111 高普考高考三級 醫學工程 醫學儀表及測量 考古題詳解

核心觀念

本題評量生醫量測系統中「電力線干擾耦合機制」與「生物電位放大器前端電極阻抗不匹配效應」，其核心觀念與數學模型包含：

1. 病患人體共模電壓（Common-Mode Voltage, $v_{\text{cm}}$）： 環境電力線（$60\,\mathrm{Hz}$）經由雜散電容耦合產生位移電流（displacement current, $i_d$）注入人體。此電流經由病患的共同接地電極（ground electrode, $Z_G$）流向大地，使人體相對於儀表接地端產生共模電壓： $v_{\text{cm}} = i_d \times Z_G$

2. 電極阻抗不匹配造成之共模轉差模干擾（Common-to-Differential Mode Conversion, $v_{d,\Delta Z}$）： 兩個量測電極的皮膚－電極接觸阻抗分別為 $Z_1$ 與 $Z_2$，儀表各輸入端之對地輸入阻抗為 $Z_{\text{in}}$。由於分壓效應，共模電壓會在兩輸入端產生電位差，形成「差模干擾信號」（differential-mode interference）： $v_1 = v_{\text{cm}} \left( \frac{Z_{\text{in}}}{Z_1 + Z_{\text{in}}} \right), \quad v_2 = v_{\text{cm}} \left( \frac{Z_{\text{in}}}{Z_2 + Z_{\text{in}}} \right)$ $v_{d,\Delta Z} = |v_1 - v_2| = v_{\text{cm}} \cdot \frac{Z_{\text{in}} |Z_2 - Z_1|}{(Z_1 + Z_{\text{in}})(Z_2 + Z_{\text{in}})} \approx v_{\text{cm}} \cdot \frac{|Z_2 - Z_1|}{Z_{\text{in}}} = v_{\text{cm}} \cdot \frac{\Delta Z}{Z_{\text{in}}} \quad (\text{因 } Z_1, Z_2 \ll Z_{\text{in}})$

3. 共模拒斥比（CMRR）之抑制效應： 放大器本身有限的 CMRR 所導致之等效輸入差模雜訊為： $v_{d,\text{CMRR}} = \frac{v_{\text{cm}}}{\text{CMRR}}$ 其中 $\text{CMRR}$（線性比值）與分貝值之轉換關係為 $\text{CMRR}_{(\mathrm{dB})} = 20 \log_{10}(\text{CMRR})$。

解題方法

步驟一：計算共模信號值（$v_{\text{cm}}$）

電力線位移電流 $i_d = 300\,\mathrm{nA} = 300 \times 10^{-9}\,\mathrm{A}$，共同接地電極阻抗 $Z_G = 2500\,\Omega$。 人體所感應之共模信號為： $v_{\text{cm}} = i_d \times Z_G = (300 \times 10^{-9}\,\mathrm{A}) \times 2500\,\Omega = 7.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{V} = 750\,\mu\mathrm{V} = 0.75\,\mathrm{mV}$

步驟二：計算電極阻抗不一致所造成的電力干擾信號值（$v_{d,\Delta Z}$）

兩量測電極阻抗差值為： $\Delta Z = |Z_2 - Z_1| = |4500\,\Omega - 1500\,\Omega| = 3000\,\Omega$ 儀表輸入阻抗 $Z_{\text{in}} = 10\,\mathrm{M}\Omega = 10^7\,\Omega$。 經由阻抗不匹配分壓轉換所形成之差模電力干擾信號值為： $v_{d,\Delta Z} \approx v_{\text{cm}} \times \frac{\Delta Z}{Z_{\text{in}}} = 750\,\mu\mathrm{V} \times \frac{3000\,\Omega}{10^7\,\Omega} = 750\,\mu\mathrm{V} \times (3 \times 10^{-4}) = 0.225\,\mu\mathrm{V}$

(補充：儀表自身 CMRR 有限所漏進之差模干擾)： $\text{CMRR} = 80\,\mathrm{dB} \implies \text{CMRR} = 10^{80/20} = 10^4 = 10000$。 $v_{d,\text{CMRR}} = \frac{v_{\text{cm}}}{\text{CMRR}} = \frac{750\,\mu\mathrm{V}}{10000} = 0.075\,\mu\mathrm{V}$ 若考慮兩者疊加之最劣情況，總等效輸入干擾為 $v_{d,\text{total}} = 0.225\,\mu\mathrm{V} + 0.075\,\mu\mathrm{V} = 0.30\,\mu\mathrm{V}$。 題目明確詢問「電極阻抗不一致所造成之干擾」，其專屬貢獻值即為 $0.225\,\mu\mathrm{V}$。

