107 高普考高考三級 電子工程 電子學 考古題詳解

核心觀念

本題考查非線性二極體波形整形電路（限幅與傳輸電路）之直流工作點分析，核心概念與關鍵分析原則如下：

1. 二極體定電壓降模型（Constant Voltage Drop Model, CVDM）：

• 導通狀態（ON）：二極體兩端順向跨壓固定為 $V_{D,\mathrm{on}} = 0.7\,\mathrm{V}$，且順向電流必須滿足 $I_D > 0$。
• 截止狀態（OFF）：二極體視為開路（電流 $I_D = 0$），且兩端逆向跨壓必須滿足 $V_D < V_{D,\mathrm{on}} = 0.7\,\mathrm{V}$。

2. 二極體電路標準分析法（假設－驗證法）：

• 依據輸入電壓位準，先合理假設各二極體之導通／截止狀態。
• 將二極體以對應之等效電路（$0.7\,\mathrm{V}$ 直流電壓源或開路）代入。
• 運用克希荷夫電壓定律（KVL）、克希荷夫電流定律（KCL）及歐姆定律求解節點電壓與支路電流。
• 檢驗求解結果是否符合原先對二極體之狀態假設（導通者電流是否大於零、截止者跨壓是否小於 $0.7\,\mathrm{V}$）。

3. 電路拓撲說明：

• 輸入端 $V_i$ 串接電阻 $R_1$ 至內部節點 $X$（節點電壓記為 $V_X$）。
• 內部節點 $X$ 連接兩個二極體支路：
• 並聯箝位支路：二極體 $D_1$（陽極接節點 $X$，陰極接直流偏壓源 $V_B = 2\,\mathrm{V}$ 正端，$V_B$ 負端接地）。
• 串聯輸出支路：二極體 $D_2$（陽極接節點 $X$，陰極接輸出端 $V_o$）。
• 輸出端 $V_o$ 經電阻 $R_2$ 接地。

解題方法

（一）當輸入電壓 $V_i = 2\,\mathrm{V}$ 時，$V_o$ 之值

1. 狀態假設：

• 研判 $D_1$ 為截止（OFF）、$D_2$ 為導通（ON）。

2. 電路推導與計算：

• 因 $D_1$ 截止，該支路電流為 $0\,\mathrm{A}$。
• 主路徑電流 $I$ 由輸入端 $V_i$ 經 $R_1$、導通之二極體 $D_2$、再經 $R_2$ 流至接地端，根據 KVL： $I = \frac{V_i - V_{D2,\mathrm{on}}}{R_1 + R_2} = \frac{2\,\mathrm{V} - 0.7\,\mathrm{V}}{1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega} = \frac{1.3\,\mathrm{V}}{2\,\mathrm{k}\Omega} = 0.65\,\mathrm{mA}$
• 輸出電壓 $V_o$ 即為流經 $R_2$ 之電壓降： $V_o = I \times R_2 = 0.65\,\mathrm{mA} \times 1\,\mathrm{k}\Omega = 0.65\,\mathrm{V}$
• 中間節點電壓 $V_X$ 為： $V_X = V_o + V_{D2,\mathrm{on}} = 0.65\,\mathrm{V} + 0.7\,\mathrm{V} = 1.35\,\mathrm{V}$

3. 驗證二極體狀態：

• 檢驗 $D_2$：流經 $D_2$ 之順向電流 $I_{D2} = I = 0.65\,\mathrm{mA} > 0$，符合導通條件。
• 檢驗 $D_1$：$D_1$ 陽極電位為 $V_X = 1.35\,\mathrm{V}$，陰極電位為 $V_B = 2\,\mathrm{V}$，其兩端跨壓為： $V_{D1} = V_X - V_B = 1.35\,\mathrm{V} - 2\,\mathrm{V} = -0.65\,\mathrm{V} < 0.7\,\mathrm{V}$ 處於逆向偏壓狀態，確認為截止。
• 假設完全成立，故輸出電壓 $V_o = 0.65\,\mathrm{V}$。

