107 高普考高考二級 經建行政(一般組) 數量方法（包括計量經濟學與數理統計） 考古題詳解

核心觀念

本題屬於數理統計學中「點估計理論」的經典必考題型，涵蓋動差生成、參數估計與估計式優良性評估三大核心單元：

1. 動差母函數（Moment Generating Function, MGF）： 隨機變數 $X$ 之動差母函數定義為 $M_X(t) = E[e^{tX}]$（須注意積分收斂域）。利用動差母函數的微分性質可求得各階原點動差： $E[X^k] = \left. \frac{d^k M_X(t)}{dt^k} \right|_{t=0} = M_X^{(k)}(0)$ 進而依定義求得變異數 $\operatorname{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$。
2. 最大概似估計式（Maximum Likelihood Estimator, MLE）： 利用樣本之聯合機率密度函數建立概似函數 $L(\beta)$ 與對數概似函數 $\ln L(\beta)$，透過一階微分條件（FOC）求出駐點，並檢驗二階充份條件（SOC）確保極大值。
3. 克拉馬－拉歐下界（Cramér-Rao Lower Bound, CRLB）與有效性（Efficiency）：

• 費雪訊息量（Fisher Information）： $I_n(\beta) = n \cdot I_1(\beta) = -n E\left[\frac{\partial^2 \ln f(X;\beta)}{\partial \beta^2}\right]$
• 參數 $\beta$ 之任意不偏估計式的變異數下界為 $\operatorname{CRLB}(\beta) = \frac{1}{I_n(\beta)}$。
• 最有效估計式（Most Efficient Estimator）：若估計式 $\hat{\beta}$ 滿足：

1. 不偏性：$E[\hat{\beta}] = \beta$；
2. 變異數達到下界：$\operatorname{Var}(\hat{\beta}) = \operatorname{CRLB}(\beta)$； 則稱 $\hat{\beta}$ 為 $\beta$ 的最有效估計式（亦即均勻最小變異不偏估計式，UMVUE）。

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解題方法

(一) 求動差母函數及平均數與變異數

1. 推導動差母函數 $M_X(t)$： 依定義，連續型隨機變數的動差母函數為： $M_X(t) = E[e^{tX}] = \int_{0}^{\infty} e^{tx} \cdot \frac{1}{\beta} e^{-x/\beta} \, dx = \frac{1}{\beta} \int_{0}^{\infty} e^{-\left(\frac{1}{\beta} - t\right)x} \, dx$ 積分收斂條件為 $\frac{1}{\beta} - t > 0$，即 $t < \frac{1}{\beta}$。計算定積分： $M_X(t) = \frac{1}{\beta} \left[ \frac{-1}{\frac{1}{\beta} - t} e^{-\left(\frac{1}{\beta} - t\right)x} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{\beta\left(\frac{1}{\beta} - t\right)} = \frac{1}{1 - \beta t} = (1 - \beta t)^{-1}, \quad t < \frac{1}{\beta}$

2. 利用 $M_X(t)$ 求平均數 $E[X]$： 對 $t$ 微分求一階導數： $M_X'(t) = \frac{d}{dt} (1 - \beta t)^{-1} = (-1)(1 - \beta t)^{-2} \cdot (-\beta) = \beta (1 - \beta t)^{-2}$ 令 $t = 0$，得一階原點動差（平均數）： $E[X] = M_X'(0) = \beta (1 - 0)^{-2} = \beta$

3. 利用 $M_X(t)$ 求變異數 $\operatorname{Var}(X)$： 對 $t$ 再次微分求二階導數： $M_X''(t) = \frac{d}{dt} \left[ \beta (1 - \beta t)^{-2} \right] = \beta \cdot (-2)(1 - \beta t)^{-3} \cdot (-\beta) = 2\beta^2 (1 - \beta t)^{-3}$ 令 $t = 0$，得二階原點動差： $E[X^2] = M_X''(0) = 2\beta^2 (1 - 0)^{-3} = 2\beta^2$ 依變異數計算公式： $\sigma^2 = \operatorname{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 2\beta^2 - (\beta)^2 = \beta^2$

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(二) 導出 $\beta$ 的最大概似估計式 $\hat{\beta}$

1. 建立概似函數與對數概似函數： 從該母體中隨機抽取獨立同分配（i.i.d.）樣本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，其概似函數為： $L(\beta) = \prod_{i=1}^n f(x_i;\beta) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{1}{\beta} e^{-x_i/\beta} \right) = \beta^{-n} \exp\left( -\frac{1}{\beta} \sum_{i=1}^n x_i \right)$ 取自然對數得對數概似函數： $\ln L(\beta) = -n \ln \beta - \frac{1}{\beta} \sum_{i=1}^n x_i$

