111 高普考高考二級 經建行政(一般組) 數量方法(包括計量經濟學與數理統計) 考古題詳解

核心觀念

本題評量機率論（Probability Theory）最基礎且最重要的兩大事件關係：事件互斥（Mutually Exclusive） 與 事件獨立（Independent） 之定義、幾何意義與代數推導。

1. 事件互斥（互不相容）： 兩事件 $A$ 與 $B$ 不可能同時發生，即交集為空集合： $A \cap B = \emptyset \implies P(A \cap B) = P(\emptyset) = 0$

2. 事件獨立（統計獨立）： 事件 $A$ 的發生與否完全不影響事件 $B$ 發生的機率，定義式為： $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ 等價於條件機率形式（在 $P(B) > 0$ 時）： $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A)$

3. 機率運算基本性質與笛摩根定律（De Morgan's Laws）：

• 補事件性質：$P(A^c) = 1 - P(A)$
• 加法公理：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• 笛摩根定律：$A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$

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解題方法與嚴謹推導

（一）若 $A$ 與 $B$ 為互斥事件，兩者是否為獨立？

切入點：直接檢驗「互斥條件下的交集機率」與「獨立所需之乘積機率」是否相等。

1. 依題目假設，$P(A) > 0$ 且 $P(B) > 0$。兩者之乘積必嚴格大於零： $P(A)P(B) > 0$
2. 由 $A$ 與 $B$ 互斥（$A \cap B = \emptyset$），根據機率公理可得： $P(A \cap B) = 0$
3. 比對獨立性的定義式： $P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B)$ 因等式不成立，故 $A$ 與 $B$ 不為獨立事件（兩者相依，Dependent）。

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（二）若 $A$ 與 $B$ 為獨立事件，$A^c$ 與 $B^c$ 是否為獨立？

切入點：由已知條件 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ 出發，推導 $P(A^c \cap B^c)$ 是否恆等於 $P(A^c)P(B^c)$。

1. 利用集合論笛摩根定律將補集合之交集轉換為聯集之補集： $A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$
2. 利用餘事件（補集）機率公式： $P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$
3. 代入機率加法定理展開 $P(A \cup B)$： $P(A^c \cap B^c) = 1 - \big[ P(A) + P(B) - P(A \cap B) \big]$
4. 帶入已知條件（$A$ 與 $B$ 獨立，即 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$）：

核心觀念

本題評量數理統計學（Mathematical Statistics）的兩大基石概念：隨機變數的變數變換（Transformation of Random Variables） 與 次序統計量（Order Statistics）的抽樣分配。

1. 單變數變數變換：

• CDF 法（Distribution Function Technique）：利用定義 $F_Z(z) = P(Z \le z)$ 展開後對 $z$ 微分求得機率密度函數 $f_Z(z)$。
• 變換定理（Jacobian Technique）：若 $g(y)$ 為嚴格單調函數（Monotone function），則其轉換後之機率密度函數為： $f_Z(z) = f_Y(g^{-1}(z)) \cdot \left| \frac{d}{dz} g^{-1}(z) \right|$
• 核心關鍵在於常數 $a \ne 0$ 時，必須依 $a > 0$ 與 $a < 0$ 討論不等號反轉問題，其斜率之導數必帶有絕對值 $\frac{1}{|a|}$。

2. 隨機樣本與次序統計量：

• 隨機樣本 $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ 意指 $n$ 個**獨立且同分配（independent and identically distributed, i.i.d.）**之隨機變數。
• 最大次序統計量（Largest order statistic）定義為樣本中的最大觀測值，記為 $Y_{(n)} = \max(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n)$。

3. 極值次序統計量之分配：

• 事件 $\{Y_{(n)} \le y\}$ 與事件 $\{\text{所有的 } Y_i \le y, \forall i=1,\ldots,n\}$ 等價。
• 利用樣本的獨立同分配（i.i.d.）性質，將聯合機率拆解為個別邊際機率的連乘積求得累積分配函數 $F_{Y_{(n)}}(y)$，再透過微積分連鎖律求導得其機率密度函數 $f_{Y_{(n)}}(y)$。

