111 高普考高考二級 工業行政 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題的核心觀念為機率論中的樣本空間分割（Partition of Sample Space）、全機率定理（Law of Total Probability）與貝氏定理（Bayes' Theorem）。

1. 樣本空間分割： 若事件 $A_1, A_2, \dots, A_k$ 彼此互斥（Mutually Exclusive）且其聯集為全體樣本空間 $S$（Exhaustive），則稱 $\{A_1, A_2, \dots, A_k\}$ 為樣本空間的一個分割。
2. 全機率定理： 對任意事件 $D$，其發生的邊際機率可由各分割事件之事前機率與條件機率加權求和： $P(D) = \sum_{i=1}^{k} P(A_i) P(D \mid A_i)$
3. 貝氏定理： 在已知事件 $D$ 發生的條件下，逆推其來自特定分割事件 $A_j$ 的事後機率（Posterior Probability）： $P(A_j \mid D) = \frac{P(A_j \cap D)}{P(D)} = \frac{P(A_j) P(D \mid A_j)}{\sum_{i=1}^{k} P(A_i) P(D \mid A_i)}$

解題方法

步驟一：定義事件與樣本空間分割

將去年甲工廠生產的所有電動車依「車款」與「生產製程」分割為三種互斥且周延的類別：

• $A_1$：採用改良製程生產的 $A$ 款電動車。
• $A_2$：採用原製程生產的 $A$ 款電動車。
• $B$：$B$ 款電動車。
• $D$：抽出的電動車為瑕疵車。

步驟二：計算各類別的事前機率（Prior Probabilities）

依題意，工廠生產 $A$ 款車占 $60\%$、$B$ 款車占 $40\%$。在 $A$ 款車中，有 $20\%$ 採用改良製程，其餘 $80\%$ 為原製程：

• $P(A_1) = 0.60 \times 0.20 = 0.12$
• $P(A_2) = 0.60 \times (1 - 0.20) = 0.60 \times 0.80 = 0.48$
• $P(B) = 0.40$

驗證分割之周延性：$P(A_1) + P(A_2) + P(B) = 0.12 + 0.48 + 0.40 = 1.00$。

步驟三：列出條件機率（Conditional Probabilities / 瑕疵率）

• 改良製程 $A$ 款車的瑕疵率：$P(D \mid A_1) = 2\% = 0.02$
• 原製程 $A$ 款車的瑕疵率：$P(D \mid A_2) = 10\% = 0.10$
• $B$ 款車的瑕疵率：$P(D \mid B) = 3\% = 0.03$

步驟四：計算聯合機率（Joint Probabilities）

• 改良製程 $A$ 款瑕疵車之機率： $P(A_1 \cap D) = P(A_1) P(D \mid A_1) = 0.12 \times 0.02 = 0.0024$
• 原製程 $A$ 款瑕疵車之機率： $P(A_2 \cap D) = P(A_2) P(D \mid A_2) = 0.48 \times 0.10 = 0.0480$
• $B$ 款瑕疵車之機率： $P(B \cap D) = P(B) P(D \mid B) = 0.40 \times 0.03 = 0.0120$

核心觀念

本題考兩個獨立樣本的推論：

1. 比較兩母體平均數：檢定兩家業者的平均下載速率是否相同。題目未假設母體變異數相等，採用 Welch 兩樣本 $t$ 檢定。
2. 比較兩母體變異數：在兩組資料皆服從常態分配的前提下，使用 $F$ 檢定。$F$ 檢定對常態假設較敏感。

以下以兩家業者的樣本互相獨立為前提，顯著水準均為 $\alpha=0.05$。

（一）檢定平均下載速率是否相同

假設與方法

令 $\mu_A,\mu_B$ 分別為 A、B 業者的母體平均下載速率。題目問「是否相同」，所以採雙尾檢定：

Welch 檢定統計量為

代入 $\bar{x}_A=123.2$、$\bar{x}_B=120.5$、$s_A=23.2$、$s_B=18.5$、$n_A=650$、$n_B=700$：

Welch 自由度約為 $1{,}240$，雙尾臨界值約為 $t_{0.975}\approx1.96$。由於 $|t|=2.35>1.96$，拒絕 $H_0$；雙尾 $p$ 值約為 $0.019$，小於 $0.05$。

判定

核心觀念

同一區域在提高罰則前後各有一筆觀測值，因此採用成對樣本 $t$ 檢定，先將每區的前後差異轉成 $D_i=\text{2018 年人數}-\text{2017 年人數}$，再檢定差異的母體平均數 $\mu_D$。母體標準差未知，且樣本數為 $8$，故使用自由度 $n-1=7$ 的 $t$ 分配。

解題方法

依題意計算各區差異：

樣本數、樣本平均數為

差異值的離均差平方和為 $107.875$，因此樣本標準差及標準誤為

（一）檢定 $\mu_D>10$

設定假設：

以邊界值 $\mu_D=10$ 計算檢定統計量：

核心觀念

本題考兩個統計方法：

1. 對分組資料，以各組組中點代表該組觀測值，估計平均數與變異數。
2. 以卡方適合度檢定檢驗資料是否符合指數分配。指數分配的平均數為 $1/\lambda$，因此以樣本平均數估計 $\lambda$，再計算各組的期望次數。

