112 高普考高考三級 汽車工程 汽車動力學（包括應用力學及機動學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查偏置曲柄滑塊四連桿的速度分析，使用剛體相對速度公式：

其中：

• 曲柄 $OA$ 長度 $r_2=60\ \mathrm{mm}$
• 連桿 $AB$ 長度 $r_3=120\ \mathrm{mm}$
• 滑塊位置連桿 $r_4=112\ \mathrm{mm}$
• $\theta_2=\pi/3$
• $\theta_3=7\pi/6$
• $\theta_4=\pi/2$

由圖可知，$B$ 沿水平滑道運動，因此：

順時針方向取角速度為負，即：

解題方法

先求點 $A$ 的速度。曲柄 $OA$ 作定軸轉動，因此：

分量式為：

代入數值：

因此：

對連桿 $AB$ 使用相對速度關係。圖中 $\vec r_{A/B}$ 的方向為 $\theta_3=7\pi/6$，故：

核心觀念

本題考查車輛在無路拱超高（平坦路面）進行等速圓周過彎時的橫向動力學極限分析（Lateral Dynamics Limits），包含兩個獨立的失穩失效模式：

1. 側滑臨界（Skid Limit）： 車輛過彎所需之向心力完全由輪胎與路面的側向摩擦力提供。當過彎所需之離心力超過路面所能提供之最大極限摩擦力時，車輛即失去側向附著力而產生側滑（Spin-out / Sliding）。

• 臨界平衡條件：向心力等於最大側向摩擦力。

2. 側翻臨界（Rollover Limit）： 車輛轉向時，作用於重心（C.G.）的離心慣性力會對接觸面產生側翻力矩（Overturning Moment），由車輛重力對外側輪胎接地點產生的抗傾覆回復力矩（Restoring Moment）抵抗。當內側輪胎之垂直正向反力減為零時（Wheel Lift-off），即達到準靜態側翻臨界。

• 與車輛的靜態穩定度係數（Static Stability Factor, $\mathrm{SSF} = \frac{t}{2h}$）密切相關。

3. 失穩模式先後之判斷準則： 車速由低逐步增加時，先達到較低臨界車速（或較低臨界橫向加速度）之失效模式將優先發生：

• 若 $\mu < \frac{t}{2h}$，則先側滑；
• 若 $\mu > \frac{t}{2h}$，則先側翻。

符號定義與已知條件

• 彎道半徑：$R = 100\ \mathrm{m}$
• 輪胎與地面側向摩擦係數：$\mu = 0.75$
• 左右輪距（Track Width）：$t = 1.6\ \mathrm{m}$（半輪距 $\frac{t}{2} = 0.8\ \mathrm{m}$）
• 重心高度（C.G. Height）：$h = 0.7\ \mathrm{m}$
• 重力加速度：取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$（亦附上 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$ 之結果）
• 車輛質量：$m$

解題方法與推導計算

（一）求過彎時產生側滑之臨界車速（12分）

1. 受力推導： 設車速為 $v$。在平坦路面上，垂直方向力平衡： $N = m g$ 地面能提供的最大側向靜摩擦力為： $F_{f,\max} = \mu N = \mu m g$ 車輛過彎所需之向心力（或離心慣性力）為： $F_c = \frac{m v^2}{R}$ 當離心力達到最大摩擦力時，車輛達到臨界側滑狀態： $\frac{m v_s^2}{R} = \mu m g$ 化簡消去質量 $m$，解得臨界側滑車速 $v_s$： $v_s = \sqrt{\mu g R}$

2. 數值代入：

• 取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$： $v_s = \sqrt{0.75 \times 9.8 \times 100} = \sqrt{735} \approx 27.11\ \mathrm{m/s}$ 換算為時速： $v_s = 27.11 \times 3.6 \approx 97.60\ \mathrm{km/h}$

