111 高普考高考三級 醫學工程 醫用電子學 考古題詳解

核心觀念

圖 1 是一階 RC 電路，輸出取自電容兩端，因此是低通濾波器：低頻訊號大多通過，高頻訊號則受到較大衰減。其時間常數為 $\tau=RC$，截止角頻率為 $\omega_{3\mathrm{dB}}=1/RC$。

解題方法

（一）弦波輸入與頻率響應

對輸出節點套用電流定律：

整理得：

輸入為 $v_{in}=A\sin(\omega t)$ 時，在穩態下使用相量表示，電阻與電容的阻抗分別為 $R$ 與 $1/(j\omega C)$。由分壓關係可得傳遞函數：

因此輸出振幅為：

輸出相位落後輸入：

當 $\omega=0$ 時，輸出振幅等於輸入振幅；頻率愈高，輸出振幅愈小，故此電路為低通濾波器。

截止頻率定義為輸出振幅降至通帶振幅的 $1/\sqrt{2}$，也就是功率降為一半（$-3\,\mathrm{dB}$）。令：

可得：

（二）步階響應

對於 $t\geq 0$ 的 $1\,\mathrm{V}$ 步階輸入，輸出滿足：

核心觀念

惠斯登電橋的兩側各是一組串聯分壓器。以 $C$ 點為參考點，$D$、$B$ 點電壓分別由左、右支路的分壓關係求得。以下依 $V_{AC}=V_A-V_C$、$V_{DB}=V_D-V_B$ 定義電壓方向，並假設電壓表輸入阻抗足夠高，不影響電橋分壓。

解題方法

左側支路由 $R_1$、$R_2$ 串聯，故

右側支路由 $R_3$、$R_x$ 串聯，故

因此，兩中間量測端的電壓差為

電橋平衡時 $V_G=0$，兩側分壓相等：

交叉相乘並整理：

所以平衡條件為

數值計算

電橋平衡時的 $R_x$：

核心觀念

本題評量神經電生理學的核心基礎，涵蓋靜止膜電位的產生機制與動作電位的動態傳導過程，涉及以下關鍵理論與數學模型：

1. 跨膜離子濃度梯度：細胞膜內外由主動運輸與選擇性通透所維持的非對稱離子分布（$\mathrm{K}^+$ 內高外低；$\mathrm{Na}^+$ 與 $\mathrm{Cl}^-$ 外高內低）。
2. 能斯特方程式（Nernst Equation）：計算單一離子在跨膜化學濃度差與電位差達到熱力學平衡時的平衡電位（Equilibrium Potential, $E_{\text{ion}}$）： $E_{\text{ion}} = \frac{RT}{zF} \ln \frac{[\text{ion}]_o}{[\text{ion}]_i}$
3. 高德曼-霍奇金-卡茲電位方程式（Goldman-Hodgkin-Katz Voltage Equation, GHK 方程式）：描述多種單價離子共存且膜具有不同通透性（Permeability, $P$）時的穩定膜電位（$V_m$）： $V_m = \frac{RT}{F} \ln \left( \frac{P_{\mathrm{K}}[\mathrm{K}^+]_o + P_{\mathrm{Na}}[\mathrm{Na}^+]_o + P_{\mathrm{Cl}}[\mathrm{Cl}^-]_i}{P_{\mathrm{K}}[\mathrm{K}^+]_i + P_{\mathrm{Na}}[\mathrm{Na}^+]_i + P_{\mathrm{Cl}}[\mathrm{Cl}^-]_o} \right)$
4. 動作電位（Action Potential）動態機制：電壓閘控型鈉/鉀通道的開閉時序、離子的被動擴散流動，以及 $\mathrm{Na}^+$-$\mathrm{K}^+$ 幫浦（$\mathrm{Na}^+/\mathrm{K}^+$-ATPase）維持與重建長期濃度梯度的生電性機制。

解題方法

1. 第一子題（膜電位與離子濃度關係）：

• 先列出哺乳類神經細胞膜內外的典型離子濃度基準值。
• 由能斯特方程式推導各離子的平衡電位，建立熱力學極限概念。
• 帶入 GHK 方程式，說明實際膜電位是各離子平衡電位依膜通透性權重加權的結果。
• 點出靜止狀態下膜對 $\mathrm{K}^+$ 的通透性遠高於 $\mathrm{Na}^+$ 與 $\mathrm{Cl}^-$（$P_{\mathrm{K}} : P_{\mathrm{Na}} : P_{\mathrm{Cl}} \approx 1 : 0.04 : 0.45$），因此靜止膜電位（約 $-70\text{ mV}$）極度接近 $\mathrm{K}^+$ 的平衡電位。