（二）當輸入電壓 $V_i = 8\,\mathrm{V}$ 時，流經電阻 $R_1$ 之電流 $I_1$ 之值

1. 臨界轉折電壓（Breakpoint）判斷：

• 二極體 $D_1$ 欲導通，節點 $X$ 電壓必須達到： $V_X = V_B + V_{D1,\mathrm{on}} = 2\,\mathrm{V} + 0.7\,\mathrm{V} = 2.7\,\mathrm{V}$
• 在 $D_1$ 導通前，$V_X$ 與 $V_i$ 之關係為： $V_X = V_o + 0.7\,\mathrm{V} = \frac{V_i - 0.7\,\mathrm{V}}{2} + 0.7\,\mathrm{V} = \frac{V_i + 0.7\,\mathrm{V}}{2}$

核心觀念

本題出自經典 MOS 差動放大器（MOS Differential Pair）架構（參考 Sedra & Smith《微電子學》經典例題），涵蓋以下四項核心電路分析觀念：

1. 差模增益與偏壓電流關係：

• NMOS 飽和區轉導公式：$g_m = \sqrt{2\mu_n C_{\mathrm{ox}}\left(\frac{W}{L}\right)_1 I_{D1}} = \frac{2I_{D1}}{V_{OV1}}$，其中 $V_{OV1} = V_{GS1} - V_{tn}$ 為過驅電壓（Overdrive Voltage）。
• 雙端差模電壓增益：$A_d = \frac{V_{O2}-V_{O1}}{V_{i1}-V_{i2}} = g_m (R_D \parallel r_{o1})$。當 $r_{o1} \gg R_D$ 時，可近似為 $A_d \approx g_m R_D$。
• 電流鏡偏壓關係：由 $Q_3$ 與 $Q_4$ 構成電流鏡，偏壓維持 $V_B = V_X$ 表示 $V_{DS3} = V_{DS4}$，此條件消除了通道長度調變效應（Channel-Length Modulation）所造成的鏡射誤差，尾端電流 $I = I_{D3} = I_B \frac{(W/L)_3}{(W/L)_4}$，兩差動對平衡偏壓各分得 $I_{D1} = I_{D2} = \frac{I}{2}$。

2. 差模輸出電阻（Differential Output Resistance）：

• 差模激勵下，共源極節點 $X$ 為交流虛接地（Virtual Ground）。單端輸出對地電阻為 $R_{o1} = R_D \parallel r_{o1}$；兩輸出端之間的雙端差模輸出電阻為 $R_{od} = 2(R_D \parallel r_{o1})$。

3. 共模電壓增益（Common-Mode Gain）：

• 共模半電路（Common-Mode Half-Circuit）中，尾端電流源電阻 $R_{SS} = r_{o3} = \frac{V_A}{I_{D3}}$，在半電路中呈現 $2R_{SS}$ 的源極退化電阻。單端共模增益為： $A_c = \frac{V_{O1}}{V_{i1}} \approx -\frac{g_m R_D}{1 + 2g_m R_{SS}} \approx -\frac{R_D}{2R_{SS}}$

4. 輸入參考位移電壓（Input-Referred Offset Voltage, $V_{OS}$）：

• 當汲極負載電阻存在微小不匹配 $\Delta R_D / R_D$ 時，直流輸出產生差動失衡電壓 $V_{OD} = \frac{I}{2}\Delta R_D$。折合至輸入端的等效直流偏置電壓為： $V_{OS} = \frac{V_{OD}}{A_d} = \left(\frac{V_{OV}}{2}\right)\left(\frac{\Delta R_D}{R_D}\right)$