2. 一階條件（FOC）： 對參數 $\beta$ 偏微分並令其為 0： $\frac{\partial \ln L(\beta)}{\partial \beta} = -\frac{n}{\beta} + \frac{1}{\beta^2} \sum_{i=1}^n x_i = 0$ 同乘以 $\beta^2$： $-n\beta + \sum_{i=1}^n x_i = 0 \implies \beta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \bar{X}$

3. 二階充份條件（SOC）： 檢驗二階導數以確保其為極大值點： $\frac{\partial^2 \ln L(\beta)}{\partial \beta^2} = \frac{n}{\beta^2} - \frac{2}{\beta^3} \sum_{i=1}^n x_i$ 將 $\beta = \bar{X}$（即 $\sum_{i=1}^n x_i = n\bar{X}$）代入二階導數中： $\left. \frac{\partial^2 \ln L(\beta)}{\partial \beta^2} \right|_{\beta = \bar{X}} = \frac{n}{\bar{X}^2} - \frac{2n\bar{X}}{\bar{X}^3} = -\frac{n}{\bar{X}^2} < 0 \quad (\text{因 } x_i > 0 \implies \bar{X} > 0)$

核心觀念

本題為計量經濟學最經典且必考的基石理論——高斯－馬可夫定理（Gauss-Markov Theorem）。此題評量以下核心概念與工具：

1. BLUE 性質的定義：最佳線性不偏估計量（Best Linear Unbiased Estimator）。
2. 古典線性迴歸模型（CLRM）之高斯－馬可夫基本假設：包含參數線性、條件外生性（無偏誤）、無完全共線性（滿秩）、同質變異（Homoskedasticity）與無自我相關（No Autocorrelation）。特別注意：常態分配假設並非高斯－馬可夫定理的前提。
3. 矩陣代數在計量推導中的應用：利用矩陣表示法推導普通最小平方法（OLS）估計量的線性性、不偏性、變異數－共變異數矩陣，並利用半正定矩陣（Positive Semi-Definite Matrix）特性證明 OLS 在所有線性不偏估計量中具有最小變異數（Efficiency / Best）。

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解題方法

第一子題：高斯－馬可夫定理之定義（5 分）

高斯－馬可夫定理（Gauss-Markov Theorem）： 在滿足古典線性迴歸模型（CLRM）的高斯－馬可夫基本假設下，由普通最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）所求得之參數估計量 $\hat{\beta}$，為母體真實參數 $\beta$ 的最佳線性不偏估計量（Best Linear Unbiased Estimator, 簡稱 BLUE）。

其涵義拆解如下：

1. L（Linear, 線性）：$\hat{\beta}$ 為被解釋變數向量 $y$ 的線性組合。
2. U（Unbiased, 不偏）：$\hat{\beta}$ 的期望值等於母體真實參數向量，即 $E(\hat{\beta}) = \beta$。
3. B（Best, 最佳／最具效率）：在所有對 $\beta$ 的「線性且不偏」之估計量中，OLS 估計量具有最小的變異數－共變異數矩陣。若以 $\tilde{\beta}$ 代表任一線性不偏估計量，則其變異數矩陣之差 $\text{Var}(\tilde{\beta}|X) - \text{Var}(\hat{\beta}|X)$ 為半正定矩陣（Positive Semi-Definite），即對任意非零向量 $c$，皆滿足 $\text{Var}(c'\tilde{\beta}|X) \ge \text{Var}(c'\hat{\beta}|X)$。

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第二子題：基本假設（5 分）

在多元線性迴歸模型 $y = X\beta + \epsilon$（其中 $y$ 為 $n \times 1$，$X$ 為 $n \times k$，$\beta$ 為 $k \times 1$，$\epsilon$ 為 $n \times 1$）中，高斯－馬可夫定理所需的基本假設共四項：

