110 高普考高考二級 經建行政(一般組) 數量方法（包括計量經濟學與數理統計） 考古題詳解

核心觀念

本題考兩個觀念：第一，含落後期應變數的迴歸中，最小平方法斜率估計量是否不偏；第二，若 $y_t$ 與 $y_{t-1}$ 同分配，如何由穩定的變異數關係判定迴歸係數。

令 $x_t=\log(y_{t-1})$、$z_t=\log(y_t)$，模型可寫成 $z_t=\alpha_0+\alpha_1x_t+u_t$。斜率估計量為

因此，估計量是否不偏，關鍵在於分子中解釋變數與誤差項的關係。誤差項彼此獨立，並不等於誤差項與落後期解釋變數獨立。

（一）$\hat{\alpha}_1$ 是否不偏

將模型對 $x_t$ 做最小平方法，可得上述斜率估計量。若分母不為零，則在給定解釋變數的條件下，

要使斜率估計量條件不偏，通常須有嚴格外生性：

但本題的解釋變數 $x_t=\log(y_{t-1})$ 含有過去的應變數，而 $y_{t-1}$ 又由過去的誤差項決定。例如，

所以 $x_t$ 含有 $u_{t-1}$。雖然題目假設 $u_t$ 為 i.i.d.，因此 $u_t$ 與較早期的誤差項 $u_{t-1}$ 不相關，但這不足以保證每一期的誤差項都與整組解釋變數獨立：例如 $x_{t+1}$ 含有 $u_t$。故不能直接套用固定解釋變數或嚴格外生性的結果，斷言有限樣本下 $\hat{\alpha}_1$ 不偏。

結論

依題目所給條件，無法證明 $\hat{\alpha}_1$ 不偏；其有限樣本不偏性一般不成立。即使誤差項為 i.i.d. 且平均數為零，仍未提供使斜率估計量不偏所需的嚴格外生性條件。若另行假設解釋變數嚴格外生，則可由 $E(\hat{\alpha}_1\mid x_1,\ldots,x_T)=\alpha_1$ 得到不偏性；但這不是本題的落後期應變數設定所能直接保證的。

核心觀念

本題考查隨機前緣模型中的組合誤差分解。已知 $\varepsilon=v-u$，其中 $v$ 為常態隨機變數、$u\geq 0$ 為半常態隨機變數，且兩者獨立。求條件密度時使用貝氏公式：