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解題方法

（一）求隨機變數 $Z = aY + b$ 之機率密度函數 $f_Z(z)$

方法一：累積分配函數法（CDF Technique，最嚴謹之推導）

由連續型隨機變數之累積分配函數定義： $F_Z(z) = P(Z \le z) = P(aY + b \le z) = P(aY \le z - b)$

由於 $a \ne 0$，依 $a$ 的正負符號分兩情況討論：

1. 當 $a > 0$ 時： $F_Z(z) = P\left(Y \le \frac{z - b}{a}\right) = F_Y\left(\frac{z - b}{a}\right)$ 兩邊對 $z$ 微分，由微積分連鎖律可得： $f_Z(z) = \frac{d}{dz} F_Z(z) = f_Y\left(\frac{z - b}{a}\right) \cdot \frac{d}{dz}\left(\frac{z - b}{a}\right) = \frac{1}{a} f_Y\left(\frac{z - b}{a}\right)$

2. 當 $a < 0$ 時（不等號方向改變）： $F_Z(z) = P\left(Y \ge \frac{z - b}{a}\right) = 1 - P\left(Y < \frac{z - b}{a}\right)$ 因為 $Y$ 為連續型隨機變數，單點機率為零，即 $P\left(Y < \frac{z - b}{a}\right) = P\left(Y \le \frac{z - b}{a}\right) = F_Y\left(\frac{z - b}{a}\right)$，故： $F_Z(z) = 1 - F_Y\left(\frac{z - b}{a}\right)$ 兩邊對 $z$ 微分可得： $f_Z(z) = \frac{d}{dz} F_Z(z) = - f_Y\left(\frac{z - b}{a}\right) \cdot \frac{d}{dz}\left(\frac{z - b}{a}\right) = - f_Y\left(\frac{z - b}{a}\right) \cdot \frac{1}{a} = -\frac{1}{a} f_Y\left(\frac{z - b}{a}\right)$ 由於此時 $a < 0$，$-\frac{1}{a} = \frac{1}{|a|}$。

綜合上述兩者，對任意 $a \ne 0$，隨機變數 $Z$ 的機率密度函數為： $f_Z(z) = \frac{1}{|a|} f_Y\left(\frac{z - b}{a}\right)$

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方法二：變換法（Transformation Method，快速作答法）

令轉換函數為 $z = g(y) = ay + b$。 因為 $a \ne 0$，$g(y)$ 為 $y$ 的嚴格單調函數（嚴格遞增或嚴格遞減），其反函數存在且為： $y = g^{-1}(z) = \frac{z - b}{a}$ 計算 Jacobian 絕對值： $|J| = \left| \frac{dy}{dz} \right| = \left| \frac{d}{dz}\left(\frac{z - b}{a}\right) \right| = \left| \frac{1}{a} \right| = \frac{1}{|a|}$ 代入變數變換公式： $f_Z(z) = f_Y(g^{-1}(z)) \cdot |J| = \frac{1}{|a|} f_Y\left(\frac{z - b}{a}\right)$

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（二）最大次序統計量（Largest Order Statistic）之定義

核心觀念

本題出自典型二元選擇模型（Binary Choice Model）中的羅吉斯迴歸模型（Logistic Regression / Logit Model），屬於廣義線性模型（Generalized Linear Models, GLM）的範疇。涉及之核心觀念包括：

1. 對數勝算（Log-odds / Logit）與勝算比（Odds Ratio, OR）：$\pi_i / (1 - \pi_i)$ 定義為事件發生的「勝算（Odds）」，對其取自然對數即為 Logit 連結函數（Link function）。
2. 伯努利分配與概似函數（Likelihood Function）：利用相互獨立的伯努利隨機變數之聯合機率質量函數建構樣本概似函數。
3. 最大概似估計法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）：透過最大化對數概似函數求得一階條件（Score Equations / FOC）。
4. 非線性聯立方程與數值最佳化：由於一階條件無法解析求出封閉解（Closed-form solution），需透過牛頓-拉弗森法（Newton-Raphson Method）或反覆加權最小平方法（IRLS）進行數值求解，並藉由 Hessian 矩陣之負定性確認全域最大值。

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解題方法

（一）$\alpha$ 與 $\beta$ 的意涵

由題目設定：

$$\log\left(\frac{\pi_i}{1-\pi_i}\right) = \alpha + \beta x_i$$

其中 $\frac{\pi_i}{1-\pi_i}$ 為反應變數發生（$Y_i=1$）相對於不發生（$Y_i=0$）的勝算（Odds），$\log\left(\frac{\pi_i}{1-\pi_i}\right)$ 稱為對數勝算（Log-odds）。