解題方法

（一）求達到 $A_d = 5\,\mathrm{V/V}$ 所需之基準偏壓電流 $I_B$

1. 求差動對轉導 $g_m$： 差模電壓增益定義為： $A_d = \frac{V_{O2}-V_{O1}}{V_{i1}-V_{i2}} = g_m (R_D \parallel r_{o1})$ 在標準放大器設計中，汲極電阻 $R_D = 10\,\mathrm{k}\Omega \ll r_{o1}$，首先採用設計近似式： $A_d \approx g_m R_D = 5\,\mathrm{V/V}$ 解得所需之轉導值： $g_m = \frac{A_d}{R_D} = \frac{5\,\mathrm{V/V}}{10\,\mathrm{k}\Omega} = 0.5\,\mathrm{mA/V}$

2. 求單側偏壓電流 $I_{D1}$ 與過驅電壓 $V_{OV1}$： 由轉導公式： $g_m = \sqrt{2\mu_n C_{\mathrm{ox}}\left(\frac{W}{L}\right)_1 I_{D1}}$ 已知 $\mu_n C_{\mathrm{ox}} = 100\,\mu\mathrm{A/V}^2 = 0.1\,\mathrm{mA/V}^2$，$(W/L)_1 = 25/1$： $0.5\,\mathrm{mA/V} = \sqrt{2 \times 0.1\,\mathrm{mA/V}^2 \times 25 \times I_{D1}} = \sqrt{5 I_{D1}}$ 兩邊平方： $0.25 = 5 I_{D1} \implies I_{D1} = 0.05\,\mathrm{mA} = 50\,\mu\mathrm{A}$ 此時過驅電壓為： $V_{OV1} = \frac{2I_{D1}}{g_m} = \frac{2 \times 50\,\mu\mathrm{A}}{0.5\,\mathrm{mA/V}} = 0.2\,\mathrm{V}$

3. 求尾端電流 $I$ 與基準偏壓電流 $I_B$： 差動對對稱時，尾端電流源 $Q_3$ 的偏壓電流為： $I = I_{D3} = 2 I_{D1} = 2 \times 50\,\mu\mathrm{A} = 100\,\mu\mathrm{A}$ 因題目給定維持節點電壓 $V_B = V_X$（即 $V_{DS3} = V_{DS4}$），電流鏡無通道長度調變失配： $\frac{I}{I_B} = \frac{(W/L)_3}{(W/L)_4} = \frac{50/1}{10/1} = 5$ 因此所需之偏壓基準電流： $I_B = \frac{I}{5} = \frac{100\,\mu\mathrm{A}}{5} = 20\,\mu\mathrm{A}$

若計入 $Q_1$ 輸出電阻 $r_{o1}$ 之嚴密精確解： $r_{o1} = \frac{V_A}{I_{D1}} = \frac{10\,\mathrm{V}}{I_{D1}}$。代入 $A_d = \sqrt{5 I_{D1}} \times \left(10 \parallel \frac{10}{I_{D1}}\right) = \frac{10\sqrt{5 I_{D1}}}{I_{D1}+1} = 5$（$I_{D1}$ 單位為 $\mathrm{mA}$），解一元二次方程式可得 $I_{D1} \approx 55.7\,\mu\mathrm{A}$，對應 $I \approx 111.4\,\mu\mathrm{A}$，此時 $I_B = \frac{I}{5} \approx 22.3\,\mu\mathrm{A}$。

（二）計算差模的輸出電阻

1. 計算電晶體小訊號輸出電阻 $r_{o1}, r_{o2}$： 依基準偏壓電流 $I_{D1} = I_{D2} = 50\,\mu\mathrm{A}$： $r_{o1} = r_{o2} = \frac{V_A}{I_{D1}} = \frac{10\,\mathrm{V}}{50\,\mu\mathrm{A}} = 200\,\mathrm{k}\Omega$

核心觀念

本題為經典的共源極（Common-Source, CS）放大器高頻響應分析，考查重點在於利用米勒定理（Miller's Theorem）​進行極點分離與電容等效，並進一步求得電路之主極點頻率（Dominant Pole Frequency）：

1. 反相放大器之電壓增益： $A_v = \frac{v_o}{v_g} = -g_m (r_o \parallel R_D)$
2. 米勒定理（Miller's Theorem）： 跨接於輸入節點（閘極）與輸出節點（汲極）之間的回授電容 $C_F$，可等效分解為：

