113 高普考高考二級 經建行政(一般組) 數量方法（包括計量經濟學與數理統計） 考古題詳解

核心觀念

本題考樣本平均數的期望值與變異數。令 $Y_1,\ldots,Y_N$ 為來自同一常態母體的隨機樣本，則各樣本獨立且同分布，滿足

$$E(Y_i)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(Y_i)=\sigma^2.$$

樣本平均數是線性組合：

$$\bar Y=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}Y_i.$$

期望值具有線性性；若樣本彼此獨立，和的變異數等於各變異數之和。由於常態隨機變數的線性組合仍為常態，因此 $\bar Y$ 也服從常態分布。

解題方法

（一）樣本平均數的平均值

利用期望值的線性性：

$$\begin{aligned} E(\bar Y) &=E\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}Y_i\right)\\ &=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}E(Y_i)\\ &=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\mu\\ &=\frac{1}{N}(N\mu)\\ &=\mu. \end{aligned}$$

因此，樣本平均數的平均值等於母體平均數。

（二）樣本平均數的變異數

先將常數提出變異數：

$$\operatorname{Var}(\bar Y) =\operatorname{Var}\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}Y_i\right) =\frac{1}{N^2}\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{N}Y_i\right).$$

由於樣本彼此獨立，樣本間的共變異數為 $0$，故

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸模型的普通最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）。OLS 選擇常數項與斜率項，使樣本中「實際觀察值與模型預測值之差」的平方和最小。

模型為

$$Y_i=a+bX_i+e_i,\qquad i=1,2,\ldots,N,$$

其中，$Y_i$ 是第 $i$ 筆觀察值的被解釋變數，$X_i$ 是解釋變數，$a$ 是截距，$b$ 是斜率，$e_i$ 是誤差項，$N$ 是觀察值總數。估計後，以 $\hat a,\hat b$ 表示係數估計值，殘差為

$$\hat e_i=Y_i-\hat a-\hat bX_i.$$

解題方法

建立殘差平方和的最小化問題，分別對待估計係數 $a$、$b$ 微分並令一階導數為零，得到兩個正規方程式；再聯立求出 $\hat a$ 與 $\hat b$。

（一）OLS 最佳化問題

模型在係數 $a,b$ 下對第 $i$ 筆觀察值的預測值為 $a+bX_i$，因此該筆觀察值的殘差為 $Y_i-a-bX_i$。OLS 的最佳化問題是

$$\min_{a,b}\ S(a,b) =\min_{a,b}\sum_{i=1}^{N}(Y_i-a-bX_i)^2,$$

其中：

• $S(a,b)$：殘差平方和（Sum of Squared Residuals, SSR）。
• $Y_i-a-bX_i$：第 $i$ 筆觀察值的殘差。
• $a,b$：待估計的常數項與斜率項。
• $N$：橫斷面觀察值數目。

（二）推導一階必要條件

將目標函數寫為

$$S(a,b)=\sum_{i=1}^{N}(Y_i-a-bX_i)^2.$$

對 $a$ 偏微分，依鏈鎖律得

$$\frac{\partial S}{\partial a} =\sum_{i=1}^{N}2(Y_i-a-bX_i)(-1) =-2\sum_{i=1}^{N}(Y_i-a-bX_i).$$

令其等於零，得到

$$\frac{\partial S}{\partial a}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{i=1}^{N}(Y_i-a-bX_i)=0.$$

對 $b$ 偏微分，得

$$\frac{\partial S}{\partial b} =\sum_{i=1}^{N}2(Y_i-a-bX_i)(-X_i) =-2\sum_{i=1}^{N}X_i(Y_i-a-bX_i).$$

令其等於零，得到

$$\frac{\partial S}{\partial b}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{i=1}^{N}X_i(Y_i-a-bX_i)=0.$$

因此，一階必要條件（正規方程式）為

$$\sum_{i=1}^{N}Y_i-Na-b\sum_{i=1}^{N}X_i=0,$$

核心觀念

本題考查複迴歸模型中，如何檢定一組解釋變數是否應共同納入模型。要判斷 $X_4$、$X_5$ 是否具有聯合解釋力，應使用部分 $F$ 檢定（聯合顯著性檢定），而不是只看兩個係數各自的 $t$ 檢定。