1. 截距項 $\alpha$ 的意涵：

• 當解釋變數 $x_i = 0$ 時，事件發生的對數勝算（Log-odds）基準值，即 $\log\left(\frac{\pi_i}{1-\pi_i}\right) = \alpha$。
• 此時對應的勝算值（Odds）為 $e^\alpha$。

2. 斜率項 $\beta$ 的意涵：

• 邊際效應觀點（對數勝算變化量）：當解釋變數 $x_i$ 每增加 1 單位時，事件發生的對數勝算（Log-odds）之增減量為 $\beta$，即：

$$\frac{\partial \log\left(\frac{\pi_i}{1-\pi_i}\right)}{\partial x_i} = \beta$$

• 勝算比（Odds Ratio, OR）觀點：當 $x_i$ 每增加 1 個單位時，事件發生的勝算會變為原本的 $e^\beta$ 倍。

$$\text{OR} = \frac{\text{Odds}(x_i + 1)}{\text{Odds}(x_i)} = \frac{e^{\alpha + \beta(x_i + 1)}}{e^{\alpha + \beta x_i}} = e^\beta$$

• 若 $\beta > 0$（即 $e^\beta > 1$），表示 $x_i$ 增加會提高事件發生的勝算；
• 若 $\beta < 0$（即 $e^\beta < 1$），表示 $x_i$ 增加會降低事件發生的勝算；
• 若 $\beta = 0$（即 $e^\beta = 1$），表示 $x_i$ 與事件發生的勝算相互獨立。

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（二）此模型對應的概似函數（Likelihood Function）

1. 單一觀察值之機率質量函數（PMF）： 因 $Y_i \sim \operatorname{Bernoulli}(\pi_i)$，其機率質量函數為：

$$P(Y_i = y_i) = \pi_i^{y_i} (1-\pi_i)^{1-y_i}, \quad y_i \in \{0, 1\}$$

2. 參數轉化： 將對數勝算關係式轉換為機率 $\pi_i$ 與 $1-\pi_i$ 的表示式：

$$\frac{\pi_i}{1-\pi_i} = e^{\alpha + \beta x_i} \implies \pi_i = \frac{e^{\alpha + \beta x_i}}{1 + e^{\alpha + \beta x_i}} = \frac{1}{1 + e^{-(\alpha + \beta x_i)}}$$ $$1 - \pi_i = \frac{1}{1 + e^{\alpha + \beta x_i}}$$

3. 概似函數（Likelihood Function）建立： 因 $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ 為相互獨立的隨機變數，樣本的聯合概似函數 $L(\alpha, \beta)$ 為各個邊際機率之連乘積：

$$L(\alpha, \beta) = \prod_{i=1}^n P(Y_i = y_i) = \prod_{i=1}^n \pi_i^{y_i} (1-\pi_i)^{1-y_i}$$

將 $\pi_i$ 與 $1-\pi_i$ 代入，得：

$$L(\alpha, \beta) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{e^{\alpha + \beta x_i}}{1 + e^{\alpha + \beta x_i}} \right)^{y_i} \left( \frac{1}{1 + e^{\alpha + \beta x_i}} \right)^{1-y_i} = \prod_{i=1}^n \frac{e^{y_i(\alpha + \beta x_i)}}{1 + e^{\alpha + \beta x_i}}$$

亦可整理為指數型式：

$$L(\alpha, \beta) = \exp\left\{ \sum_{i=1}^n y_i(\alpha + \beta x_i) \right\} \prod_{i=1}^n \left( 1 + e^{\alpha + \beta x_i} \right)^{-1}$$

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（三）推導 $\alpha$ 與 $\beta$ 的最大概似估計值（MLE）

1. 建立對數概似函數（Log-Likelihood Function）： 對概似函數取自然對數 $\ln L(\alpha, \beta)$：

$$\ln L(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^n \left[ y_i \ln \pi_i + (1-y_i)\ln(1-\pi_i) \right]$$

將其改寫為：

$$\ln L(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^n \left[ y_i \ln\left(\frac{\pi_i}{1-\pi_i}\right) + \ln(1-\pi_i) \right]$$

代入 $\ln\left(\frac{\pi_i}{1-\pi_i}\right) = \alpha + \beta x_i$ 及 $\ln(1-\pi_i) = -\ln(1 + e^{\alpha + \beta x_i})$：

$$\ln L(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^n \left[ y_i (\alpha + \beta x_i) - \ln\left(1 + e^{\alpha + \beta x_i}\right) \right]$$