由 $\varepsilon=v-u$ 可得 $v=\varepsilon+u$，且對固定的 $u$，變數轉換的雅可比絕對值為 $1$。

解題方法與推導

由 $v$ 與 $u$ 獨立，聯合密度為

其中 $u\geq 0$。代入半常態密度與 $v\sim N(0,\sigma_v^2)$ 的密度：

因此，

為整理分子中的指數項，使用 $\phi(z)=(2\pi)^{-1/2}\exp(-z^2/2)$。兩個常態密度的指數部分滿足

其中

所以條件密度可寫成截斷於 $u\geq 0$ 的常態密度：

核心觀念

本題考驗兩個迴歸檢定：以 Chow 檢定比較不同所得群的支出函數是否相同，以及以 $t$ 檢定判斷全體樣本的支出彈性是否等於指定值。

因應變數與自變數均取自然對數，模型為

其中斜率 $\beta_1$ 是所得彈性。若三群支出函數相同，代表各群的截距與斜率都相同，因此須同時檢定兩項參數限制。

（一）檢定三個所得群的支出函數是否相同

解題方法

使用 Chow 檢定，比較「三群分別估計」的非限制模型與「全體樣本共用一條迴歸線」的限制模型。

簡單迴歸含截距與斜率，每群估計 2 個參數。非限制模型的殘差平方和為各群殘差變異數乘以各群殘差自由度，再加總：

代入題目資料：

全體樣本迴歸的殘差平方和為：

虛無假設為三群的截距、斜率均相同：

共有 $q=2(3-1)=4$ 個限制。Chow 檢定統計量為：

其中非限制模型共估計 $3\times2=6$ 個參數，故分母自由度為 $256-6=250$。因此：

題示 5% 臨界值為 $2.37$。因為 $15.84>2.37$，拒絕虛無假設。三個所得群的支出函數並不相同。

（二）Chow 檢定的前提假設

檢定成立須假設：

1. 各群的誤差項相互獨立，且模型設定正確。
2. 各群誤差項均為常態分配、期望值為零。
3. 各群誤差項具有相同變異數，即同質變異數。
4. 若虛無假設成立，各群共用相同的截距與斜率；解讀此檢定時，需注意其核心比較是各群參數是否相同。

核心觀念

本題考查多元線性迴歸中，利用離均差平方和與交乘和求斜率最小平方法估計值，以及檢定兩個斜率係數的線性限制。

由於 $y_i$、$x_{i2}$、$x_{i3}$ 均取自然對數，$\beta_2$ 與 $\beta_3$ 分別是勞動與資本的產出彈性；$\beta_2+\beta_3$ 是規模報酬指數。固定規模報酬的條件為 $\beta_2+\beta_3=1$。

解題方法

（一）求 $\beta_2$ 與 $\beta_3$ 的最小平方估計值

含截距的多元迴歸斜率估計量可用離均差形式求得：

代入題目數值：

係數矩陣的行列式為 $12(12)-8(8)=80$，因此

故

（二）檢定是否為固定規模報酬

設定雙尾檢定：

估計的係數和為

核心觀念

本題考查誤差項具有一階自我迴歸結構時，普通最小平方法（OLS）的性質、廣義最小平方法（GLS）的模型轉換、誤差自我迴歸係數的一致性估計、Durbin–Watson（DW）統計量，以及含落後應變數模型中的自我相關檢定陷阱。

模型為

以下採用穩定的一階自我迴歸誤差設定 $|\rho|<1$，並假設 $u_t$ 為平均數零、變異數固定且彼此不相關的白噪音；解釋變數符合外生性及其他高斯—馬可夫假設。題目只寫 $\rho<1$，但要確保 AR(1) 誤差過程穩定，完整條件是 $|\rho|<1$。

（一）OLS 是否為 BLUE？如何轉換模型？

由誤差遞迴式可知，不同期間的誤差彼此相關。例如在平穩 AR(1) 設定下，

因此，原始模型的誤差不符合「不同觀測值的誤差不相關」條件。直接以 OLS 估計時，若解釋變數仍外生，估計量可保持線性不偏，但不再具有效率最佳性，故不具 BLUE 性質。

要消除誤差的一階自我相關，將原模型在 $t-1$ 期乘以 $\rho$，再由 $t$ 期方程式減去：

轉換後的誤差為 $u_t$，依白噪音假設彼此不相關且變異數固定；因此在其他高斯—馬可夫假設成立時，對轉換後模型使用 OLS，即等同以 GLS 估計原模型，可得到 BLUE 估計量。

實務上 $\rho$ 通常未知，先以殘差估計 $\rho$，再以 $\hat\rho$ 代入轉換式並估計，稱為可行廣義最小平方法（FGLS）。

（二）證明 $\hat\rho$ 為一致估計式

OLS 殘差可寫成

在解釋變數外生、模型正確設定且 OLS 係數一致的條件下，估計係數與真實係數之差趨近於零。因此，殘差中的估計誤差項漸近可忽略，樣本殘差的自我迴歸比率漸近等同於真實誤差的比率：

由 AR(1) 誤差式 $\varepsilon_t=\rho\varepsilon_{t-1}+u_t$，

白噪音 $u_t$ 與過去誤差 $\varepsilon_{t-1}$ 不相關，所以 $\operatorname{E}(u_t\varepsilon_{t-1})=0$。因此