• （若取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$）： $v_s = \sqrt{0.75 \times 9.81 \times 100} = \sqrt{735.75} \approx 27.12\ \mathrm{m/s} \approx 97.65\ \mathrm{km/h}$

（二）求過彎時產生側翻之臨界車速（12分）

1. 受力推導： 將車輛視為剛體，考慮轉彎外側輪胎接地點 $A$ 為轉動支點。 作用於重心處的離心力產生使車輛向外側翻的力矩： $M_{\text{overturn}} = F_c \times h = \left(\frac{m v^2}{R}\right) h$ 車輛總重 $W = mg$ 對外側接地點 $A$ 產生抵抗側翻的回復力矩： $M_{\text{restore}} = W \times \frac{t}{2} = m g \left(\frac{t}{2}\right)$ 當內側輪胎反力恰好降為零（輪胎即將離地）時，達到臨界側翻平衡： $\sum M_A = 0 \implies \left(\frac{m v_r^2}{R}\right) h = m g \left(\frac{t}{2}\right)$ 化簡消去質量 $m$，解得臨界側翻車速 $v_r$：

核心觀念

本題考查前輪驅動車輛牽引拖車上坡時的：

1. 斜坡方向與法線方向的靜力平衡。
2. 拖車牽引力與車輛總重力分力的關係。
3. 前輪驅動之最大附著力： $F_{\max}=\mu N_f$
4. 車輛重心高度、拖車鉤高度所造成的載重轉移。

以下以準靜態爬坡、忽略滾動阻力與空氣阻力，且拖車車輪為單一等效支承點為前提。符號依圖二定義：

• 車輛重量為 $Mg$
• 拖車重量為 $Wg$
• 前輪驅動軸至車輛重心水平距離為 $f$
• 車輛重心至後軸距離為 $e$
• 後軸至拖車鉤距離為 $d$
• 拖車鉤至拖車重心距離為 $c$
• 拖車重心至拖車輪軸距離為 $b$
• 車輛重心、拖車鉤、拖車重心高度分別為 $h_3,h_2,h_1$

令車輛前後軸距為

解題方法一：求拖車對車輛的牽引與垂直作用力

拖車沿斜坡方向無加速度，因此拖車鉤所承受的牽引力為

拖車重心位於拖車輪軸前方 $b$，故以拖車輪軸取力矩，可得拖車鉤的垂直作用力。拖車輪軸至拖車鉤的距離為 $b+c$，因此

由垂直方向平衡，拖車鉤對拖車的垂直力為

因此，拖車對車輛的作用力方向相反，為向下作用，其大小為

求前輪法線反力

對車輛本體取前輪驅動軸為力矩中心。車輛後軸法線反力為 $N_r$，則

車輛垂直方向平衡為

聯立後，前輪驅動軸的法線反力為

代入 $V$ 與 $T$：

前輪最大牽引力

車輛與拖車組沿斜坡方向所需克服的總重力分力為

前輪驅動的最大牽引力為

核心觀念

本題為汽車動力學（Vehicle Dynamics）中典型的**車輛縱向動力平衡（Longitudinal Dynamics Balance）**計算題，主要評量以下核心物理機制與工程公式：

1. 傳動系統扭矩放大與驅動力（Tractive Effort, $F_t$）： 引擎輸出扭力經由變速箱檔位齒輪比（$i_g$）、終傳差速器齒輪比（$i_0$）放大，並計入機械傳動效率損耗（$\eta$）後傳至驅動輪，由車輪有效滾動半徑（$r$）轉化為輪胎地面反作用推力： $F_t = \frac{T_e \cdot i_g \cdot i_0 \cdot \eta}{r}$

2. 滾動阻力（Rolling Resistance, $R_r$）： 車輛在水平路面行駛時，輪胎週期性變形與遲滯現象所產生的阻力，正比於垂直車重法向載重： $R_r = f \cdot W = f \cdot m \cdot g$

