111 高普考高考三級 醫學工程 生物輸送原理 考古題詳解

核心觀念

理想稀溶液的滲透壓使用 van’t Hoff 公式：

其中 $C_{\text{有效}}$ 是無法穿過薄膜、能在膜兩側形成濃度差的溶質總莫耳濃度。能穿過薄膜的溶質不會形成持續的滲透壓差。

依題意，分子量小於 $100{,}000\ \mathrm{Da}$ 的 A 分子可通過薄膜；分子量較大的 B、C 分子被薄膜阻擋。第二小題依題意假設堵塞後 A、B、C 均無法穿膜，並以題目所列濃度計算。

解題方法

先將各蛋白質的質量濃度換算為莫耳濃度。由於 $1\ \mathrm{Da}$ 在此換算下數值等同於 $1\ \mathrm{g/mol}$：

溫度換算為：

取 $R=0.082057\ \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)}$，並用 $1\ \mathrm{atm}=760\ \mathrm{mmHg}$ 換算。

（一）薄膜孔洞未堵塞

核心觀念

這題考的是圓筒形複合壁的穩態徑向熱傳導。鋼管 A 與隔熱材料 B 依序包覆，兩層的熱阻串聯，因此總熱阻為兩層熱阻相加；熱損失速率則由兩側溫差除以總熱阻求得。

半徑需由直徑換算：鋼管內半徑 $r_1=0.01\ \mathrm{m}$、鋼管外半徑及 A、B 介面半徑 $r_2=0.02\ \mathrm{m}$、隔熱層外半徑 $r_3=0.03\ \mathrm{m}$。

解題方法

圓筒壁的導熱熱阻為

其中 $k$ 為熱傳導度，$L$ 為管長。先分別計算鋼管與隔熱層的熱阻，再求總熱阻：

核心觀念

本題考微血管壁的 Starling 力與多孔膜的 Poiseuille 流動。

微血管壁兩側的壓力差會造成體液移動：

• 微血管內靜水壓 $P_c$：推動液體由血管內流向組織間隙，促進過濾。
• 組織間液靜水壓 $P_i$：推動液體由組織間隙進入血管，促進再吸收。
• 血漿膠體滲透壓 $\pi_c$：將液體拉回血管內，促進再吸收。
• 組織間液膠體滲透壓 $\pi_i$：將液體拉向組織間隙，促進過濾。

淨過濾壓力可表示為：

正值代表淨過濾至組織間隙；負值代表淨再吸收至微血管。

（一）作用力與方向

以微血管腔為中心，向外表示液體流出血管，向內表示液體流入血管：

 組織間隙
 流入血管：Pi、πc → 微血管腔 → Pc、πi：流出血管
 組織間隙

因此，$P_c$ 與 $\pi_i$ 的方向由血管腔朝外；$P_i$ 與 $\pi_c$ 的方向朝血管腔內。

（二）計算

1. 微血管水力傳導度

將孔洞視為半徑 $r$、長度 $L$ 的平行圓柱。圓柱孔內的 Poiseuille 流量為：

令孔洞總截面積為 $A_{\mathrm{孔}}\!$，則總流量為 $Q=(A_{\mathrm{孔}}r^2/8\mu L)\Delta P$。除以微血管總表面積 $S$，可得單位微血管面積的水力傳導度：

已知孔洞面積比例 $\frac{A_{\mathrm{孔}}}{S}=1/1000$，半徑為：

孔洞曲折度為 $2$，故有效孔道長度：

核心觀念

本題為典型的「生物組織內藥物輸送（Drug Transport in Biological Tissues）」問題，核心在於**質量守恆定律（質量傳遞連續方程式，Continuity Equation）**之簡化與邊界值問題（Boundary Value Problem, BVP）求解。考點涵蓋：

1. 輸送方程式之各項物理意義： 提示公式源自物質傳遞之連續方程式： $D_A \nabla^2 C_A + \phi_m = \frac{D C_A}{D t}$ 包含分子擴散項（Diffusion）、體積反應項（Reaction/Generation）、局部時變項（Accumulation）與流動對流項（Convection）。
2. 不可壓縮流體與組織無對流假設：在固定組織間隙中，若無壓力差驅動之整體流動（Bulk flow），流速向量 $\mathbf{v} = 0$，對流項歸零。
3. 斐克第二定律（Fick's Second Law）結合一階消耗反應：藥物被組織代謝或結合消耗，反應項為負（$\phi_m = -k C_A$）。
4. 半無限域（Semi-infinite medium）邊界條件之建構與二階常微分方程（ODE）之特徵根解析。