設定虛無假設與對立假設如下：

$$H_0:b_4=b_5=0$$ $$H_1:\text{$b_4$、$b_5$ 至少有一個不為 $0$}$$

虛無假設代表在控制 $X_1,X_2,X_3$ 後，$X_4$、$X_5$ 整體上沒有額外解釋力；對立假設則表示兩者至少有一個有助於解釋 $Y$。

解題方法與檢定步驟

1. 估計受限模型與非受限模型

受限模型依 $H_0$ 將 $b_4=b_5=0$：

$$Y_i=a+b_1X_{1i}+b_2X_{2i}+b_3X_{3i}+e_i$$

非受限模型則保留全部五個解釋變數：

$$Y_i=a+b_1X_{1i}+b_2X_{2i}+b_3X_{3i} +b_4X_{4i}+b_5X_{5i}+e_i$$

2. 計算兩模型的殘差平方和

令 $SSR_R$ 為受限模型的殘差平方和，$SSR_U$ 為非受限模型的殘差平方和。因為非受限模型包含受限模型的所有變數，故 $SSR_U\leq SSR_R$。

3. 計算部分 $F$ 統計量

本題有 $q=2$ 個限制；非受限模型估計 $6$ 個參數（截距及五個斜率），因此殘差自由度為 $N-6$。檢定統計量為：

$$F=\frac{(SSR_R-SSR_U)/q}{SSR_U/(N-6)} =\frac{(SSR_R-SSR_U)/2}{SSR_U/(N-6)}$$

核心觀念

本題考查自我迴歸模型的單根與非定態時間序列，以及單根對迴歸推論的影響和單根檢定的操作。模型為

$$Y_t=\beta_0+\beta_1Y_{t-1}+e_t.$$

若誤差項為白噪音，且 $|\beta_1|<1$，序列會回復至長期平均數，屬於定態序列。當 $\beta_1=1$ 時，模型含有單根，序列通常為非定態。

（一）何謂單根？

將模型改寫為一階差分形式：

$$\Delta Y_t=Y_t-Y_{t-1} =\beta_0+(\beta_1-1)Y_{t-1}+e_t.$$

檢定是否有單根，等價於檢定 $Y_{t-1}$ 的係數是否為零，也就是檢定 $\beta_1=1$。

更一般地，若時間序列可用滯後算子表示為 $A(L)Y_t=e_t$，其中 $L Y_t=Y_{t-1}$，當特徵方程 $A(z)=0$ 在 $z=1$ 有根時，稱序列具有單根。對本題的一階自我迴歸模型而言，特徵方程為 $1-\beta_1 z=0$；當 $\beta_1=1$ 時，根位於 $z=1$。

此時模型成為

$$\Delta Y_t=\beta_0+e_t.$$

若 $\beta_0=0$，$Y_t$ 是隨機漫步；若 $\beta_0\ne 0$，則為帶漂移的隨機漫步。兩者都表示水準值會累積過去的隨機衝擊，衝擊不會隨時間消退，故變異數通常隨時間增加，序列不具定態性。若一階差分 $\Delta Y_t$ 定態，則稱 $Y_t$ 為一階整合，記為 $I(1)$。

（二）單根造成的迴歸估計問題

1. 傳統定態假設不成立：序列的平均數、變異數或共變異數可能隨時間改變，違反傳統迴歸分析常用的定態假設。

2. 可能出現假性迴歸：兩個彼此沒有實質關係的非定態序列，直接以水準值迴歸，仍可能得到高 $R^2$、顯著的 $t$ 值及 $F$ 值，造成錯誤的因果或關聯判斷。

3. 傳統檢定分配不適用：在非定態情況下，估計量及檢定統計量通常不服從一般迴歸所假設的標準 $t$、$F$ 分配，因此依傳統臨界值進行推論會失準。

4. 估計與預測不穩定：衝擊具有持續效果，樣本期間或趨勢變動可能明顯影響估計結果；以水準值進行迴歸或預測時，結果也可能不具穩定性。

處理時應先檢定單根；若序列為 $I(1)$，可考慮使用差分後的定態序列進行分析。若多個非定態序列存在共整合關係，則可用共整合模型保留其長期均衡資訊。

（三）以擴增 Dickey–Fuller 檢定（ADF）檢定單根