2. 第二子題（動作電位波形、離子流動與 $\mathrm{Na}^+$-$\mathrm{K}^+$ 幫浦）：

• 繪製標準電位-時間波形圖，清晰標明關鍵特徵點：靜止電位（$-70\text{ mV}$）、閾值（$-55\text{ mV}$）、過衝峰值（$+30\text{ mV}$）與過極化底值（$-80\text{ mV}$）。
• 按時間軸劃分為：靜止期 $\rightarrow$ 去極化期 $\rightarrow$ 再極化期 $\rightarrow$ 過極化期 $\rightarrow$ 靜止期復原，逐一剖析離子通道開閉與離子被動流向。
• 專門釐清 $\mathrm{Na}^+$-$\mathrm{K}^+$ 幫浦的參與：指出單次動作電位僅消耗極微量離子，幫浦並非瞬態去極化/再極化的主要驅動力，其核心職責為「每水解 1 分子 $\mathrm{ATP}$ 逆濃度梯度泵出 $3\text{ 個 }\mathrm{Na}^+$、泵入 $2\text{ 個 }\mathrm{K}^+$」，長期維持跨膜濃度差並產生微弱的超極化電流。

選項分析

本題為申論問答題，無選擇題選項。依公務人員高等考試三級考試試卷評分標準，各題配分與答題關鍵如下：

• 第 (一) 小題（10 分）：
• 離子分布與濃度數據說明（佔 3 分）：須正確寫出 $\mathrm{Na}^+$、$\mathrm{K}^+$、$\mathrm{Cl}^-$ 胞內外濃度高低。
• 能斯特方程式定義與計算（佔 3 分）：寫出數學式並說明單一離子平衡電位。
• GHK 方程式與相對通透性論述（佔 4 分）：寫出完整的 GHK 數學式（注意 $\mathrm{Cl}^-$ 內外濃度的分子分母顛倒處），並說明靜止電位由高 $P_{\mathrm{K}}$ 主導。
• 第 (二) 小題（10 分）：
• 動作電位波形繪圖（佔 3 分）：電位數值、閾值、時間座標與各階段標註完整。
• 各階段離子通道與離子流動（佔 4 分）：去極化（$\mathrm{Na}^+$ 內流）、再極化（$\mathrm{Na}^+$ 通道失活、$\mathrm{K}^+$ 外流）、過極化（$\mathrm{K}^+$ 通道延遲關閉）機制明確。
• $\mathrm{Na}^+$-$\mathrm{K}^+$ 幫浦的角色定位（佔 3 分）：化學計量比 $3\mathrm{Na}^+:2\mathrm{K}^+$、消耗 $\mathrm{ATP}$、主動運輸長期維持濃度梯度，避免落入「幫浦直接主導再極化」之錯誤觀念。

解題技巧

1. GHK 方程式正負價陷阱：由於 $\mathrm{Cl}^-$ 帶負電荷（$z = -1$），推導至對數項內部時，其濃度比值需取倒數。因此分子項為 $[\mathrm{Cl}^-]_i$（胞內濃度），分母項為 $[\mathrm{Cl}^-]_o$（胞外濃度），切勿寫錯。
2. 動作電位動態本質：去極化與再極化均為順電化學驅動力（Electrochemical driving force）的被動擴散，透過電壓閘控離子通道完成，速度在毫秒等級；$\mathrm{Na}^+$-$\mathrm{K}^+$ 幫浦屬於主動運輸，速率較慢，負責長期維護基底平衡，答題時務必區分「動態瞬態離子流」與「基底穩態離子幫浦」。

【答案】

(一) 神經細胞膜電位與 $\mathrm{Na}^+$、$\mathrm{K}^+$、$\mathrm{Cl}^-$ 濃度之間的關係

1. 膜兩側離子分佈與濃度差異

在靜止狀態的神經細胞中，細胞膜對不同離子具有選擇性通透性，並透過主動運輸維持跨膜濃度不對稱分布：

• 鉀離子（$\mathrm{K}^+$）：細胞內濃度遠高於細胞外（胞內約 $140\sim150\text{ mM}$，胞外約 $4\sim5\text{ mM}$）。
• 鈉離子（$\mathrm{Na}^+$）：細胞外濃度遠高於細胞內（胞外約 $140\sim145\text{ mM}$，胞內約 $10\sim15\text{ mM}$）。
• 氯離子（$\mathrm{Cl}^-$）：細胞外濃度高於細胞內（胞外約 $100\sim110\text{ mM}$，胞內約 $4\sim10\text{ mM}$）。

2. 單一離子的平衡電位：能斯特方程式（Nernst Equation）

當膜僅對單一離子具完全通透性時，化學濃度驅動力與跨膜電場阻力達到動態平衡時的電位即為該離子的平衡電位 $E_{\text{ion}}$。在體溫 $37^\circ\text{C}$（$310\text{ K}$）下：

核心觀念

本題評量生醫訊號處理與臨床生理量測之基礎核心——心電圖（Electrocardiogram, ECG）的生理源頭與電極導程架構：

1. 心臟電生理傳導系統：竇房結（SA node）發動電衝動，經心房傳至房室結（AV node）、希氏束（Bundle of His）、左右束支（Bundle branches）及浦金氏纖維（Purkinje fibers），引起心肌細胞的去極化（Depolarization）與再極化（Repolarization）。ECG 所記錄者即為此群體心肌動作電位在體表產生的電位差變化。
2. 體表心電向量與愛因托芬三角（Einthoven's Triangle）：三個標準雙極肢導程（Standard Bipolar Limb Leads）利用右手（RA）、左手（LA）、左腳（LL）形成封閉迴路，量測各軸向之投影電位差，並依據克希荷夫電壓定律滿足愛因托芬定律（Einthoven's Law）：$\text{Lead I} + \text{Lead III} = \text{Lead II}$。