1. 參數線性性與模型設定正確（Linearity in Parameters）： 母體關係式可表為矩陣形式 $y = X\beta + \epsilon$。
2. 嚴格外生性／條件期望值為零（Zero Conditional Mean of Errors）： $E(\epsilon | X) = 0$ 表示誤差項與解釋變數不相關，保證估計量的不偏性。
3. 無完全共線性／行滿秩假定（Full Rank / No Perfect Multicollinearity）： $\text{rank}(X) = k \quad (k \le n)$ 此假設確保矩陣 $X'X$ 為可逆（非奇異矩陣），使 OLS 估計量 $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'y$ 具唯一解。
4. 球形誤差項假定（Spherical Disturbances）： 誤差項在給定 $X$ 下滿足同質變異與無自我相關： $\text{Var}(\epsilon | X) = E(\epsilon \epsilon' | X) = \sigma^2 I_n$ 其中 $\sigma^2 > 0$ 為常數，$I_n$ 為 $n \times n$ 單位矩陣。該式隱含：

• 同質變異（Homoskedasticity）：$\text{Var}(\epsilon_i | X) = \sigma^2, \forall i$。
• 無自我相關（No Autocorrelation）：$\text{Cov}(\epsilon_i, \epsilon_j | X) = 0, \forall i \ne j$。

[!NOTE] 誤差項服從常態分配（$\epsilon | X \sim N(0, \sigma^2 I_n)$）不是高斯－馬可夫定理的必要假設。常態性僅在小樣本的假設檢定（$t$ 檢定、$F$ 檢定）與建構信賴區間時才需要。

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第三子題：定理之證明（15 分）

欲證明 OLS 估計量 $\hat{\beta}$ 具備 BLUE 性質，推導分為三個步驟：

步驟一：推導 OLS 估計量之線性性、不偏性與變異數矩陣

由最小平方法的一階條件可得 OLS 估計量： $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'y$

1. 線性性（Linear）： 令 $C = (X'X)^{-1}X'$（為 $k \times n$ 之矩陣），則 $\hat{\beta} = Cy$。在給定 $X$ 下，$C$ 為常數矩陣，故 $\hat{\beta}$ 為 $y$ 的線性組合。

2. 不偏性（Unbiased）： 將 $y = X\beta + \epsilon$ 代入 $\hat{\beta}$： $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'(X\beta + \epsilon) = (X'X)^{-1}X'X\beta + (X'X)^{-1}X'\epsilon = \beta + (X'X)^{-1}X'\epsilon$ 在給定 $X$ 下取條件期望值，並利用外生性假設 $E(\epsilon|X) = 0$： $E(\hat{\beta}|X) = \beta + (X'X)^{-1}X' E(\epsilon|X) = \beta$ 故 $\hat{\beta}$ 為 $\beta$ 的不偏估計量。

3. OLS 之變異數－共變異數矩陣： 由 $\hat{\beta} - \beta = (X'X)^{-1}X'\epsilon = C\epsilon$ 可得： $\text{Var}(\hat{\beta}|X) = E[(\hat{\beta} - \beta)(\hat{\beta} - \beta)' | X] = E[C\epsilon \epsilon' C' | X] = C E(\epsilon \epsilon' | X) C'$ 代入球形誤差假設 $E(\epsilon \epsilon' | X) = \sigma^2 I_n$： $\text{Var}(\hat{\beta}|X) = C (\sigma^2 I_n) C' = \sigma^2 C C' = \sigma^2 (X'X)^{-1}X' X (X'X)^{-1} = \sigma^2 (X'X)^{-1}$

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步驟二：建構任意線性的不偏估計量 $\tilde{\beta}$

設 $\tilde{\beta}$ 為母體參數 $\beta$ 的任一線性估計量，則可表示為 $y$ 的線性組合： $\tilde{\beta} = Dy$ 其中 $D$ 為 $k \times n$ 的矩陣。令 $D = C + D_0$，其中 $C = (X'X)^{-1}X'$，而 $D_0$ 為任意非零之 $k \times n$ 矩陣。

將 $y = X\beta + \epsilon$ 代入：

核心觀念

本題聚焦於計量經濟學中的微觀計量與二元選擇模型（Binary Choice Model），涉及以下核心定義與數理統計架構：

1. 二元依變數（Binary Dependent Variable）：依變數 $Y_i \in \{0, 1\}$，代表決策者「是/否」的定性選擇。
2. 潛在變數模型（Latent Variable Model）：將無法直接觀測的效用或意向設為 $Y_i^* = X_i \beta + \varepsilon_i$，當 $Y_i^* > 0$ 時觀測到 $Y_i = 1$。
3. 邏輯式累加分配函數（Logistic CDF）：假設隨機干擾項 $\varepsilon_i$ 服從標準邏輯斯分配（Standard Logistic Distribution），其累積機率為： $\Lambda(z) = \frac{e^z}{1 + e^z} = \frac{1}{1 + e^{-z}}$
4. 勝算（Odds）與對數勝算（Log-odds / Logit Transformation）：勝算為發生機率與不發生機率之比值 $\frac{P}{1 - P}$，取自然對數後與解釋變數呈線性關係。
5. 最大概似估計法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）：因依變數具二項（伯努利）分配特性且條件機率為非線性，參數估計須建立伯努利概似函數並以數值迭代求得。