2. 一階條件（First-Order Conditions, FOC）： 對待估參數 $\alpha$ 與 $\beta$ 分別求偏微分，並令其為 0：

• 對 $\alpha$ 偏微分：

$$\frac{\partial \ln L}{\partial \alpha} = \sum_{i=1}^n \left[ y_i - \frac{e^{\alpha + \beta x_i}}{1 + e^{\alpha + \beta x_i}} \right] = \sum_{i=1}^n (y_i - \pi_i) = 0$$

• 對 $\beta$ 偏微分：

核心觀念

本題為計量經濟學中**二元選擇模型（Binary Choice Models）**的經典試題，測驗核心包括：

1. 線性機率模型（Linear Probability Model, LPM）的本質與缺點：

• 二元應變數的條件期望值即為發生機率：$E(y|\mathbf{x}) = P(y=1|\mathbf{x})$。
• 以普通最小平方法（OLS）估計 LPM 面臨的四大缺陷：預測機率超出 $[0, 1]$ 區間、內生異質變異性（Inherent Heteroskedasticity）、干擾項非常態性（Non-normality）、邊際效果為常數的線性假設不合理。

2. 多項式與交乘項迴歸係數之經濟意涵與邊際效果（Marginal Effect）：

• 連續變數之邊際效果：微積分偏微分求導 $\frac{\partial P(y=1|\mathbf{x})}{\partial x_j}$。
• 二次項（$wage^2$）捕捉非線性門檻或遞增／遞減效果。
• 虛擬變數交乘項（$D_f \times age$）捕捉不同群體（性別）之間邊際斜率的差異。

3. 模型修正與非線性估計方法：

• 採用機率累積分配函數（CDF）轉換：Logit 模型（Logistic 分配）與 Probit 模型（標準常態分配）。
• 估計方法：最大概似估計法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）及其數值迭代求解（如 Newton-Raphson 法）。

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解題方法

（一）LPM 的命名原因與 OLS 估計缺點

1. 稱為「線性機率模型（LPM）」之原因： 當應變數 $y$ 為二元變數（$y \in \{0, 1\}$）時，在給定解釋變數條件下，$y$ 的條件期望值本質上等於事件發生的條件機率：

$$E(y|\mathbf{x}) = 1 \cdot P(y=1|\mathbf{x}) + 0 \cdot P(y=0|\mathbf{x}) = P(y=1|\mathbf{x})$$

若採用線性迴歸設定，令 $E(y|\mathbf{x}) = \mathbf{x}\boldsymbol{\beta}$，則事件發生（轉職）的機率被設定為解釋變數的「線性函數」：

$$P(y=1|\mathbf{x}) = \alpha + \beta_1 exper + \beta_2 wage + \cdots$$

因此，此類將反應機率直接設定為參數與解釋變數之線性組合的模型，通稱為「線性機率模型」（Linear Probability Model, LPM）。

2. 直接以最小平方法（OLS）估計之缺點：

• 預測機率超出常理區間（非限制性）： 機率值理論上必須落在 $[0, 1]$ 區間內。但 OLS 為無限制的線性外推，對於極端的解釋變數取值，其配適值或預測機率 $\hat{y} = \hat{P}(y=1|\mathbf{x})$ 可能小於 $0$ 或大於 $1$，違反機率公理。
• 先天存在異質變異性（Inherent Heteroskedasticity）： 由於 $y$ 僅取值 $0$ 或 $1$，隨機干擾項 $e = y - \mathbf{x}\boldsymbol{\beta}$ 僅有兩種可能取值：
• 當 $y=1$ 時，$e = 1 - \mathbf{x}\boldsymbol{\beta}$，發生機率為 $p = \mathbf{x}\boldsymbol{\beta}$；
• 當 $y=0$ 時，$e = -\mathbf{x}\boldsymbol{\beta}$，發生機率為 $1 - p = 1 - \mathbf{x}\boldsymbol{\beta}$。 干擾項的條件變異數為：

$$\mathrm{Var}(e|\mathbf{x}) = E(e^2|\mathbf{x}) = (1 - \mathbf{x}\boldsymbol{\beta})^2(\mathbf{x}\boldsymbol{\beta}) + (-\mathbf{x}\boldsymbol{\beta})^2(1 - \mathbf{x}\boldsymbol{\beta}) = (\mathbf{x}\boldsymbol{\beta})(1 - \mathbf{x}\boldsymbol{\beta})$$