步驟三：分別評估對腦波信號分析之影響

題目給定病患腦波電壓信號為 $v_{\text{sig}} = 10\,\mu\mathrm{V}$。

核心觀念

本題屬於生醫感測器與電極製造技術中的基礎計算題，主要評量以下核心觀念：

1. 電流與電荷之微積分關係：電流為單位時間內通過的電荷量（$i(t) = \frac{dQ}{dt}$），累積總電荷量為電流對時間的積分： $Q = \int_{0}^{\infty} i(t)\,dt$
2. 銀／氯化銀（$\mathrm{Ag/AgCl}$）電極電解反應：臨床上常用的微型生物電位電極（如心電圖 ECG 電極）多為不極化電極（non-polarizable electrode），利用陽極氧化電解法在銀電極表面沉積氯化銀，其半反應式為： $\mathrm{Ag} + \mathrm{Cl}^- \rightarrow \mathrm{AgCl} + \mathrm{e}^-$ 每生成 $1\text{ mol}$ 的 $\mathrm{AgCl}$，轉移 $1\text{ mol}$ 的電子，即電子轉移價數 $z = 1$。
3. 法拉第電解定律（Faraday's Law of Electrolysis）：電解沉積之產物質量與通過之總電量成正比，計算公式為： $m = \frac{Q \cdot M}{z \cdot F}$ 其中 $m$ 為沉積質量（$\mathrm{g}$）、$Q$ 為總電荷量（$\mathrm{C}$）、$M$ 為分子量（$\mathrm{g/mol}$）、$z$ 為電子轉移數（$\mathrm{equiv/mol}$）、$F$ 為法拉第常數（約 $96500\,\mathrm{C/mol}$ 或 $96485\,\mathrm{C/mol}$）。

解題方法

步驟一：計算總共消耗的電荷量 $Q$

題目給定電流函數為： $i(t) = 120\exp\left(-\frac{t}{10}\right)\,\mathrm{mA} = 0.12\exp\left(-\frac{t}{10}\right)\,\mathrm{A}$ 當電鍍時間夠長時，電鍍時間範圍為 $t = 0$ 至 $t \to \infty$。總消耗電荷量 $Q$ 即為電流對時間的全程積分： $Q = \int_{0}^{\infty} i(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} 0.12\exp\left(-\frac{t}{10}\right)\,dt$

利用指數積分公式 $\int e^{-at}\,dt = -\frac{1}{a}e^{-at}$： $Q = 0.12 \times \left[ -10\exp\left(-\frac{t}{10}\right) \right]_{0}^{\infty}$ $Q = 0.12 \times \left( 0 - (-10) \right) = 0.12 \times 10 = 1.2\,\mathrm{C}$ （或表示為 $1200\,\mathrm{mC}$）

步驟二：確認反應價數與摩爾數

在電解氯化過程中，銀電極作為陽極進行氧化反應：

核心觀念

本題考查比耳－朗伯定律（Beer–Lambert law）：在光程與其他條件固定時，吸光度與溶液濃度成正比：

其中 $T=I/I_0$ 是穿透率的小數值，$C$ 是鈣離子濃度。因為表格提供的是穿透率百分比 $T_{\%}$，所以 $T=T_{\%}/100$。因此，濃度與穿透率呈指數關係；取對數後，兩者可用直線校正。

解題方法

以表中 4 筆平均穿透率為校正資料，令 $x=C$、$y=\ln(T_{\%})$，對 $y=a+bx$ 作線性迴歸。對數轉換後的數值約為：

以最小平方法求得：

將兩邊取指數，可得鈣離子濃度與穿透率百分比的校正關係：

核心觀念

本題評量**光學式脈搏血氧儀（Pulse Oximeter）**之工作原理與數理推導，核心涵蓋四項觀念：

1. 比爾-朗伯定律（Beer-Lambert Law）與吸光度（Absorbance）：光穿透均勻吸收介質時，光強度隨吸收物質濃度與光徑呈指數衰減，其吸光度具備線性疊加性。
2. 血氧飽和濃度（Oxygen Saturation, $S\text{O}_2$）定義：血液中氧合血紅素佔總具攜氧能力血紅素之百分比。
3. 雙波長光學吸收光譜特性：去氧血紅素（$\text{RHb}$）與氧合血紅素（$\text{HbO}_2$）在特定光子波長下具消光係數（Extinction coefficient）顯著差異（紅光 $660\text{ nm}$ 與近紅外光 $940\text{ nm}$）。
4. 光體積變化描記法（PPG, Photoplethysmography）之交直流分離：利用動脈搏動帶來的光徑增量 $\Delta d$（交流 AC 分量）消除靜態組織、靜脈血及骨骼（直流 DC 分量）之背景干擾。

