108 高普考高考三級 經建行政 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考線性轉換、相對離散程度與標準分數：

• 若 $Y=aX+b$，則平均數為 $\mu_Y=a\mu_X+b$，標準差為 $\sigma_Y=|a|\sigma_X$。
• 比較平均數不同的兩組分數之相對離散程度，使用變異係數 $CV=\dfrac{\sigma}{\mu}$。
• 比較個人成績相對於各科同學的表現，使用標準分數 $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$；$z$ 越大，代表相對表現越好。

（一）求 $a$ 與 $b$

微積分分數轉換後，平均數要由 $56$ 變為 $68$，標準差要由 $14$ 變為 $10$。依標準差轉換公式：

一般將分數作線性尺度轉換時，採用保留分數高低順序的正比例轉換，因此 $a=\dfrac{5}{7}$。再由平均數轉換公式：

（二）比較兩科原始成績的離散程度

兩科平均數不同，不能只比較標準差；應比較變異係數：

核心觀念

本題屬於統計學中的**假說檢定（Hypothesis Testing）**理論，核心考點包括：

1. 連續型隨機變數之機率計算：事件機率為機率密度函數（pdf）在該事件區間上的定積分（或幾何圖形面積），即 $P(c < X < d) = \int_c^d f(x) dx$。
2. 決策法則與拒絕域（Rejection Region, $C$）：

• 題目設定「若 $X > a$，則接受 $H_0$；否則接受 $H_a$（即拒絕 $H_0$）」。
• 因此，拒絕 $H_0$ 的臨界區域（拒絕域）為 $C = \{X \le a\}$。

3. 第一型錯誤機率（Type I Error, $\alpha$）：

• 定義為「當 $H_0$ 為真時，卻拒絕 $H_0$（接受 $H_a$）」的機率： $\alpha = P(\text{拒絕 } H_0 \mid H_0 \text{ 為真}) = P(X \in C \mid H_0)$

4. 統計檢定力（Power of the test）：

• 定義為「當對立假說 $H_a$ 為真時，正確拒絕 $H_0$（接受 $H_a$）」的機率，數值等於 $1 - \beta$（$\beta$ 為第二型錯誤機率）： $\text{Power} = P(\text{拒絕 } H_0 \mid H_a \text{ 為真}) = P(X \in C \mid H_a)$

解題方法

（一）畫出兩假說之機率密度函數圖

1. 函數特徵分析：

• $H_0$ 之 pdf：$f_0(X) = 8X,\quad 0 < X < \frac{1}{2}$
• 是一條斜率為正（$+8$）的線性函數，通過端點 $(0, 0)$ 與 $(\frac{1}{2}, 4)$。
• $H_a$ 之 pdf：$f_a(X) = 4 - 8X,\quad 0 < X < \frac{1}{2}$
• 是一條斜率為負（$-8$）的線性函數，通過端點 $(0, 4)$ 與 $(\frac{1}{2}, 0)$。
• 兩線交點： $8X = 4 - 8X \implies 16X = 4 \implies X = \frac{1}{4}$ 當 $X = \frac{1}{4}$ 時，$f_0\left(\frac{1}{4}\right) = f_a\left(\frac{1}{4}\right) = 2$，兩線相交於 $\left(\frac{1}{4}, 2\right)$。

2. 圖形呈現與繪製指引： 在試卷作圖時，建立直角坐標系（橫軸為 $X$，縱軸為 $f(X)$），標明關鍵座標點 $(0,0)$、$\left(\frac{1}{4}, 2\right)$、$\left(\frac{1}{2}, 0\right)$、$(0,4)$、$\left(\frac{1}{2}, 4\right)$：

 f(X)
 4 + (0,4) \ / (1/2, 4)
 | \ /
 3 + \ /
 | \ f_a(X) / f_0(X)
 2 +------------\----(1/4, 2)-/-----------
 | \ /
 1 + \ /
 | \ /
 0 +----------------\-----/----------------> X
 0 1/4 1/2

• $H_0$ 的圖形為從 $(0,0)$ 連接至 $\left(\frac{1}{2}, 4\right)$ 的上升線段，其餘區間為 $0$。
• $H_a$ 的圖形為從 $(0,4)$ 連接至 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 的下降線段，其餘區間為 $0$。

（二）計算臨界值 $a$

1. 建立方程式： 根據題意，「$H_0$ 是對的，卻接受 $H_a$」即為第一型錯誤 $\alpha$。決策法則在 $X \le a$ 時接受 $H_a$： $\alpha = P(X \le a \mid H_0) = \frac{1}{16}$

2. 進行積分計算： 在 $H_0$ 條件下，$f(X) = 8X$（其中 $0 < a < \frac{1}{2}$）： $P(X \le a \mid H_0) = \int_0^a 8X \, dX = \left[ 4X^2 \right]_0^a = 4a^2$

3. 求解 $a$ 值： $4a^2 = \frac{1}{16} \implies a^2 = \frac{1}{64}$

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸的最小平方法性質，以及迴歸模型整體顯著性的 $F$ 檢定。

含截距的最小平方法迴歸線，其殘差 $e_i=Y_i-\hat Y_i$ 滿足：

檢定模型是否具有配適能力時，使用迴歸變異分析的 $F$ 檢定，檢驗斜率是否為零。

解題方法

（一）求第 6 位兒童資料

依題目迴歸線 $\hat Y=-22.609+0.937X$，前 5 位兒童的殘差依序為：

前 5 個殘差總和為 $-1.379$。由 $\sum e_i=0$，第 6 位兒童的殘差為：

代入殘差定義：

因此

前 5 位兒童的 $X_i e_i$ 乘積總和為 $-38.630$。由 $\sum X_i e_i=0$：

資料為整數，故 $x_6=28$，代回上式得 $y_6\approx 5.006$，所以 $y_6=5$。係數列至小數第 3 位，計算會有微小近似差異。

（二）檢定迴歸模型配適能力

設檢定假設為：

核心觀念

本題比較兩種相關分析：

• 皮爾森相關係數 $r$：衡量兩個連續變數之間的線性關聯，使用原始資料計算。
• 斯皮爾曼等級相關係數 $r_s$：先將資料轉成等級，再計算等級間的皮爾森相關；衡量變數間的單調關聯。資料有相同值時，使用平均等級。

檢定相關係數是否顯著時，採雙尾檢定：

（一）皮爾森相關係數與顯著性檢定

令車齡為 $X$，賣價為 $Y$。由資料計算得：

計算離均差平方和與乘積和：

因此：

檢定統計量為：

在 $\alpha=0.05$ 的雙尾檢定下，臨界值為 $t_{0.025,8}=2.306$。由於 $|0.713|<2.306$，不拒絕 $H_0$；雙尾 $p$ 值約為 $0.496$。

**結論：**車齡與賣價的皮爾森相關未達統計顯著，資料不足以判定兩者有顯著線性相關。

（二）斯皮爾曼等級相關係數與顯著性檢定

以下由小到大排名；相同數值採平均等級。車齡中有兩筆 $6$、兩筆 $8$；賣價中有兩筆 $12$、三筆 $24$。