸出電流平均值等於負載電流：

ILx,avg=VoR=12.810=1.28 AI_{L_x,\mathrm{avg}}=\frac{V_o}{R} =\frac{12.8}{10}=1.28\ \mathrm{A}

導通期間輸出電感電流上升量為

ΔILx=32−VoLxDTs=32−12.80.4×10−3(0.4)(28.571×10−6)=0.5486 A\Delta I_{L_x} =\frac{32-V_o}{L_x}DT_s =\frac{32-12.8}{0.4\times10^{-3}} (0.4)(28.571\times10^{-6}) =0.5486\ \mathrm{A}

此數值是峰對峰漣波量，因此

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