解題方法

（一）估計平均數與變異數

各組組中點依序為 $37.5,32.5,27.5,22.5,17.5,12.5,7.5,2.5$，對應次數為 $4,7,14,27,24,12,10,2$。分組資料的平均數估計為

其中 $m_i$ 為組中點，$f_i$ 為該組次數。平均壽命估計為 $18.7$ 千小時，即 $18{,}700$ 小時。

加權平方和為

因此離均差平方和估計為

以樣本變異數估計時，分母使用 $n-1$：

單位為「千小時的平方」。若計算這 100 顆燈泡的分組資料描述性變異數，分母使用 $n$，結果為 $121.06$。

（二）檢定是否服從指數分配

設定

以樣本平均數估計指數分配的平均數，得到

為使各組期望次數至少為 5，將 $25$ 千小時以上的組別合併，形成六組：$(0,5]$、$(5,10]$、$(10,15]$、$(15,20]$、$(20,25]$、$(25,\infty)$。

核心觀念

本題融合「多元線性迴歸中的虛擬變數（Dummy Variables）」與「變異數分析表（ANOVA Table）」之綜合推導與假設檢定，主要測驗以下統計核心觀念：

1. 虛擬變數模型之設定與基準組（Base Group / Benchmark）： 定性變數（星期一至星期日共 $7$ 類）納入迴歸模型時，需設定 $7 - 1 = 6$ 個虛擬變數，以避免「虛擬變數陷阱（Dummy Variable Trap）」（即完全多元共線性）。未設定虛擬變數的類別為「星期日」，代表基準組；截距項 $\alpha$ 即為星期日的平均用電量，各虛擬變數之迴歸係數 $\beta_i$ 則代表各星期相對於星期日的平均用電量差異。

2. 決定係數（Coefficient of Determination, $R^2$）： 定義為迴歸平方和佔總平方和之比例： $R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$ 衡量自變數對應變數總變異之解釋能力。

3. 估計標準誤（Standard Error of Estimate, $s_e$）： 殘差變異數（$MSE$）之平方根： $s_e = \sqrt{MSE} = \sqrt{\frac{SSE}{n - k - 1}}$ 其中 $n$ 為樣本數，$k$ 為自變數個數。

4. 迴歸模式之整體顯著性檢定（Overall $F$-test）： 檢定所有斜率項是否全為 $0$。若拒絕虛無假說，代表此多元線性迴歸模型具統計顯著性，即自變數對應變數具整體解釋能力。

解題方法

（一）決定係數意義之闡述與週六平均用電量之估計

1. 決定係數 $R^2 = 60\%$ 之統計意義：

• 數學定義：$R^2 = \frac{SSR}{SST} = 0.60$。
• 實務解釋：甲地區 $8$ 月份每日用電量的總變異中，有 $60\%$ 可由「該日為星期幾（星期一至星期六的虛擬變數）」所建立的線性迴歸模型來解釋；剩餘 $40\%$ 則屬於隨機誤差或其他未納入模型的因素（如當天氣溫、降雨、產業調休等）。

2. 估計週六的平均用電量：

• 根據虛擬變數之定義，當該日為週六時： $X_6 = 1, \quad X_1 = X_2 = X_3 = X_4 = X_5 = 0$
• 代入給定之樣本迴歸方程式： $\hat{Y} = 455 + 83(0) + 56(0) + 35(0) + 24(0) + 8(0) - 10(1) = 455 - 10 = 445$
• 因此，週六的估計平均用電量為 $445$ 度。

（二）ANOVA 表（變異數分析表）之推導與建立

已知條件：

• 樣本數 $n = 28$
• 自變數個數 $k = 6$
• 決定係數 $R^2 = 0.60$
• 估計標準誤 $s_e = 5$

步驟 1：計算各項自由度（Degrees of Freedom, $df$）

• 迴歸自由度：$df_R = k = 6$
• 殘差自由度：$df_E = n - k - 1 = 28 - 6 - 1 = 21$
• 總自由度：$df_T = n - 1 = 28 - 1 = 27$

步驟 2：由估計標準誤求殘差平方和（$SSE$） $MSE = s_e^2 = 5^2 = 25$ $SSE = df_E \times MSE = 21 \times 25 = 525$

步驟 3：由決定係數反推總平方和（$SST$）與迴歸平方和（$SSR$） 已知 $1 - R^2 = \frac{SSE}{SST}$，故： $SST = \frac{SSE}{1 - R^2} = \frac{525}{1 - 0.60} = \frac{525}{0.40} = 1312.5$ $SSR = SST - SSE = 1312.5 - 525 = 787.5$ （或直接由 $SSR = SST \times R^2 = 1312.5 \times 0.60 = 787.5$ 驗算）

步驟 4：計算迴歸平均平方和（$MSR$）與 $F$ 檢定統計量 $MSR = \frac{SSR}{df_R} = \frac{787.5}{6} = 131.25$ $F = \frac{MSR}{MSE} = \frac{131.25}{25} = 5.25$

步驟 5：彙整繪製 ANOVA 表