115 高普考高考三級 化學工程 反應工程及單元操作 考古題詳解

核心觀念

本題考查以「快速平衡假設」推導多步反應的總生成速率。快速平衡中間體的濃度由平衡常數表示；再代入生成產物的慢速基元反應速率式，即可得到總反應速率。

已知總反應為 $2A+B\rightleftharpoons A_2B$，題給速率式

分子中的 $[A]^2[B]$ 對應總反應的反應物組成；分母中的 $1+\beta[A]$ 則反映中間體受到 $A$ 濃度影響的平衡占有或抑制效應。

解題方法

（一）提出可能反應機構

將反應拆成兩個基元步驟，令第一步為快速平衡，第二步為慢速決速步驟：

其中 $A_2^*$ 為活性中間體。第一步的平衡使 $[A_2^*]$ 隨 $[A]^2$ 增加；第二步的速率與 $[A_2^*][B]$ 成正比，因此可產生 $[A]^2[B]$ 型的速率依存關係。

題給速率式另含分母 $1+\beta[A]$，可用中間體與額外一分子 $A$ 的結合平衡表示：

若 $A_2^*$ 與 $A_3^*$ 都不直接生成產物，且快速平衡下

則總中間體濃度為

所以

若產物生成的慢速步驟為 $A_2^*+B\to A_2B$，其速率為

若中間體池由 $2A$ 的活化建立，則在相應條件下可將分子項寫成與 $[A]^2[B]$ 成正比的形式，得到題示的分母結構。此為與速率式相容的一種機構解釋。

（二）依指定機構推導速率式

指定機構為

令兩步皆處於快速平衡，平衡常數分別為

核心觀念

圖一為連續流動的管式反應器，反應物 $A$ 沿管軸方向流動並轉化為 $B$，因此採用：

• 管式流反應器（Plug Flow Reactor, PFR）設計方程式
• 反應物轉化率定義 $X_A=\frac{F_{A0}-F_A}{F_{A0}}$
• 以反應物 $A$ 的消耗速率 $-r_A$ 表示反應速率
• 填充觸媒反應器則以單位觸媒重量反應速率 $-r_A'$ 表示反應速率

其中 $F_{A0}$ 為入口 $A$ 的莫耳流率。

解題方法

（一）反應器名稱

圖中反應物由管入口連續流入，沿管內逐步反應，且圖示為具有明確入口與出口的長管型反應器，因此為：

$\boxed{\text{管式流反應器（Plug Flow Reactor, PFR）}}$

（二）反應器體積 $V$ 與轉化率 $X_A$ 的積分關係式

對管式流反應器取一微小體積 $dV$ 作物料衡算：

$F_A-(F_A+dF_A)+r_A\,dV=0$

由於 $r_A$ 定義為反應物 $A$ 的生成速率，而 $A$ 實際上被消耗，因此使用 $-r_A$ 表示消耗速率，可得：

$-dF_A=(-r_A)dV$

由轉化率定義：

$F_A=F_{A0}(1-X_A)$

微分後得到：

$dF_A=-F_{A0}\,dX_A$

代入物料衡算式：

$F_{A0}\,dX_A=(-r_A)dV$

因此：

$dV=\frac{F_{A0}}{-r_A}\,dX_A$

由入口轉化率 $X_A=0$ 積分至出口轉化率 $X_A$：

其中 $-r_A$ 必須依反應器內各位置的濃度、溫度與壓力計算。

（三）填充觸媒重量 $W$ 與轉化率 $X_A$ 的積分關係式

核心觀念

本題考查：

1. 反應器內轉化率定義 $X_A=\frac{\text{反應掉的 }A}{\text{進入反應器的 }A}$
2. 反應式 $A\rightarrow R$ 的莫爾比為 $1:1$。
3. 分離器完全回收未反應的 $A$，因此新鮮原料只需補充最後生成 $R$ 所消耗的 $A$。
4. 反應速率式 $r_R=0.2C_A$
5. 反應器體積由 $V=\frac{F_R}{r_R}$ 求得。