• 輸入端等效電容：$C_{M,\text{in}} = C_F (1 - A_v)$
• 輸出端等效電容：$C_{M,\text{out}} = C_F \left(1 - \frac{1}{A_v}\right)$

3. 主極點頻率定義： 在多極點系統中，距離原點最近（即頻率最低、時間常數最大）的極點為主極點 $f_p$： $f_p = \frac{1}{2\pi \tau_{\max}} = \frac{1}{2\pi R_{\text{eq}} C_{\text{eq}}}$

解題方法與推導步驟

步驟 0：計算中頻電壓增益 $A_v$

在計算米勒電容前，須先求出閘極至汲極的開路電壓增益 $A_v$：

• 輸出端小訊號等效電阻： $R'_L = r_o \parallel R_D = 10\,\mathrm{k}\Omega \parallel 10\,\mathrm{k}\Omega = 5\,\mathrm{k}\Omega$
• 汲極交流輸出電壓為 $v_o = -g_m v_{gs} (r_o \parallel R_D)$，因源極接地，$v_{gs} = v_g$： $A_v = \frac{v_o}{v_g} = -g_m R'_L = -(1\,\mathrm{mA/V}) \times (5\,\mathrm{k}\Omega) = -5\,\mathrm{V/V}$

（一）此電路在輸入端之電容值 $C_{\text{in}}$

跨接於閘極與汲極間的電容 $C_F$ 經米勒效應等效至輸入端： $C_{M,\text{in}} = C_F (1 - A_v) = 1\,\mathrm{pF} \times [1 - (-5)] = 6\,\mathrm{pF}$

題目明定忽略其他寄生效應（即 $C_{gs} = 0$），故輸入端的總等效電容即為米勒輸入電容： $C_{\text{in}} = C_{M,\text{in}} = 6\,\mathrm{pF}$

（二）此電路在輸出端之電容值 $C_{\text{out}}$

跨接電容 $C_F$ 等效至輸出端的米勒電容為： $C_{M,\text{out}} = C_F \left(1 - \frac{1}{A_v}\right) = 1\,\mathrm{pF} \times \left[1 - \left(-\frac{1}{5}\right)\right] = 1.2\,\mathrm{pF}$

輸出節點本身並聯有負載電容 $C_L = 3\,\mathrm{pF}$，因此輸出端的總等效電容為兩者並聯相加： $C_{\text{out}} = C_L + C_{M,\text{out}} = 3\,\mathrm{pF} + 1.2\,\mathrm{pF} = 4.2\,\mathrm{pF}$

(註：若工程上採 $|A_v| \gg 1$ 之簡化近似 $1 - \frac{1}{A_v} \approx 1$，則 $C_{M,\text{out}} \approx C_F = 1\,\mathrm{pF}$，所得 $C_{\text{out}} \approx 3 + 1 = 4\,\mathrm{pF}$；但本題 $|A_v|=5$ 並非極大，嚴謹計算應保留 $1.2\,\mathrm{pF}$)。

（三）此電路之主極點頻率 $f_p$

利用米勒近似法將電路拆解為輸入端與輸出端兩組獨立的一階 RC 網路，分別計算其極點頻率：

1. 輸入端極點頻率 $f_{p,\text{in}}$：

• 輸入端等效電阻：$R_{\text{in}} = R_S = 1\,\mathrm{k}\Omega$
• 輸入端時間常數： $\tau_{\text{in}} = R_{\text{in}} C_{\text{in}} = (1\,\mathrm{k}\Omega) \times (6\,\mathrm{pF}) = 6 \times 10^{-9}\,\mathrm{s} = 6\,\mathrm{ns}$
• 輸入極點頻率：

核心觀念

本題評量金氧半場效電晶體（MOSFET）基本電流鏡（Current Mirror）的直流偏壓與通道長度調變效應（Channel-Length Modulation，即短通道效應／Early 效應）。涉及的核心觀念與公式如下：

