109 高普考高考三級 汽車工程 汽車動力學（包括應用力學及機動學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查兩條繩索分別繞在不同半徑的複合滑輪上時，如何結合平動、轉動與繩索的運動約束。

由圖判讀，滑塊 $A$ 的繩索繞在 $R_A=0.12\ \mathrm{m}$ 的外槽，配重塊 $B$ 的繩索繞在 $R_B=0.06\ \mathrm{m}$ 的內槽。繩索不滑動，因此繩速與滑輪角速度、繩索加速度與滑輪角加速度分別滿足

滑輪的轉動慣量為

其中 $m=4\ \mathrm{kg}$、慣性半徑 $k=0.10\ \mathrm{m}$。

解題方法與計算

（一）滑塊 $A$ 維持靜止時的最小靜摩擦係數

滑塊 $A$ 固定不動，繩索不伸長，因此滑輪也不能轉動，配重塊 $B$ 同樣靜止。

對 $B$ 作垂直方向平衡：

滑輪的力矩平衡為

所以

**更正說明：**依力矩式，$T_A=14.715\ \mathrm{N}$；此張力小於滑塊沿斜面的重力分量。

沿斜面方向，滑塊重力分量為

張力向上坡，故靜摩擦力須向上坡，大小為

法向力為

因此靜摩擦係數的最小值為

（二）釋放 $2\ \mathrm{s}$ 後滑輪的轉速與方向

核心觀念

賽車加速時，後輪提供前進牽引力，車身重心高度造成前後輪荷重轉移：前輪正向力減少、後輪正向力增加。最大加速度由後輪可提供的最大摩擦力決定；前輪是否離地則看前輪正向力是否降至零。

已知總重 $W=7600\ \mathrm{N}$，重心至前輪 $A$ 的距離為 $1.8\ \mathrm{m}$，重心至後輪 $B$ 的距離為 $1.425\ \mathrm{m}$，軸距為

重心高度 $h=0.225\ \mathrm{m}$，輪胎與地面的摩擦係數 $\mu=0.9$。

解題方法

設前、後輪正向力分別為 $N_A$、$N_B$，後輪牽引力為 $F$，車輛加速度為 $a$。垂直方向力平衡為

以前後輪接地點的荷重轉移關係，對重心取力矩，可得

又因車輛水平加速，$F=ma$，且 $m=W/g$。代入 $N_B=W-N_A$，整理得

後輪正向力則為

（一）最大加速度時，前輪 $A$ 是否會離地？

前輪離地的臨界條件是 $N_A=0$。代入前輪正向力公式：

因此離地所需的加速度為

核心觀念

本題考查曲柄連桿機構的排氣量、壓縮比，以及等速轉動時滑塊（活塞）的速度與加速度。排氣量是活塞上下死點間掃掠的體積；壓縮比是最大汽缸容積與燃燒室容積之比。活塞運動則由曲柄與連桿的幾何關係求出位置，再對曲柄轉角微分。

解題方法

（一）排氣量與壓縮比

曲柄半徑為 $r=OA=44\ \mathrm{mm}$，所以活塞行程為曲柄直徑：

缸徑 $D=85\ \mathrm{mm}$，排氣量為：

其中 $1000\ \mathrm{mm^3}=1\ \mathrm{cm^3}$。燃燒室容積為 $V_c=54\ \mathrm{cm^3}$，因此壓縮比為：

（二）活塞速度與加速度

取活塞向上為正方向，令 $\theta$ 為曲柄與汽缸中心線的夾角。由圖示曲柄位置及連桿長度 $l=AB=75\ \mathrm{mm}$，活塞銷相對曲軸中心 $O$ 的高度為：

引擎角速度換算為：

因引擎等速運轉，$\dot{\theta}=\omega$ 且 $\ddot{\theta}=0$。令 $q=\sqrt{l^2-r^2\sin^2\theta}$，則：

核心觀念

本題考複合行星齒輪系的相對運動。由圖可判讀：齒輪 2 為內齒環，與行星齒輪 3 內嚙合；齒輪 3 與齒輪 4 固定在同一軸上，故兩者角速度相同；齒輪 4 與固定齒輪 5 外嚙合；行星架 6 為輸出件。

行星齒輪系的齒輪嚙合關係，須以行星架的角速度為基準，使用相對角速度表示。

解題方法

以順時針為正方向。由圖中固定符號可知 $\omega_5=0$，而齒輪 3、4 同軸，因此 $\omega_3=\omega_4$。

對內嚙合的齒輪 2、3，相對行星架的轉動方向相同：

對外嚙合的齒輪 4、5，相對行星架的轉動方向相反：

代入 $\omega_4=\omega_3$、$\omega_5=0$：

所以