（一）求 $F_{A0}$ 與 $F_{Ai}$

1. 求新鮮進料流率 $F_{A0}$

由反應：

$A\rightarrow R$

每消耗 $1$ mol 的 $A$，生成 $1$ mol 的 $R$。

由於未反應的 $A$ 全部分離並回流，系統整體而言，新鮮加入的 $A$ 最終全部轉化為產品 $R$。因此：

$F_{A0}=F_R$

已知：

$F_R=100\ \mathrm{mol/hr}$

所以：

$\boxed{F_{A0}=100\ \mathrm{mol/hr}}$

2. 求回流混合後進入反應器的流率 $F_{Ai}$

反應器轉化率為：

$X_A=\frac{F_{Ai}-F_{A,\mathrm{out}}}{F_{Ai}}=0.2$

由於 $A\rightarrow R$ 為 $1:1$ 反應，反應器內生成的 $R$ 為：

$F_R=X_AF_{Ai}$

代入數值：

$100=0.2F_{Ai}$

因此：

$\boxed{F_{Ai}=500\ \mathrm{mol/hr}}$

反應器出口未反應的 $A$ 為：

此 $400\ \mathrm{mol/hr}$ 經分離器後回流，且：

與上式一致。

（二）求每莫爾 $R$ 的製程成本

題目給定：

• $A$ 成本：$$0.5/\mathrm{mol\ A}$
• 反應器成本：$$0.01/\mathrm{L}$
• 回流 $A$ 成本：$$0.01/\mathrm{mol\ A}$

依題目所給資料，採用反應器內有效濃度為 $C_A=C_{A0}=0.1\ \mathrm{mol/L}$ 的命題慣用計算。

1. 新鮮 $A$ 原料成本

每小時新鮮 $A$ 的成本：

$100(0.5)=50\ \$/\mathrm{hr}$

換算為每莫爾 $R

核心觀念

本題考查球體阻力係數與雷諾數的定義：

其中球體迎風投影面積為

雷諾數為

（一）層流時 $C_D$ 與 $N_{Re}$ 的關係

已知阻力為

代入阻力係數定義：

整理得

因為

所以

此式即為球體在層流、低雷諾數下的 Stokes 阻力關係。

（二）估算球體 $C_D$ 與 $F_D$

1. 單位換算

黏度為

且

因此

2. 計算雷諾數

代入數值：

3. 由圖三估算 $C_D$

在

時，查圖三的球體曲線，可估得

核心觀念

本題考查平板層流邊界層的 Blasius 相似解，重點包括：

1. 由表中速度分布找出邊界層厚度 $\delta$。
2. 利用相似變數 $\eta=\frac{y}{2}\left(\frac{v_\infty}{\nu x}\right)^{0.5}$ 將 $\delta$ 與 $Re_x$ 建立關係。
3. 由壁面剪應力 $\tau_w=\mu\left(\frac{\partial v_x}{\partial y}\right)_{y=0}$ 求局部皮膚摩擦係數 $C_f=\frac{\tau_w}{\frac12\rho v_\infty^2}.$

其中 $Re_x=v_\infty x/\nu$，且 $\mu=\rho\nu$。

（一）求 $\delta$ 與 $Re_x$ 的關係

邊界層厚度定義為

由表中資料：

以線性內插求 $v_x/v_\infty=0.99$ 時的 $\eta_\delta$：

由相似變數定義，在 $y=\delta$ 時：

因此

又因為

所以

代入 $\eta_\delta=2.468$：

亦可寫成

（二）求 $C_f$ 與 $Re_x$ 的關係

題目給定

核心觀念

本題考查逆流吸收塔的：

• 溶質平衡；
• 液、氣相摩爾比與摩爾分率的換算；
• 操作線與平衡線；
• McCabe–Thiele 階梯法；
• 板效率與實際板數的關係。

吸收塔中，空氣視為不被吸收的惰性氣體，純水視為不含 $\mathrm{SO_2}$ 的溶劑。

（一）離塔水中 $\mathrm{SO_2}$ 濃度

1. 氣相惰性空氣流量

以 $1\ \mathrm{m^2}$ 塔截面為基準：

入口氣體中 $\mathrm{SO_2}$ 摩爾分率為 $0.20$，故其氣相摩爾比為

出口氣體中 $\mathrm{SO_2}$ 摩爾分率為 $0.02$，故

2. 被吸收的 $\mathrm{SO_2}$ 量

3. 水的莫耳流量

因為入口為純水，$X_0=0$，故離塔液相中的溶質摩爾比為

換算成液相摩爾分率：

因此

答案

（二）圖五中的操作線

1. 操作線兩端點

逆流吸收塔的操作線通過兩個端點：

• 塔底液相入口：$(x_0,y_1)=(0,0.02)$；
• 塔頂氣相入口與液相出口：$(x_N,y_{N+1})=(0.00355,0.20)$。

因此，依圖五的摩爾分率座標，操作線為連接

的直線。

2. 圖示直線方程式

斜率為