1. 飽和區汲極電流公式（考慮通道長度調變效應）： 電晶體操作於飽和區（$V_{DS} \ge V_{GS} - V_{TH}$）時，汲極電流為： $I_D = \frac{1}{2}\mu_n C_{\mathrm{ox}}\left(\frac{W}{L}\right)(V_{GS}-V_{TH})^2\left(1+\lambda V_{DS}\right) = \frac{1}{2}\mu_n C_{\mathrm{ox}}\left(\frac{W}{L}\right)(V_{GS}-V_{TH})^2\left(1+\frac{V_{DS}}{V_A}\right)$ 其中 $V_A = \frac{1}{\lambda}$ 為 Early 電壓。

2. 電流鏡之電流比值關係： $M_1$ 與 $M_2$ 共用閘極與源極（$V_{GS1} = V_{GS2} = V_{GS}$），且源極接地（$V_S = 0\,\mathrm{V}$）。$M_1$ 為二極體連接（Diode-connected），$V_{DS1} = V_{GS1} = V_{GS}$；輸出端電壓為 $V_o = V_{DS2}$。兩電晶體之電流比為： $\frac{I_o}{I_{\mathrm{REF}}} = \frac{(W/L)_2}{(W/L)_1}\cdot\frac{1 + \frac{V_o}{V_A}}{1 + \frac{V_{DS1}}{V_A}}$

3. 小訊號輸出電阻（Output Resistance）： 電流鏡之輸出電阻代表輸出端隨電壓變動的電流量變化率： $r_o = \frac{\Delta V_o}{\Delta I_o} = \frac{V_A}{I_o}$

解題方法

電路已知參數：

• $\mu_n C_{\mathrm{ox}} = 100\,\mu\mathrm{A}/\mathrm{V}^2$
• $(W/L)_1 = \frac{5\,\mu\mathrm{m}}{0.5\,\mu\mathrm{m}} = 10$
• $(W/L)_2 = \frac{10\,\mu\mathrm{m}}{0.5\,\mu\mathrm{m}} = 20$
• 寬長比幾何鏡射比：$\frac{(W/L)_2}{(W/L)_1} = \frac{20}{10} = 2$
• 截止電壓 $V_{TH} = 0.7\,\mathrm{V}$，Early 電壓 $V_A = 10\,\mathrm{V}$
• 參考端電流源提供之基準電流 $I_{\mathrm{REF}} = 100\,\mu\mathrm{A}$

（一）求解 $I_o = 200\,\mu\mathrm{A}$ 時的輸出電壓 $V_o$

1. 推導 $V_o$ 與 $V_{GS}$ 的關係： 將電流值與幾何尺寸代入電流鏡比值公式： $\frac{I_o}{I_{\mathrm{REF}}} = \frac{200\,\mu\mathrm{A}}{100\,\mu\mathrm{A}} = 2$ 同時由理論方程式： $\frac{I_o}{I_{\mathrm{REF}}} = \frac{(W/L)_2}{(W/L)_1}\cdot\frac{1 + \frac{V_o}{V_A}}{1 + \frac{V_{DS1}}{V_A}} = 2\cdot\frac{1 + \frac{V_o}{V_A}}{1 + \frac{V_{DS1}}{V_A}}$ 由此可得： $\frac{1 + \frac{V_o}{V_A}}{1 + \frac{V_{DS1}}{V_A}} = 1 \implies V_o = V_{DS1} = V_{GS}$ 即當輸出電流恰等於無效應影響下的幾何鏡射標稱電流時，輸出電壓 $V_o$ 必然等於 $M_1$ 之閘源極電壓 $V_{GS}$。