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解題方法

（一）何謂邏輯式（Logit）迴歸模型？（10 分）

1. 基本定義與條件機率 邏輯式迴歸模型（Logit Regression Model）屬於二元選擇模型，旨在探討一組解釋變數 $X_i = [1, X_{i1}, X_{i2}, \dots, X_{ik}]$ 對二元結果 $Y_i \in \{0, 1\}$ 出現機率的影響。其條件機率以標準邏輯斯累積分配函數（Logistic Cumulative Distribution Function, $\Lambda(\cdot)$）表示： $P_i = P(Y_i = 1 \mid X_i) = \Lambda(X_i \beta) = \frac{e^{X_i \beta}}{1 + e^{X_i \beta}} = \frac{1}{1 + e^{-X_i \beta}}$ 其中 $\beta$ 為待估參數向量。由於對任意實數 $X_i \beta \in (-\infty, \infty)$，皆有 $0 < \Lambda(X_i \beta) < 1$，故能確保預測機率嚴格落於 $(0, 1)$ 開區間內，符合機率公理。

2. 潛在變數架構（Latent Variable Formulation） 設個體存在不可直接觀察之潛在指標變數（如淨效用）$Y_i^*$： $Y_i^* = X_i \beta + \varepsilon_i$ 觀測機制為： $Y_i = \begin{cases} 1, & \text{若 } Y_i^* > 0 \\ 0, & \text{若 } Y_i^* \le 0 \end{cases}$ 若誤差項 $\varepsilon_i$ 服從標準邏輯斯分配，其分配函數為 $F(\varepsilon) = \frac{1}{1 + e^{-\varepsilon}}$，具對稱性（$F(-\varepsilon) = 1 - F(\varepsilon)$），則： $P(Y_i = 1 \mid X_i) = P(Y_i^* > 0 \mid X_i) = P(\varepsilon_i > -X_i \beta) = 1 - F(-X_i \beta) = F(X_i \beta) = \frac{1}{1 + e^{-X_i \beta}}$

3. 勝算比與 Logit 轉換 事件發生的機率為 $P_i$，不發生的機率為 $1 - P_i = \frac{1}{1 + e^{X_i \beta}}$。定義「勝算」（Odds）為兩者比值： $\text{Odds} = \frac{P_i}{1 - P_i} = e^{X_i \beta}$ 對勝算取自然對數，即得 Logit 轉換： $\ln\left(\frac{P_i}{1 - P_i}\right) = X_i \beta = \beta_0 + \beta_1 X_{i1} + \dots + \beta_k X_{ik}$ 此式顯示 Logit 模型之本質：對數勝算（Log-odds）是解釋變數的線性函數。

4. 邊際效果（Marginal Effect） 解釋變數 $X_{ik}$ 對反應機率的偏微分（邊際效果）為非線性： $\frac{\partial P_i}{\partial X_{ik}} = \frac{d\Lambda(X_i \beta)}{d(X_i \beta)} \cdot \frac{\partial (X_i \beta)}{\partial X_{ik}} = \Lambda'(X_i \beta) \cdot \beta_k = P_i(1 - P_i)\beta_k$ 其邊際效果取決於當前評估點的機率值 $P_i$，呈典型 S 型曲線。

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（二）與傳統的迴歸模型有何差異？（5 分）

傳統迴歸模型應用於二元依變數時稱為「線性機率模型」（Linear Probability Model, LPM），以普通最小平方法（OLS）估計：$Y_i = X_i \beta + u_i$。Logit 模型與之有以下三項主要差異：

