110 高普考高考二級 工業行政 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考驗卡方適合度檢定：以樣本觀察次數檢定母體的類別分配是否符合指定比例。題目以 2010 年全國家庭型態比例作為理論分配，並以 2021 年抽樣戶數進行檢定。

解題方法

設目前四類家庭型態的母體比例依序為 $p_1,p_2,p_3,p_4$，檢定假設為：

樣本總數為：

在 $H_0$ 成立時，各類期望次數為「樣本總數 $\times$ 2010 年比例」：

卡方檢定統計量為：

核心觀念

本題考查由二維次數表建立聯合機率分配，並由機率分配計算期望值與變異數。

每格的聯合機率為該格交易筆數除以總筆數 $600$：

對離散隨機變數 $Z$，期望值與變異數定義為：

解題方法與計算

（一）$X$ 與 $Y$ 的聯合機率分配

將原表各格次數除以 $600$，得到：

例如，$P(X=1,Y=0)=240/600=0.40$。表格最右欄與最下列分別是 $X$、$Y$ 的邊際機率，所有聯合機率合計為 $1$。

也可寫成：

（二）$X$ 的期望值與變異數

由聯合分配加總各列，得 $X$ 的邊際分配：

核心觀念

本題考「母體比例的樣本數規劃」及「母體比例的信賴區間」。

以 $\hat p$ 表示樣本比例、$p$ 表示母體比例。大樣本下，$\hat p$ 的標準誤估計為

在信心水準 $1-\alpha$ 下，比例估計的邊際誤差為

若已知或先行假設母體比例 $p$，即可用此式反推所需樣本數。信賴區間則以樣本比例代替未知的母體比例：

（一）所需樣本數

題目假設該市成年人抽菸比例與全國相同，因此規劃時取 $p=0.13$，並令 $1-p=0.87$。$95\%$ 信心水準的臨界值為 $z_{0.025}=1.96$，目標邊際誤差為 $E=0.02$。

由邊際誤差公式整理得

樣本數須為整數，且為確保邊際誤差不超過 $0.02$，應向上取整：

（二）抽菸比例的 $99\%$ 信賴區間

核心觀念

本題考查常態母體下的單一母體平均數信賴區間、單一母體變異數的卡方檢定，以及配對樣本平均數檢定。

同一批 10 位球員都使用球桿 $X$ 與 $Y$，因此兩種球桿的測量值彼此配對。檢定兩種球桿的平均開球距離時，應先計算每位球員的差值 $D_i=X_i-Y_i$，再對差值做單一樣本 $t$ 檢定。

（一）球桿 $X$ 平均開球距離的 95% 信賴區間

母體變異數未知，且樣本數為 10，因此使用自由度 $n-1=9$ 的 $t$ 分配。

故 $s_X=\sqrt{206.4889}=14.3704$，而標準誤為

查得 $t_{0.975,9}=2.262$，所以信賴區間為

（二）檢定球桿 $X$ 的母體變異數是否大於 300

設球桿 $X$ 的母體變異數為 $\sigma_X^2$。這是常態母體變異數的右尾卡方檢定：

計算檢定統計量時以虛無假設的邊界 $\sigma_X^2=300$ 為準：

自由度為 9，右尾顯著水準 $0.05$ 的臨界值為 $\chi^2_{0.95,9}=16.919$。由於 $6.195<16.919$，不落入拒絕域，因此不拒絕 $H_0$。

核心觀念

本題考查多元線性迴歸中的三個觀念：

1. 虛擬變數係數的解釋：在其他解釋變數固定時，虛擬變數由 $0$ 變為 $1$，反應變數的預測值改變多少。
2. 迴歸係數的個別顯著性檢定：以 $t=\dfrac{\hat\beta_j}{SE(\hat\beta_j)}$ 檢定各係數是否為 $0$。
3. 變異數分析表：使用總平方和分解式 $SST=SSR+SSE$，並以自由度計算均方與 $F$ 值。

本題有 $n=22$ 筆觀測值，解釋變數有 $k=3$ 個，因此迴歸、誤差與總自由度分別為 $3$、$22-3-1=18$、$21$。

（一）「直轄市」係數的意義

迴歸模型中「直轄市」的估計係數為 $-9.24027$。在人口密度與醫療院所床數相同的條件下，直轄市的扶養比預測值平均比非直轄市低 $9.24027$。

這是控制其他解釋變數後的差異，表示模型中的條件關係，不直接代表因果效果。

（二）顯著水準 $0.05$ 下的係數檢定

對每個解釋變數進行雙尾檢定：

誤差自由度為 $18$，在顯著水準 $0.05$ 下，臨界值為 $t_{0.025,18}\approx 2.101$。各變數的檢定結果如下：

因此，在 $0.05$ 顯著水準下，只有「直轄市」係數顯著。

（三）迴歸分析的 ANOVA 表

計算步驟

令 $y$ 為扶養比。由題目提供的扶養比總和與平方和：