解題方法

一、 比爾-朗伯定律與多組分吸光度數學模型

單一波長 $\lambda$ 的單色光入射強度為 $I_0(\lambda)$，穿透含有吸收物質之介質後，穿透光強度 $I(\lambda)$ 遵循比爾-朗伯定律： $I(\lambda) = I_0(\lambda) e^{-\alpha(\lambda) d} = I_0(\lambda) e^{-\epsilon(\lambda) C d}$

其中：

• $\epsilon(\lambda)$ 為物質在波長 $\lambda$ 下之莫耳消光係數（Molar extinction coefficient）。
• $C$ 為吸收物質之莫耳濃度。
• $d$ 為光在介質中走過之有效光徑長度（Path length）。

吸光度（Absorbance, $A$）定義為入射光與穿透光強度比值之自然對數： $A(\lambda) = \ln\left(\frac{I_0(\lambda)}{I(\lambda)}\right) = \epsilon(\lambda) C d$

動脈血液中主要包含兩種光吸收成分：氧合血紅素（$\text{HbO}_2$）與還原去氧血紅素（$\text{RHb}$）。依吸光度之線性疊加性，血液之總吸光度為： $A(\lambda) = \left[ \epsilon_{\text{HbO}_2}(\lambda) C_{\text{HbO}_2} + \epsilon_{\text{RHb}}(\lambda) C_{\text{RHb}} \right] d$

二、 血氧飽和濃度定義

功能性血氧飽和濃度（Functional Oxygen Saturation, $S\text{O}_2$）定義為： $S\text{O}_2 = \frac{C_{\text{HbO}_2}}{C_{\text{HbO}_2} + C_{\text{RHb}}} = \frac{C_{\text{HbO}_2}}{C_t}$

式中 $C_t = C_{\text{HbO}_2} + C_{\text{RHb}}$ 為總血紅素濃度。可得兩物質之相對濃度關係： $C_{\text{HbO}_2} = C_t \cdot S\text{O}_2$ $C_{\text{RHb}} = C_t \cdot (1 - S\text{O}_2)$

三、 搏動信號分離（動態交流 AC 與靜態直流 DC）

穿透人體組織（如手指、耳垂）之總光衰減包含兩部分：

1. 直流分量（DC）：皮膚、骨骼、肌肉、結締組織與靜脈血，其光吸收量恆定（路徑長度為 $d_0$）。
2. 交流分量（AC）：心臟收縮射血引起的動脈血管充血擴張，使動脈光徑週期性增加 $\Delta d$。

對吸光度公式進行全微分，當動脈搏動引入微小光徑變化 $\Delta d$ 時，透射光強度的變化量 $\Delta I$ 與吸光度變化量 $\Delta A$ 滿足： $\Delta A(\lambda) = \left| \frac{\mathrm{d}I(\lambda)}{I(\lambda)} \right| \approx \frac{\Delta I(\lambda)}{I(\lambda)} = \frac{I_{\text{AC}}(\lambda)}{I_{\text{DC}}(\lambda)}$

由比爾定律，搏動引起的吸光度變化僅由動脈血引起： $\Delta A(\lambda) = \left[ \epsilon_{\text{HbO}_2}(\lambda) C_{\text{HbO}_2} + \epsilon_{\text{RHb}}(\lambda) C_{\text{RHb}} \right] \Delta d$

四、 雙波長吸光比值（Ratio of Ratios, $R$）推導

為解出 $C_{\text{HbO}_2}$ 與 $C_{\text{RHb}}$ 兩個未知數，血氧儀選取兩種特定波長：

• 紅光（Red Light, $\lambda_1 \approx 660\text{ nm}$）：此波長下，去氧血紅素之吸收遠大於氧合血紅素，即 $\epsilon_{\text{RHb}}(660) \gg \epsilon_{\text{HbO}_2}(660)$。
• 近紅外光（Infrared Light, $\lambda_2 \approx 940\text{ nm}$）：此波長下，氧合血紅素之吸收大於去氧血紅素，即 $\epsilon_{\text{HbO}_2}(940) > \epsilon_{\text{RHb}}(940)$。

定義正規化調變比值（Ratio of Ratios）$R$： $R = \frac{\left( \frac{I_{\text{AC}}}{I_{\text{DC}}} \right)_{\lambda_1}}{\left( \frac{I_{\text{AC}}}{I_{\text{DC}}} \right)_{\lambda_2}} = \frac{\Delta A(\lambda_1)}{\Delta A(\lambda_2)}$