比較維度	傳統線性迴歸模型（LPM）	邏輯式迴歸模型（Logit）
預測機率範圍	$P(Y_i = 1 \mid X_i) = X_i \beta$ 為線性函數，當 $X_i$ 極大或極小時，預測值 $\hat{Y}_i$ 可能小於 0 或大於 1，違反機率公理。	透過非線性邏輯斯 CDF 轉換，將輸出值嚴格平滑限制在 $(0, 1)$ 區間內。
邊際效果假設	邊際效果為固定常數（$\frac{\partial P_i}{\partial X_{ik}} = \beta_k$），不符合現實中行為決策常見的邊際效用遞減或飽和門檻效果。	邊際效果為變數函數（$P_i(1 - P_i)\beta_k$），機率接近 0 或 1 時邊際變化微弱，機率接近 0.5 時邊際變化最大，呈現 S 型反應曲線。
誤差項分配與變異數	誤差項 $u_i$ 僅能取 $1 - X_i \beta$ 或 $-X_i \beta$，非連續常態分配；變異數為 $\text{Var}(u_i \mid X_i) = X_i \beta (1 - X_i \beta)$，本質上存在嚴重異質變異數（Heteroskedasticity）。	不依賴加法性擾動項的 OLS 假定，直接將 $Y_i \mid X_i$ 建模為伯努利分配，並透過最大概似估計法（MLE）妥善處理機率分佈。

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（三）如何估計其參數？（5 分）

Logit 模型屬於非線性模型，無法直接利用 OLS 獲得解析解，標準計量方法採用最大概似估計法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）。

1. 建立概似函數（Likelihood Function） 假設樣本量為 $n$，各觀測值 $(Y_i, X_i)$ 獨立同分配（i.i.d.）。

核心觀念

本題為計量經濟學中聯立方程式模型（Simultaneous Equations Models, SEM）​的經典題型（簡單凱因斯總體模型），核心考核重點如下：

1. 聯立方程式偏誤（Simultaneous Equation Bias）： 在聯立體系中，內生變數彼此互相決定。若直接對單一結構方程式使用普通最小平方法（OLS），解釋變數會與隨機干擾項產生相關（即內生性問題，$Cov(Y, \epsilon) \neq 0$），導致 OLS 估計量不具備不偏性（Unbiasedness）與一致性（Consistency）。
2. 結構式的認定條件（Identification Problem）：

• 階條件（Order Condition）：認定之必要條件。設體系內生變數個數為 $M$、外生變數總數為 $K$。若某結構方程式中包含 $m$ 個內生變數與 $k$ 個外生變數，則該方程式被排除的外生變數個數 $(K - k)$ 必須滿足： $K - k \ge m - 1$
• 若 $K - k = m - 1$，為恰好認定（Just Identified）。
• 若 $K - k > m - 1$，為過度認定（Overidentified）。
• 若 $K - k < m - 1$，為未認定（Underidentified）。
• 秩條件（Rank Condition）：認定之充要條件。由體系中其他方程式在「該方程式所排除之變數」上的係數所構成之子矩陣，其秩（Rank）必須等於 $M - 1$。

3. 間接最小平方法（Indirect Least Squares, ILS）： 僅適用於恰好認定的結構方程式。先將結構式求解為簡化式（Reduced Form），對簡化式進行 OLS 估計（因簡化式右側皆為外生變數，滿足 OLS 假設，估計量具備不偏與一致性），再利用結構參數與簡化參數之間的一對一對應關係，反解出結構參數。根據史拉茲基定理（Slutsky's Theorem），此估計量具備一致性，可消除聯立偏誤。

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解題方法

(一) 證明普通最小平方法（OLS）估計會產生聯立方程式上的偏誤

步驟 1：推導所得 $Y$ 的簡化式（Reduced Form）

原模型之結構式為： $C = \alpha + \beta Y + \epsilon \quad \text{（方程式 1）}$ $Y = C + I \quad \text{（方程式 2）}$

將方程式 1 代入方程式 2 中： $Y = (\alpha + \beta Y + \epsilon) + I$ $(1 - \beta)Y = \alpha + I + \epsilon$

由於 $0 < \beta < 1$，等號兩邊同除以 $(1 - \beta)$： $Y = \frac{\alpha}{1 - \beta} + \frac{1}{1 - \beta}I + \frac{1}{1 - \beta}\epsilon$

步驟 2：計算所得 $Y$ 與干擾項 $\epsilon$ 之共變異數

已知投資 $I$ 為外生變數，滿足 $Cov(I, \epsilon) = 0$；且干擾項變異數為 $Var(\epsilon) = \sigma^2 > 0$： $Cov(Y, \epsilon) = Cov\left(\frac{\alpha}{1 - \beta} + \frac{1}{1 - \beta}I + \frac{1}{1 - \beta}\epsilon, \; \epsilon\right)$ $Cov(Y, \epsilon) = \frac{1}{1 - \beta}Cov(I, \epsilon) + \frac{1}{1 - \beta}Var(\epsilon) = 0 + \frac{\sigma^2}{1 - \beta} = \frac{\sigma^2}{1 - \beta}$