解題方法

（一）藥物濃度質量守恆方程之推導（7 分）

題目給定質量傳遞控制方程式： $D_A \nabla^2 C_A + \phi_m = \frac{D C_A}{D t}$

推導過程中，各項次之處置與題目假設之對應關係如下：

1. 實質導數項（Material / Substantial Derivative, $\frac{D C_A}{D t}$）之處置： 實質導數之展開式為： $\frac{D C_A}{D t} = \frac{\partial C_A}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla C_A = \frac{\partial C_A}{\partial t} + \left( v_x \frac{\partial C_A}{\partial x} + v_y \frac{\partial C_A}{\partial y} + v_z \frac{\partial C_A}{\partial z} \right)$

• 假設對應：藥物注射入肌肉組織後，組織間隙流體處於靜態，無宏觀外力驅動整體對流（即流體流速 $\mathbf{v} = 0$ 或對流效應遠小於擴散效應，Péclet 數 $\text{Pe} \ll 1$）。
• 處理方式：對流項 $\mathbf{v} \cdot \nabla C_A = 0$，僅保留時間累積非穩態項： $\frac{D C_A}{D t} = \frac{\partial C_A}{\partial t}$

2. 拉普拉斯算子擴散項（$\nabla^2 C_A$）之處置： 在三維笛卡爾座標下： $\nabla^2 C_A = \frac{\partial^2 C_A}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 C_A}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 C_A}{\partial z^2}$

• 假設對應：題目明定「擴散行為僅在一維方向（$X$ 方向）發生」，且組織為「不可壓縮流體（流體密度 $\rho = \text{常數}$）」，擴散係數 $D_A$ 為空間中的常數。
• 處理方式：$Y$ 與 $Z$ 方向的濃度梯度為零（$\frac{\partial C_A}{\partial y} = \frac{\partial C_A}{\partial z} = 0$），擴散項簡化為： $D_A \nabla^2 C_A = D_A \frac{\partial^2 C_A}{\partial x^2}$

3. 反應速率源項（$\phi_m$）之處置：

• 假設對應：題目載明「藥物在擴散當中亦同時會與組織成分發生反應，其反應為一階函數，反應速率常數為 $k$」。此處反應為組織對藥物之消除、結合或代謝分解（即藥物被消耗）。
• 處理方式：一階反應生成速率以濃度一次方表示，消耗作用取負號： $\phi_m = -k C_A$

4. 方程式彙整： 將上述各項化簡代回提示公式，可得藥物濃度 $C_A(x, t)$ 之質量守恆偏微分方程式： $D_A \frac{\partial^2 C_A}{\partial x^2} - k C_A = \frac{\partial C_A}{\partial t}$ 或寫為標準傳遞方程形式： $\frac{\partial C_A}{\partial t} = D_A \frac{\partial^2 C_A}{\partial x^2} - k C_A$

（二）邊界條件（Boundary Conditions）之列出（6 分）

肌肉組織相較於注射點針孔範圍極大，故物理模型設定為半無限介質（Semi-infinite domain），空間範圍為 $0 \le x < \infty$。系統可能之邊界條件如下：

1. 邊界條件一（注射點處，$x = 0$）： 題目假設注射點處藥物量遠大於擴散出去的量，濃度維持恆定 $C_0$。此為第一類邊界條件（Dirichlet boundary condition）：

核心觀念

血液中的氧含量由兩部分組成：溶解於血漿的氧，以及與血紅素結合的氧。因此，氧氣輸送流率等於血流量乘上血液進出充氧器的氧含量差：

依亨利定律，溶解氧濃度為 $C_{\mathrm{dissolved}}=p\mathrm{O}_2/H_{\mathrm{Oxygen}}$；血紅素結合氧濃度為 $C_{\mathrm{Hb}}=C'_{\mathrm{SAT}}Y(p\mathrm{O}_2)$。

解題方法

入口與出口的氧分壓分別為 $20$ 與 $110\ \mathrm{mmHg}$。由表查得：

溶解氧濃度增加量：

血紅素結合氧濃度增加量：