將動脈吸光度變化代入： $R = \frac{\left[ \epsilon_{\text{HbO}_2}(\lambda_1) C_{\text{HbO}_2} + \epsilon_{\text{RHb}}(\lambda_1) C_{\text{RHb}} \right] \Delta d}{\left[ \epsilon_{\text{HbO}_2}(\lambda_2) C_{\text{HbO}_2} + \epsilon_{\text{RHb}}(\lambda_2) C_{\text{RHb}} \right] \Delta d}$

微小光徑增量 $\Delta d$ 相互約分消去，消除個體組織厚度差異；再將分子與分母同除以總濃度 $C_t$，代入 $S\text{O}_2$： $R = \frac{\epsilon_{\text{HbO}_2}(\lambda_1) S\text{O}_2 + \epsilon_{\text{RHb}}(\lambda_1)(1 - S\text{O}_2)}{\epsilon_{\text{HbO}_2}(\lambda_2) S\text{O}_2 + \epsilon_{\text{RHb}}(\lambda_2)(1 - S\text{O}_2)}$

展開並重組分子與分母：

核心觀念

1. 惠斯登電橋（Wheatstone Bridge）之平衡條件： 電橋由四個電阻臂組成，當對角節點間的電位差為零時，電橋達到平衡（Null balance）。設四個電阻臂依序排列，其平衡條件為「相對臂電阻相乘相等」或「相鄰兩臂電阻比值相等」。
2. 電阻測量模式：

• 零位平衡法（Null Method）：調節已知可變電阻使檢流計或差動輸出電壓為零，藉由平衡公式直接計算待測電阻 $R_T$。此法精確度高，測量結果與電源電壓 $V_S$ 的微小波動無關。
• 偏位法／非平衡電橋法（Deflection Method）：設定初始平衡後，當溫度改變造成 $R_T$ 變化時，電橋產生輸出電壓差 $\Delta V$；藉由量測輸出電壓差推算 $R_T$。此法適用於連續動態溫度監測。

3. 熱敏電阻特性與生醫測溫考量： 熱敏電阻（多為負溫度係數 NTC）具有高靈敏度，其電阻值隨溫度變化的關係式為： $R_T = R_0 \exp\left[ \beta \left( \frac{1}{T} - \frac{1}{T_0} \right) \right]$ 在電路設計上須限制激發電壓 $V_S$ 與流經 $R_T$ 的電流，以避免自體發熱效應（Self-heating effect）影響圓形薄板的溫度測量準確性。

解題方法

一、 測量電路設計與電路圖

將直流電壓源 $V_S$、固定電阻 $R_1$、$R_2$、可變電阻 $R_X$ 及熱敏電阻 $R_T$ 接成四臂惠斯登電橋。

• 電源端：接於節點 $A$（正極）與節點 $C$（負極／接地端）。
• 左側分壓臂：由 $R_1$（臂 $AB$）與 $R_2$（臂 $BC$）串聯組成。
• 右側分壓臂：由可變電阻 $R_X$（臂 $AD$）與熱敏電阻 $R_T$（臂 $DC$）串聯組成。
• 信號輸出端：跨接於節點 $B$ 與節點 $D$ 之間，連接高靈敏度檢流計（G）或高輸入阻抗微伏電壓表（DVM）。

 A (Vs 正端)
 / \
 / \
 R1 / \ Rx (可變電阻)
 / \
 / G \
 B --------- D (輸出電壓 Vo = V_B - V_D)
 \ /
 \ /
 R2 \ / RT (熱敏電阻)
 \ /
 \ /
 C (接地端 GND)

二、 $R_T$ 的測量方法與推導

方法一：零位平衡法（平衡法，Null Method）——【最主要且最精確之測量法】

1. 實驗步驟：

• 將熱敏電阻固定於圓形薄板中心，待系統達到熱平衡（溫度穩定）。
• 接通直流電壓源 $V_S$。
• 微調精密可變電阻 $R_X$，同時觀察節點 $B$、$D$ 間的檢流計（或電壓表），直到指針歸零（即 $V_{BD} = V_B - V_D = 0$）。

2. 推導計算： 根據分壓原理，節點 $B$ 與節點 $D$ 對接地端 $C$ 的電位分別為： $V_B = V_S \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2}$ $V_D = V_S \cdot \frac{R_T}{R_X + R_T}$ 當電橋平衡時，$V_B = V_D$： $V_S \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} = V_S \cdot \frac{R_T}{R_X + R_T}$ 同除以 $V_S$ 並展開交叉相乘： $R_2 (R_X + R_T) = R_T (R_1 + R_2)$