因為 $0 < \beta < 1$ 且 $\sigma^2 > 0$，故： $Cov(Y, \epsilon) = \frac{\sigma^2}{1 - \beta} > 0$

步驟 3：推導 OLS 估計量的偏誤

若直接以 OLS 估計消費函數 $C = \alpha + \beta Y + \epsilon$，其斜率估計量為： $\hat{\beta}_{OLS} = \frac{\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})(C_i - \bar{C})}{\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2} = \beta + \frac{\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})\epsilon_i}{\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2}$

取機率極限（Probability Limit, plim）： $\text{plim } \hat{\beta}_{OLS} = \beta + \frac{\text{plim } \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})\epsilon_i}{\text{plim } \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2} = \beta + \frac{Cov(Y, \epsilon)}{Var(Y)}$ $\text{plim } \hat{\beta}_{OLS} = \beta + \frac{\frac{\sigma^2}{1 - \beta}}{Var(Y)} > \beta$

因 $Cov(Y, \epsilon) > 0$，解釋變數 $Y$ 違反了外生性假定（即 $E(Y\epsilon) \neq 0$）。在小樣本下，$E[\hat{\beta}_{OLS}] \neq \beta$（存在偏誤）；在大樣本下，$\text{plim } \hat{\beta}_{OLS} \neq \beta$（不具一致性，且呈現向上高估的聯立偏誤）。故得證 OLS 會產生聯立方程式偏誤。

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(二) 使用階（order）與秩（rank）條件判斷結構係數 $(\alpha, \beta)$ 的認定

將原結構方程式改寫為標準隱函數矩陣形式，將所有變數移至等號左側：

• 內生變數（Endogenous variables）：$C, Y$（總數 $M = 2$）
• 外生變數（Exogenous/Predetermined variables）：常數項 $1$、外生投資 $I$（總數 $K = 2$）

聯立結構式整理如下： $\text{方程式 1（消費）：} \quad 1\cdot C - \beta\cdot Y - \alpha\cdot 1 - 0\cdot I = \epsilon$ $\text{方程式 2（所得）：} \quad -1\cdot C + 1\cdot Y - 0\cdot 1 - 1\cdot I = 0$

結構係數表如下：

$$\begin{array}{c|cc|cc} \hline \text{方程式} & C & Y & 1 & I \\ \hline \text{方程式 1} & 1 & -\beta & -\alpha & 0 \\ \text{方程式 2} & -1 & 1 & 0 & -1 \\ \hline \end{array}$$

針對欲認定的方程式 1（結構係數為 $\alpha, \beta$）進行檢定：

1. 階條件（Order Condition，必要條件）：

• 方程式 1 包含的內生變數為 $C, Y$，故 $m_1 = 2$。
• 方程式 1 包含的外生變數為截距項 $1$，故 $k_1 = 1$。
• 方程式 1 所排除的外生變數個數為： $K - k_1 = 2 - 1 = 1$
• 方程式 1 所需的最小排除數為： $m_1 - 1 = 2 - 1 = 1$
• 比較兩者大小： $K - k_1 = m_1 - 1 \quad (1 = 1)$ 因此，方程式 1 滿足階條件的恰好認定（Just Identified）。

2. 秩條件（Rank Condition，充要條件）：

• 劃去方程式 1 所在的列，並僅保留「方程式 1 所排除之變數」對應的行。
• 方程式 1 排除的外生變數為 $I$（係數為 $0$）。
• 由其餘方程式（方程式 2）在排除變數 $I$ 上的係數構成子矩陣 $A_1$： $A_1 = [-1]$
• 計算子矩陣 $A_1$ 之秩（Rank）： $\text{rank}(A_1) = 1$
• 依據秩條件準則，方程式 1 具備認定的充要條件為 $\text{rank}(A_1) = M - 1 = 2 - 1 = 1$。
• 由於 $\text{rank}(A_1) = 1 = M - 1$ 成立，方程式 1 通過秩條件檢驗。

結論：方程式 1 同時滿足階條件與秩條件，結構參數 $(\alpha, \beta)$ 為恰好認定（Just Identified），存在唯一的數值解。

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(三) 利用間接最小平方法（ILS）估計參數，並說明避免偏誤之原因

1. 導出簡化式（Reduced Form）