解題方法

1. 第一小題（波形繪製與特徵標示）：

• 繪出具備 P 波、QRS 複合波、T 波之完整心動週期波形，並標示基線（等電位線，Isoelectric line）。
• 正確標示各點（P, Q, R, S, T）、線段（PR segment, ST segment）與間期（PR interval, QT interval）。
• 分段說明心房去極化、房室延遲、心室去極化、平台期及心室再極化對應之電生理機制。

2. 第二小題（標準肢導程繪圖說明）：

• 以愛因托芬等邊三角形為模型，繪製電極放置位置（RA、LA、LL）及參考地端（RL）。
• 明確標出三個導程的正極（$+$）與負極（$-$）連接方向、箭頭向量與電位差定義方程式。
• 寫出 Einthoven's Law 之數學關係式以佐證量測原理之完備性。

解題技巧

• 波形繪圖技巧：
• PR 間期包含 P 波與 PR 線段，代表心房開始去極化到心室開始去極化之間的時間；PR 線段則主要反映房室結的傳導延遲（呈現等電位線）。
• QRS 複合波振幅最大、頻率最高，代表心室去極化（心房再極化同時發生，但電位極小而被掩蓋）。
• ST 線段必須位於等電位線上（代表心室動作電位之 Phase 2 平台期）；若發生位移（ST elevation / depression），臨床上常為心肌梗塞或缺血特徵。
• 導程正負極記憶口訣：
• Lead I：右手（$-$）到左手（$+$）。（右手永遠為負，左手為正）
• Lead II：右手（$-$）到左腳（$+$）。（心臟電軸主方向由右上至左下，故 Lead II 之 R 波通常最高）
• Lead III：左手（$-$）到左腳（$+$）。（左腳永遠為正）
• 別遺漏右腳（RL）：在申論題中，提及右腳電極作為參考地端或驅動右腳電路（Driven Right-Leg Circuit, DRL）以抑制共模干擾（Common-Mode Rejection），是拿到高分的關鍵加分點。

【答案】

(一) 典型心電圖波形繪製、特徵點標示與心臟運作關係

1. 典型心電圖波形圖

 電位 (mV)
 ^ R
 | |
 | / \
 | / \
 | P / \ T
 | /---\ / \ /---\
基線 ----+----+-----+-----/ \--------+-----+-----+----> 時間 (s)
(0 mV) | \ / \ /
 | \_/ \/
 | Q S
 |
 | |<--PR interval-->| |<--ST seg-->|
 | |<-PR seg->| |<------QT interval------>|
 | |<-P->| |<-QRS>| |<-T->|

2. 各重要特徵波形與心臟生理運作之關係

• P 波（P wave）：
• 生理意義：由竇房結（SA node）產生之衝動傳遍心房，引起心房去極化（Atrial Depolarization）。
• 運作關係：引發左右心房肌肉收縮，將血液擠入心室。
• PR 區段（PR segment）：
• 生理意義：電訊號經過房室結（AV node）、希氏束及左右束支傳導的過程。
• 運作關係：因房室結之傳導速度緩慢，產生生理性的傳導延遲，體表記錄不到明顯向量而呈現等電位線。此延遲確保心房完全收縮並將血液充盈至心室後，心室才開始收縮。
• PR 間期（PR interval）：
• 定義範圍：由 P 波起始點至 QRS 複合波之起始點。
• 生理意義：包含心房去極化及衝動通過房室傳導系統所需的總時間（正常值約 0.12～0.20 秒）。

核心觀念

本題考查三運算放大器儀表放大器（instrumentation amplifier）的兩級差動放大。假設運算放大器理想且在線性負回授區工作，則反相端與非反相端電壓相等，輸入端電流為零。第二級差動放大器的電阻比須匹配；依圖中配置，上下兩支路分別使用相同的 $R_2$、$R_3$。

解題方法

先利用第一級兩個運算放大器的虛短與節點電流定律，求出 $V_3$、$V_4$；再分析第二級差動放大器，將兩級增益相乘。

（一）第一級差動放大

令兩個反相輸入端的電壓分別為 $V_1$、$V_2$。由虛短可知，這兩個電壓分別等於對應的非反相輸入電壓。

在上方反相輸入端套用節點電流定律：

整理得：

在下方反相輸入端套用節點電流定律：

整理得：

兩式相減，得到第一級差動輸出：

因此第一級差動增益為 $1+\dfrac{2R_1}{R_{\mathrm{gain}}}$。

（二）總輸出電壓

第二級非反相端接在 $V_4$ 經 $R_2$、$R_3$ 分壓後的節點，因此：

理想運算放大器的虛短給出 $V_-=V_+$。在反相端套用節點電流定律：