變異數直接取決於解釋變數 $\mathbf{x}$，違反高斯—馬可夫（Gauss-Markov）同質變異假設。此時 OLS 估計量雖具不偏性與一致性，但不再具備最佳線性不偏估計量（BLUE）的有效性，且傳統標準誤估計偏誤，導致假說檢定失效（須改採穩健標準誤，或加權最小平方法 WLS）。

• 干擾項服從二項分配，非常態分配（Non-normality）： 干擾項為離散二點分配，小樣本下無法使用精準的 $t$ 檢定與 $F$ 檢定，推論必須依賴大樣本漸近性質。
• 邊際效果固定的現實矛盾： LPM 假設每一單位解釋變數對轉職機率的影響（$\frac{\partial P}{\partial x_j} = \beta_j$）在任何水準下皆完全相同，無法呈現邊際效果遞減或兩端飽和的 S 型（Sigmoid）反應特徵。

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（二）迴歸係數之意涵與變數影響效果

1. 迴歸係數 $\beta_1$ 代表的經濟意涵： 在 LPM 架構下，$y$ 代表轉職機率，$exper$ 為連續變數。對 $exper$ 取偏微分：

$$\frac{\partial P(y=1|\mathbf{x})}{\partial exper} = \beta_1$$

• 意涵：在控制其他解釋變數不變（ceteris paribus）的條件下，工作經驗（$exper$）每增加 1 個單位（通常為 1 年），該名員工轉職或跳槽的機率改變 $\beta_1$（即改變 $\beta_1 \times 100$ 個百分點）。

2. $wage$ 如何影響轉職結果 $y$： 模型中包含現職薪水的一次項與二次項：$\beta_2 wage + \beta_2 wage^2$。 對 $wage$ 取偏微分，可得現職薪水對轉職機率的邊際效果：

$$\frac{\partial P(y=1|\mathbf{x})}{\partial wage} = \beta_2 + 2\beta_2 wage = \beta_2(1 + 2 wage)$$

(註：若題目之二次項係數符號係試卷排版簡化，將其設為獨立參數 $\beta_{w2}$，則通式為 $\beta_2 + 2\beta_{w2} wage$)。

• 影響機制：
• 現職薪水對轉職機率具有非線性效果。邊際效果的大小與正負方向，會隨著員工目前「現職薪水的水準」而動態改變。
• 通常在勞動經濟實證中，薪資越高，跳槽機會成本越高；二次項可用於檢驗薪資是否存在反轉門檻或邊際遞減（增）效應。

3. $age$ 如何影響轉職結果 $y$： 年齡 $age$ 同時出現在主效果 $\beta_3 age$ 與性別交乘項 $\beta_5 (D_f \times age)$ 中。 對 $age$ 取偏微分，可得年齡對轉職機率的邊際效果：

$$\frac{\partial P(y=1|\mathbf{x})}{\partial age} = \beta_3 + \beta_5 D_f$$

• 男性員工（$D_f = 0$）： 年齡對轉職機率的邊際效果為 $\beta_3$。即在其他條件不變下，男性員工每增長 1 歲，轉職機率改變 $\beta_3$。
• 女性員工（$D_f = 1$）： 年齡對轉職機率的邊際效果為 $\beta_3 + \beta_5$。即在其他條件不變下，女性員工每增長 1 歲，轉職機率改變 $\beta_3 + \beta_5$。
• 係數 $\beta_5$ 的意涵：代表年齡對轉職機率之邊際影響在性別間的差異幅度（Differential slope effect）。若 $\beta_5 \neq 0$，表示性別會調節年齡對轉職決策的衝擊強度。

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（三）模型設定之修正與新模型之估計方法

1. 修正模型設定：採用二元反應模型（Binary Response Models） 為了克服 LPM 預測機率超出 $[0, 1]$ 及邊際效果固定的缺失，引進累積機率分配函數 $G(z)$（滿足 $0 < G(z) < 1, \forall z \in \mathbb{R}$），將指標限制在單調遞增的 S 型區間內：

$$P(y=1|\mathbf{x}) = G(\mathbf{x}\boldsymbol{\beta}) = G(\alpha + \beta_1 exper + \beta_2 wage + \cdots)$$

實證上最常採用的兩大模型為：