3. 動力傳動機構與車速運動學（Vehicle Speed, $V$）： 在忽略輪胎縱向滑移率（Slip ratio）的前提下，引擎轉速（$N_e$）經總傳動比降速轉化為車輪角速度（$\omega$），進而決定車輛理論平移速度： $V = r \cdot \omega = r \cdot \frac{2\pi \cdot N_e}{60 \cdot i_g \cdot i_0}$

4. 空氣阻力（Aerodynamic Drag, $R_a$）： 車輛前進時對抗空氣流場所需克服的壓差阻力與摩擦阻力，與空氣密度（$\rho$）、迎風投影面積（$A$）、形狀阻力係數（$C_D$）及車速的平方呈正比： $R_a = \frac{1}{2} \rho C_D A V^2$

5. 縱向運動平衡方程式（Longitudinal Acceleration, $a$）： 依據牛頓第二運動定律，作用於車身的淨外力（驅動力減去各項行駛阻力）決定汽車的瞬間加速度： $F_t - (R_r + R_a + R_g) = m \cdot a \cdot \delta$ （註：平路無坡度阻力 $R_g = 0$；題目未提供驅動系統各旋轉件之轉動慣量，故旋轉質量等效係數取 $\delta = 1$）。

解題方法

基本已知條件轉換

• 車重：$W = 1200\ \mathrm{kgf}$，對應質量 $m = 1200\ \mathrm{kg}$。
• 重力加速度取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$（若以 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$ 計算亦於下方註明）。
• 輪胎滾動半徑：$r = 33\ \mathrm{cm} = 0.33\ \mathrm{m}$。
• 引擎轉速：$N_e = 2500\ \mathrm{rpm}$。
• 引擎輸出扭力：$T_e = 300\ \mathrm{N\cdot m}$。
• 變速箱三檔傳動比：$i_g = 1.2$。
• 差速器傳動比：$i_0 = 4$。
• 傳動系統總傳動比：$i = i_g \cdot i_0 = 1.2 \times 4 = 4.8$。
• 傳動效率：$\eta = 90\% = 0.90$。
• 迎風面積：$A = 1.85\ \mathrm{m^2}$。
• 空氣密度：$\rho = 1.2258\ \mathrm{kg/m^3}$。
• 空氣阻力係數：$C_D = 0.32$。
• 滾動阻力係數：$f = 0.02$。

（一）求驅動力（$F_t$）

驅動力為驅動輪與路面接觸面產生的切向推力： $F_t = \frac{T_e \cdot i_g \cdot i_0 \cdot \eta}{r}$

代入數值： $F_t = \frac{300 \times 1.2 \times 4 \times 0.90}{0.33} = \frac{1296}{0.33} \approx 3927.27\ \mathrm{N}$

（二）求滾動阻力（$R_r$）

汽車在平地行駛，法向力等於車輛總重： $W = 1200\ \mathrm{kgf} = 1200 \times 9.8 = 11760\ \mathrm{N}$ （若取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$，則 $W = 11772\ \mathrm{N}$）

滾動阻力為： $R_r = f \cdot W = 0.02 \times 11760 = 235.2\ \mathrm{N} \quad (\text{即 } 24\ \mathrm{kgf})$ （若取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$，則 $R_r = 0.02 \times 11772 = 235.44\ \mathrm{N}$）

（三）求車速（$V$）

車輪轉速 $N_w$： $N_w = \frac{N_e}{i} = \frac{2500}{4.8} = 520.833\ \mathrm{rpm}$

車輪角速度 $\omega_w$： $\omega_w = \frac{2\pi \cdot N_w}{60} = \frac{2\pi \times 520.833}{60} \approx 54.5415\ \mathrm{rad/s}$

汽車行駛線速度： $V = r \cdot \omega_w = 0.33 \times 54.5415 \approx 17.999\ \mathrm{m/s} \approx 18.00\ \mathrm{m/s}$

換算為時速單位： $V = 17.999 \times 3.6 \approx 64.80\ \mathrm{km/h}$