2. 計算閘源極電壓 $V_{GS}$：

• 標準工程近似法（教科書 Sedra & Smith 命題標準）： 在計算直流偏壓 $V_{GS}$ 時，通道長度調變對基準偏壓的影響極小（$\frac{V_{GS}}{V_A} \ll 1$），通常忽略 $M_1$ 端的通道長度調變項： $I_{\mathrm{REF}} = \frac{1}{2}\mu_n C_{\mathrm{ox}}\left(\frac{W}{L}\right)_1 (V_{GS} - V_{TH})^2$ $100\,\mu\mathrm{A} = \frac{1}{2}\times 100\,\mu\mathrm{A}/\mathrm{V}^2\times 10\times (V_{GS} - 0.7\,\mathrm{V})^2$ $100 = 500(V_{GS} - 0.7)^2 \implies (V_{GS} - 0.7)^2 = 0.2\,\mathrm{V}^2$

核心觀念

本題考查運算放大器之正弦波震盪電路——韋恩電橋振盪器（Wien-Bridge Oscillator），其核心理論基礎為巴克豪森振盪準則（Barkhausen Criterion）：

1. 迴路增益（Loop Gain）定義： 電路之閉迴路系統迴路增益為 $T(s) = A_v(s) \cdot \beta(s)$，其中 $A_v(s)$ 為負回授非反相放大器的電壓增益，$\beta(s)$ 為正回授 RC 帶通網路之傳遞函數。
2. 巴克豪森準則條件：

• 相位條件：在震盪頻率 $\omega_0$ 處，環路總相位移必須為 $0^\circ$（或 $360^\circ$ 之整數倍），即 $\angle T(j\omega_0) = 0^\circ$。
• 振幅條件：
• 維持穩態等幅震盪時，迴路增益大小必須滿足 $|T(j\omega_0)| = 1$。
• 電路啟動（起振）時，必須滿足 $|T(j\omega_0)| \ge 1$，以確保電路內部微小的初始雜訊能被放大建立起震盪。

解題方法

本電路由理想運算放大器構成，分為正回授與負回授兩個子網路進行分析：

步驟一：分析負回授放大器增益 $A_v$

運算放大器之反相輸入端（$v^-$）透過電阻 $R$ 接地，並透過回授電阻 $R_2$ 接至輸出端 $v_o$。 因運算放大器為理想元件，其開迴路增益無窮大且輸入阻抗無窮大，此結構構成標準之非反相放大器： $A_v = \frac{v_o}{v^+} = 1 + \frac{R_2}{R}$

步驟二：推導正回授網路之傳遞函數 $\beta(s)$

正回授網路連接於輸出端 $v_o$ 與非反相輸入端（$v^+$）之間，為典型的 RC 帶通分壓網路：

• 串聯支路阻抗： $Z_s(s) = R + \frac{1}{sC} = \frac{sRC + 1}{sC}$
• 並聯支路阻抗： $Z_p(s) = R \parallel \frac{1}{sC} = \frac{R \cdot \frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}} = \frac{R}{sRC + 1}$

正回授網路之分壓比（回授因子 $\beta(s)$）為： $\beta(s) = \frac{v^+}{v_o} = \frac{Z_p(s)}{Z_s(s) + Z_p(s)} = \frac{\frac{R}{sRC + 1}}{\frac{sRC + 1}{sC} + \frac{R}{sRC + 1}}$ 分子分母同乘以 $sC(sRC + 1)$： $\beta(s) = \frac{sRC}{(sRC + 1)^2 + sRC} = \frac{sRC}{s^2 R^2 C^2 + 3sRC + 1}$

步驟三：求迴路增益 $T(s)$ 與頻率響應 $T(j\omega)$

電路之迴路增益為： $T(s) = A_v \cdot \beta(s) = \left(1 + \frac{R_2}{R}\right) \frac{sRC}{s^2 R^2 C^2 + 3sRC + 1}$ 令 $s = j\omega$，代入得頻率響應： $T(j\omega) = \left(1 + \frac{R_2}{R}\right) \frac{j\omega RC}{(1 - \omega^2 R^2 C^2) + j 3\omega RC}$ 將分子分母同除以 $j\omega RC$： $T(j\omega) = \frac{1 + \frac{R_2}{R}}{3 + j\left(\omega RC - \frac{1}{\omega RC}\right)}$